Optica (23-26)

Σφαίρας ὁπωσδηποτοῦν ὁρωμένης ὑπὸ ἑνὸς ὄμματος ἔλασσον ἀεὶ ἡμισφαιρίου φαίνεται, αὐτὸ δὲ τὸ ὁρώμενον
τῆς σφαίρας μέρος κύκλου περιφέρεια φαίνεται.

ἔστω σφαῖρα, ἧς κέντρον μὲν τὸ Α, ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Β. καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΒ, καὶ ἐκβεβλήσθω τὸ διὰ τῆς ΒΑ ἐπίπεδον. ποιήσει οὖν τομὴν· κύκλον. ποιείτω τὸν ΓΘΗ κύκλον, καὶ περὶ διάμετρον τὴν ΑΒ κύκλος
γεγράφθω ὁ ΓΒ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν εὐθεῖαι αἱ ΓΒ, Β, Α, ΑΓ. ἐπεὶ οὖν ἡμικύκλιόν ἐστι τὸ ΑΓΒ, ὀρθὴ γωνία ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΓΒ· ὁμοίως καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑ. [*]

αἱ ΓΒ, Β ἄρα ἐφάπτονται. ἐπεζεύχθω οὖν ἡ Γ, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Α σημείου τῇ Γ παράλληλος ἡ ΗΘ. ὀρθαὶ ἄρα αἱ πρὸς τῷ Κ. ἐὰν
δὴ τὸ ΒΓΚ τρίγωνονμενούσης τῆς Α Β περὶ τὴν ὀρθὴν γωνίαν τὴν Κ
περιενεχθὲν εἰς τὸ αὐτὸ πάλιν ἀποκατασταθῇ, ὅθεν ἤρξατο φέρεσθαι, ἡ μὲν Β Γ καθʼ ἓν σημεῖον ἐφάψεται τῆς
σφαίρας, ἡ δὲ ΚΓ ποιήσει τὴν τομὴν κύκλον. κύκλου μὲν ἄρα περιφέρεια ὀφθήσεται ἐν τῇ σφαίρᾳ. λέγω δέ, ὅτι καὶ ἔλαττον ἡμισφαιρίου. ἐπεὶ γὰρ ἡμικύκλιόν ἐστι τὸ ΗΘ, τὸ Γ ἔλαττον ἡμικυκλίου ἐστίν. καὶ ὁρᾶται ὑπὸ τῶν ΒΓ Β ἀκτίνων τὸ αὐτὸ τῆς σφαίρας
μέρος. ἔλαττον ἄρα ἡμισφαιρίου τὸ Γ· καὶ ὑπὸ τῶν ἀκτίνων τῶν ΒΓ, Β βλέπεται.

Τοῦ ὄμματος προσιόντος τῇ σφαίρᾳ ἔλαττον ἔσται τὸ ὁρώμενον, δόξει δὲ μεῖζον ὁρᾶσθαι.

ἔστω σφαῖρα, ἧς κέντρον μὲν τὸ Α, ὄμμα δὲ τὸ Β, ἀφʼ οὗ ἐπεζεύχθω εὐθεῖα ἡ ΑΒ. καὶ περιγεγράφθω περὶ τὴν ΑΒ κύκλος ὁ ΓΒ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Α σημείου τῇ ΑΒ εὐθείᾳ πρὸς ὀρθὰς ἐφʼ ἑκάτερα εὐθεῖα [*]

ἡ ΕΖ, καὶ ἐκβεβλήσθω τὸ διὰ τῶν EΚ, ΑΒ ἐπίπεδον. ποιήσει οὖν τομὴν κύκλον. ἔστω ὁ ΓΕΖ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΓΑ, Αζεύχθωσαν, ζεύχθωσανΒ, ΒΓ, Γζεύχθωσαν. διὰ δὴ τὸ πρὸ αὐτοῦ ὀρθαὶ [μὲν] αἱ πρὸς τοῖς Γ, σημείοις. ἐφάπτονται
ἄρα αἱ ΒΓ, Β, αἵτινές εἰσιν ἀκτῖνες, καὶ βλέπεται ὑπὸ τοῦ Β ὄμματος τὸ Γ μέρος τῆς σφαίρας. μετακεκινήσθω δὴ τὸ ὄμμα ἔγγιον τῆς σφαίρας καὶ ἔστω τὸ Θ, ἀφʼ οὗ ἐπεζεύχθω εὐθεῖα ἡ ΘΑ, καὶ [περι] γεγράφθω κύκλος ὁ ΑΛΚ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΘΚ,
KΑ, ΑΛ, ΑΘ εὐθεῖαι. ὁμοίως δὴ ὑπὸ τοῦ Θ ὄμματος βλέπεται μὲν τὸ Κ Λ μέρος τῆς σφαίρας, ὑπὸ δὲ τοῦ Β ἐβλέπετο τὸ Γ. ἔλαττον δὲ τὸ ΚΛ τοῦ Γ. προσιόντος ἄρα τοῦ ὄμματος ἔλαττόν ἐστι τὸ ὁρώμενον. δοκεῖ δὲ μεῖζον φαίνεσθαι· μείζων γὰρ ἡ ὑπὸ ΚΘΛ
γωνία τῆς ὑπὸ ΓΒ γωνίας.

Σφαίρας διὰ δύο ὀμμάτων ὁρωμένης ἐὰν ἡ διάμετρος τῆς σφαίρας ἴση ᾖ τῇ εὐθείᾳ, ἐφʼ ἣν διεστήκασι τὰ ὄμματα ἀπʼ ἀλλήλων, τὸ ἡμισφαίριον αὐτῆς
ὀφθήσεται ὅλον.

[*]

ἔστω σφαῖρα, ἧς κέντρον τὸ Α, καὶ γεγράφθω ἐν τῇ σφαίρᾳ περὶ κέντρον τὸ Α κύκλος ὁ ΒΓ, καὶ ἤχθω διάμετρος αὐτοῦ ἡ ΒΓ, καὶ ἤχθωσαν ἀπὸ τῶν Β, Γ πρὸς ὀρθὰς αἱ
Β, ΓΕ, τῇ δὲ ΒΓ παράλληλος ἔστω ἡ Ε, ἐφʼ ἧς κείσθω τὰ ὄμματα τὰ
, Ε. λέγω, ὅτι τὸ ἡμισφαίριον ὅλον ὀφθήσεται. ἤχθω διὰ τοῦ Α ἑκατέρᾳ τῶν Β, ΓΕ παράλληλος ἡ ΑΖ τὸ ΑΒΖ ἄρα παραλληλόγραμμόν ἐστιν. ἐὰν δὴ μενούσης τῆς Α περιενεχθὲν εἰς τὸ αὐτὸ πάλιν ἀποκατασταθῇ, ὅθεν
ἤρξατο φέρεσθαι τὸ περιενεχθὲν σχῆμα, ἄρξεται μὲν ἀπὸ τοῦ Β, ἐλεύσεται δὲ καὶ ἐπὶ τὸ Γ καὶ τὸ Β, καὶ τὸ περιγραφὲν ὑπὸ τῆς ΑΒ σχῆμα κύκλος ἔσται, ὅς γε διὰ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἐστίν. ἡμισφαίριον ἄρα ὀφθήσεται ὑπὸ τῶν , Ε ὀμμάτων.

Ἐὰν τὸ τῶν ὀμμάτων διάστημα μεῖζον ᾖ τῆς ἐν τῇ σφαίρᾳ διαμέτρου, μεῖζον τοῦ ἡμισφαιρίου ὀφθήσεται τῆς σφαίρας.

ἔστω σφαῖρα, ἧς κέντρον τὸ Α, καὶ περιγεγράφθω
περὶ κέντρον τὸ Α κύκλος ὁ ΕΘΗ, ὄμματα δὲ τὰ Β, Γ, καὶ ἔστω τὸ διάστημα τὸ μεταξὺ τῶν Β, Γ ὄψεων μεῖζον τῆς ἐν τῇ σφαίρᾳ διαμέτρου, καὶ ἐπεζεύχθω [*]

ἡ ΒΓ. λέγω, ὅτι μεῖζον τοῦ ἡμισφαιρίου ὀφθήσεται. προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΒΕ, Γ καὶ προσεκβεβλήσθωσαν ἐπὶ τὰ Ε, μέρη· συμβάλλουσι δὴ ἀλλήλαις διὰ τὸ ἐλάσσονα εἶναι τὴν διάμετρον τῆς
ΒΓ. συμβαλλέτωσαν δὴ κατὰ τὸ Ζ σημεῖον. ἐπεὶ οὖν ἀπό τινος σημείου τῶν ἐκτὸς τοῦ κύκλου πρὸς τὴν περιφέρειαν προσπεπτώκασιν εὐθεῖαι αἱ ΖΕ, Ζ, τὸ ΘΕ ἄρα ἔλαττόν ἐστιν ἡμικυκλίου. τὸ ΕΗ ἄρα μεῖζόν ἐστιν ἡμικυκλίου. ἀλλʼ ὑπὸ τῶν Β, Γ τὸ EΗ
βλέπεται. μεῖζον ἄρα ἢ τὸ ἥμισυ ὀφθήσεται τοῦ κύκλου ὑπὸ τῶν Β, Γ. τὸ αὐτὸ ἄρα καὶ τῆς σφαίρας ὀφθήσεται.