Optica (19-22)

Μὴ ὑπάρχοντος ἡλίου τὸ δοθὲν ὕψος γνῶναι, πηλίκον ἐστίν.

ἔστω τι μεγέθους ὕψος τὸ ΑΒ, ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Γ, καὶ δέον ἔστω τὸ ΑΒ γνῶναι, πηλίκον ἐστίν.
ὡς μὴ ὑπάρχοντος ἡλίου. κείσθω κάτοπτρον τὸ Ζ, καὶ προσεκβεβλήσθω τῇ Ε ἐπʼ εὐθείας ἡ Β, ἄχρις οὗ συμβαλεῖ τῷ πέρατι τοῦ ΑΒ μεγέθους τῷ Β, καὶ προσπιπτέτω ἀκτὶς ἀπὸ τοῦ ὄμματος τοῦ Γ ἡ ΓΗ, καὶ ἀντανακεκλάσθω, ἄχρις οὗ συμβαλεῖ τῷ πέρατι
τοῦ ΑΒ μεγέθους τῷ Α, καὶ προσεκβεβλήσθω τῇ Ε ἡ ΕΘ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὴν ΕΘ κάθετος ἡ [*]

ΓΘ. ἐπεὶ οὖν προσπέπτωκεν ἀκτὶς ἡ ΓΗ καὶ ἀντανακέκλασται ἡ ΗΑ, πρὸς ἴσας γωνίας ἀνακεκλασμέναι εἰσίν, ὡς ἐν τοῖς Κατοπτρικοῖς λέγεται· ἴση ἄρα γωνία ἡ ὑπὸ ΓΗΘ τῇ ὑπὸ ΑΗΒ. ἀλλὰ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΗ
τῇ ὑπὸ ΓΘΗ ἴση· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΗΓΘ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΗΑΒ ἐστιν ἴση. ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΗΒ τρίγωνον τῷ ΓHΘ τριγώνῳ. τῶν δὲ ἰσογωνίων τριγώνων ἀνάλογόν εἰσιν αἱ πλευραί. ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΓΘ πρὸς τὴν ΘΗ, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΗ. ἀλλʼ
ὁ τῆς ΓΘ πρὸς τὴν Θ λόγος ἐστὶ γνώριμος· καὶ ὁ τῆς ΒΑ ἄρα πρὸς τὴν ΒΗ λόγος ἐστὶ γνώριμος. ἀλλʼ ἡ ΗΒ ἐστι γνώριμος. καὶ ἡ ΑΒ ἄρα ἐστὶ γνώριμος.

Τὸ δοθὲν βάθος γνῶναι, πηλίκον ἐστίν.

ἔστω τὸ δοθὲν βάθος τὸ Α, ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Ε, καὶ δέον τὸ βάθος γνῶναι, πηλίκον ἐστίν. προσπιπτέτω γὰρ τῇ ὄψει ἡλίου ἀκτὶς ἡ Ε συμβάλλουσα τῷ ἐπιπέδῳ κατὰ τὸ Β σημεῖον
καὶ τῷ βάθει κατὰ τὸ . καὶ προσεκβεβλήσθω ἀπὸ τοῦ Β ἐπʼ εὐθείας ἡ ΒΖ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τὴν ΒΖ εὐθεῖαν κάθετος
ἡ ΕΖ. ἐπεὶ οὖν ἴση γωνία ἡ ὑπὸ ΕΖΒ τῇ ὑπὸ ΒΑ, ἀλλὰ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒ τῇ ὑπὸ ΕΒΖ, καὶ ἡ τρίτη ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΕΖ τῇ ὑπὸ ΑΒ ἐστιν ἴση. ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒ τρίγωνον τῷ ΒΕΖ τριγώνῳ. καὶ αἰ [*]

πλευραὶ ἄρα ἀνάλογον ἔσονται. ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΖΒ, ἡ Α πρὸς τὴν ΑΒ. ἀλλʼ ὁ τῆς ΕΖ πρὸς τὴν ΖΒ λόγος ἐστὶ γνώριμος· καὶ ὁ τῆς Α ἄρα πρὸς τὴν ΑΒ λόγος ἐστὶ γνώριμος. καί ἐστι καὶ
τὸ ΑΒ γνώριμον. καὶ τὸ Α ἄρα γνώριμόν ἐστιν.

Τὸ δοθὲν μῆκος ἐπιγνῶναι, πηλίκον ἐστίν. ἔστω τὸ δοθὲν μῆκος τὸ ΑΒ, ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Γ. καὶ δέον ἔστω τὸ ΑΒ μῆκος γνῶναι, πηλίκον ἐστίν
προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΓΑ, ΓΒ, καὶ εἰλήφθω ἐγγὺς τοῦ ὄμματος τοῦ Γ ἐπὶ τῆς ἀκτῖνος τυχὸν σημεῖον τὸ , καὶ ἤχθω διὰ τοῦ σημείου τῇ
ΑΒ παράλληλος εὐθεῖα ἡ Ε. ἐπεὶ οὖν τριγώνου τοῦ ΑΒΓ παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν τὴν ΒΑ ἦκται ἡ Ε, ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ Γ πρὸς τὴν Ε, οὕτως ἡ πρὸς τὴν ΑΒ. ἀλλʼ ὁ τῆς Γ πρὸς τὴν Ε λόγος
ἐστὶ γνώριμος· καὶ ὁ τῆς ΑΓ ἄρα πρὸς τὴν ΑΒ λόγος γνώριμός ἐστιν. καὶ γνώριμός ἐστιν ἡ ΑΓ. γνώριμος ἄρα καὶ ἡ ΑΒ.

Ἐὰν ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ, ἐν τὸ ὄμμα, κύκλου
περιφέρεια τεθῇ, ἡ τοῦ κύκλου περιφέρεια εὐθεῖα γραμμὴ φαίνεται.

ἔστω κύκλου περιφέρεια ἡ ΒΓ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ κειμένη τῷ ὄμματι τῷ Α, ἀφʼ οὗ προσπιπτέτωσαν [*]

ἀκτῖνες αἱ ΑΒ, Α, ΑΕ, ΑΖ, ΑΗ, ΑΘ, ΑΓ. λέγω, ὅτι ἡ ΒΓ περιφέρεια εὐθεῖα φαίνεται. κείσθω τῆς περιφερείας τὸ κέντρον καὶ ἔστω τὸ Κ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν εὐθεῖαι αἱ
ΚΒ, Κ, ΚΕ, ΚΖ, ΚΗ, ΚΘ, ΚΓ. ἐπεὶ οὖν ἡ ΚΒ ὑπὸ τῆς ὑπὸ ΚΑΒ γωνίας
βλέπεται, ἡ δὲ Κ ὑπὸ τῆς ὑπὸ ΚΑ, μείζων ἄρα φανήσεται ἡ μὲν ΚΒ τῆς Κ, ἡ δὲ Κ τῆς ΚΕ, ἡ δὲ ΚΕ τῆς ΚΖ, καὶ ἐκ τοῦ ἑτέρου μέρους
ἡ μὲν ΚΓ τῆς ΚΘ, ἡ δὲ Κ τῆς ΚΗ, ἡ δὲ ΚΗ τῆς Κ μείζων φανήσεται. διὰ τοῦτο δὴ τῆς μενούσης εὐθείας τῆς ΚΑ κάθετος ἡ ΒΓ ἀεί ἐστιν. τὰ δʼ αὐτὰ συμβήσεται καὶ ἐπὶ τῆς κοίλης περιφερείας.

Ἄλλως.

Δυνατὸν δὲ καὶ ἐπʼ αὐτῶν τῶν ὄψεων ταῦτα λέγειν, ὅτι ἐλαχίστη μὲν ἡ μεταξὺ τοῦ Α ὄμματος καὶ τῆς διαμέτρου, ἀεὶ δὲ ἡ ἔγγιον αὐτῆς ἐλάττων τῆς ἀπώτερον. ταὐτὰ δὲ συμβαίνει καὶ [ἐὰν] καθέτου ἐπʼ αὐτὴν οὔσης τῆς Α Ζ. διὰ τοῦτο φαντασίαν εὐθείας
ἀποστέλλει ἡ περιφέρεια, καὶ μάλιστα εἰ ἀπὸ πλείονος φαίνοιτο διαστήματος ὥστε μὴ συναισθάνεσθαι ἡμᾶς τῆς κυρτότητος. διὰ τοῦτο καὶ οἱ μὴ πάνυ ἀποτεταμένοι κάλοι ἐκ πλαγίου μὲν ὁρώμενοι ἐγχάλασμα ἔχειν [*]

δοκοῦσιν, ὑποκάτωθεν δʼ εὐθεῖς εἶναι, καὶ αἱ σκιαὶ δὲ τῶν κρίκων ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ κειμένων τῷ φωτίζοντι εὐθεῖαι γίνονται.

Ἄλλως.

Ἐὰν ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ τῷ ὄμματι κύκλου περιφέρεια τεθῇ, εὐθεῖα γραμμὴ ἡ τοῦ κύκλου περιφέρεια φαίνεται.

ἔστω κύκλου περιφέρεια ἡ ΒΓ, ὄμμα δὲ
ἔστω τὸ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ ὄν τῇ ΒΓ περιφερείᾳ, ἀφʼ οὗ προσπιπτέτωσαν ὄψεις αἱ Β, Ζ, Γ. οὐκοῦν, ἐπειδὴ τῶν ὁρωμένων οὐδὲν ὅλον ἅμα ὁρᾶται, εὐθεῖα ἄρα
ἐστὶν ἡ ΒΖ. ὁμοίως δὴ καὶ ἡ ΖΓ. ὅλη ἄρα ἡ ΒΓ περιφέρεια εὐθεῖα δόξει.