Optica (27-30)

Ἐὰν τὸ τῶν ὀμμάτων διάστημα ἔλαττον ᾖ τῆς ἐν
τῇ σφαίρᾳ διαμέτρου, ἔλαττον ἡμισφαιρίου ὀφθήσεται.

ἔστω σφαῖρα, ἧς κέντρον τὸ Α σημεῖον, καὶ περιγεγράφθω περὶ τὸ Α σημεῖον κύκλος ὁ ΒΓ, καὶ κείσθω τὸ διάστημα τῶν ὀμμάτων τὸ γεγράφθωΕ ἔλασσον ὄν τῆς ἐν [*]

τῇ σφαίρᾳ διαμέτρου, ἀφʼ οὗ ἤχθωσαν ἐφαπτόμεναι αἱ Β, ΕΓ αἱ αὐταὶ καὶ ἀκτῖνες. λέγω, ὅτι ἔλασσονι ἡμισφαιρίου ὀφθήσεται. ἐκβεβλήσθωσαν γὰρ αἱ Β. ΓΕ συμπεσοῦνται δὴ ἐπὶ τὰ Γ, Η, Β μέρη, ἐπειδήπερ
ἡ Ε ἐλάσσων ἐστὶ τῆς ἐν τῇ σφαίρᾳ διαμέτρου. συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ σημεῖον. ἐπεὶ οὗν ἀπό τινος σημείου τοῦ Ζ προσπεπτώκασιν εὐθεῖαι αἱ ΖΓ, ΖΒ. τὸ ΒΗΓ ἄρα ἔλαττόν ἐστιν ἡμικυκλίου. ἀλλʼ ἐν ᾧ ἐστι τὸ ΒΗΓ τμῆμα, ἐν τούτῳ καὶ τὸ τῆς σφαίρας
ἀπολαμβάνουσιν ἄρα ἔλαττον ἡμισφαιρίου.

Κυλίνδρου ὁπωσδηποτοῦν ὑπὸ ἑνὸς ὄμματος ὁρωμένου ἔλαττον ἡμικυλινδρίου ὀφθήσεται.

ἔστω κύλινδρος, οὗ ἔστω κέντρον τῆς βάσεως τὸ Α
σημεῖον, καὶ περιγεγράφθω περὶ τὸ Α κύκλος ὁ ΒΓ καὶ κείσθω ὄμμα τὸ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ κείμενον τῇ βάσει
τοῦ κυλίνδρου τῇ ΒΓ, καὶ ἐπεζεύχθω ἀπὸ τοῦ ἐπὶ τὸ Α ἡ Α,
καὶ ἤχθωσαν ἀπὸ τοῦ ἀκτῖνες αἱ Β, Γ. καὶ ἐφαπτέσθωσαν τοῦ κύκλου, καὶ ἀνήχθωσαν ἀπὸ τῶν Β, Γ σημείων πρὸς ὀρθὰς πλευραὶ τοῦ κυλίνδρου αἱ ΒΕ, ΓΖ, καὶ ἐκβεβλήσθω τό τε διὰ τῶν Β, ΒΕ [*]

ἐπίπεδον καὶ τὸ διὰ τῶν Γ, ΓΖ. οὐδέτερον ἄρα αὐτῶν τέμνει τὸν κύλινδρον· ἐφάπτονται γὰρ καὶ αι Β, Γ καὶ αἱ ΒΕ, ΓΖ. βλέπεται οὖν ὑπὸ τῶν Β, Γ ἀκτίνων τὸ ΒΓ, ὅπερ ἐστὶν ἔλαττον ἡμικυκλίου.
τὸν αὐτὸν δὴ τρόπον καὶ ἔλαττον ἡμικυλινδρίου ὁραθήσεται.

εἰ δὲ ὑπὸ δύο ὀμμάτων ὁρῷτο, φανερόν, ὅτι καὶ ἐπʼ αὐτοῦ συμβήσεται τὰ ἐπὶ τῆς σφαίρας εἰρημένα.

Ἄλλως.

Ἔστω κύκλος, οὗ ἔστω κέντρον τὸ Α, σημεῖον δὲ ἐκτὸς ἔστω τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθω ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Ζ ἡ ΑΖ, καὶ ἀνήχθω ἀπὸ τοῦ Α σημείου τῇ ΑΖ πρὸς ὀρθὰς ἐφʼ ἑκάτερα τὰ μέρη ἡ Γ· ἡ Γ ἄρα διάμετρός ἐστι τοῦ κύκλου. καὶ περιγεγράφθω περὶ τὴν
ΑΖ κύκλος ὁ ΑΒΖΕ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ, ΒΖ, ΖΕ, ΕΑ. αἱ ΖΒ, ΖΕ ἄρα ἐφάπτονται, ἐπειδήπερ αἱ πρὸς τοῖς Β, Ε σημείοις εἰσὶν ὀρθαί. ἐπεὶ οὖν ἀπό τινος σημείου τοῦ πρὸς τὴν τοῦ κύκλου περιφέρειαν προσπεπτώκασιν ἀκτῖνες αἱ ΒΖ, ΖΕ, τὸ ΒΕ ἄρα μέρος
ὁραθήσεται τοῦ κύκλου. ἔστι δὲ τὸ ΓΒΕ ἡμικύκλιον. τὸ ΒΕ ἄρα ἔλαττόν ἐστιν ἡμικυκλίου.

[*]

τοῦτο δὲ τὸ θεώρημα γέγονε πρὸς τοὺς κώνους τε καὶ τοὺς κυλίνδρους. ἐὰν γὰρ ἀπὸ τῶν Β, Ε σημείων ἀχθῶσι πρὸς ὀρθὰς αἱ πλευραὶ τῶν κυλίνδρων, ἐφάψονται αὐτῶν, καθ ὃ μέρος καὶ αἱ. ἀκτῖνες προσπίπτουσι,
καὶ ἀποκλεισθήσεται τὸ ΒΕ μέρος τῆς ὄψεως, θεωρηθήσεται δὲ τὸ ΒΕ μέρος τοῦ ἡμικυκλίου. τὸ αὐτὸ ἄρα μέρος καὶ τῶν κώνων θεωρηθήσεται τὸ ἔλαττον.

Τοῦ ὄμματος τεθέντος ἔγγιον τοῦ κυλίνδρου ἔλαττον μέν ἐστι τὸ περιλαμβανόμενον ὑπὸ τῶν ἀκτίνων τοῦ κυλίνδρου, δόξει δὲ μεῖζον ὁρᾶσθαι.

ἔστω κύλινδρος, οὗ βάσις μὲν ὁ ΒΓ κύκλος, κέντρον δὲ τὸ Α, ὄμμα δὲ τὸ Ε, ἀφ οὗ ἐπεζεύχθω ἐπὶ
τὸ κέντρον ἡ ΕΑ, καὶ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΕΒ, ΕΓ, καὶ ἀνήχθωσαν ἀπὸ τῶν Β, Γ σημείων πρὸς ὀρθὰς τῷ κυλίνδρῳ αἱ ΓΖ, ΒΗ. διὰ δὴ τὰ πρότερα τὸ ΗΒΓΖ ἔλαττόν ἐστιν ἡμικυλινδρίου· καὶ βλέπεται ὑπὸ τοῦ Ε ὄμματος. μετακείσθω δὴ τὸ ὄμμα ἔγγιον τὸ Θ.
λέγω, ὅτι τὸ περιλαμβανόμενον ὑπὸ τοῦ Θ ὄμματος δοκεῖ τοῦ ΖΓΒΗ μεῖζον φαίνεσθαι ἔλαττον αὐτοῦ ὄν. [*]

προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΘΚ, ΘΛ, καὶ ἀνήχθωσαν ἀπὸ τῶν Κ, Λ σημείων [αἱ] πλευραὶ τοῦ κυλίνδρου πρὸς ὀρθὰς αἱ ΚΜ, ΛΝ. θεωρηθήσεται δὴ ὑπὸ τῶν ΘΚ, ΘΛ ἀκτίνων τὸ ΜΚΛΝ μέρος τοῦ κυλίνδρου.
ἀλλὰ καὶ ὑπὸ τῶν ΕΒ, ΕΓ τὸ ΖΓΒΗ. ἔστι δὲ τὸ ΖΓΒΗ τοῦ ΜΚΛΝ μεῖζον· δοκεῖ δὲ ἔλασσον φαίνεσθαι, ἐπειδήπερ καὶ μείζων γωνία ἡ πρὸς τῷ Θ τῆς πρὸς τῷ Ε.

Κώνου κύκλον ἔχοντος τὴν βάσιν καὶ πρὸς ὀρθὰς αὐτῇ τὸν ἄξονα ὑπὸ τοῦ ἑνὸς ὄμματος ὁρωμένου ἔλαττον ἡμικωνίου ὀφθήσεται.

ἔστω κῶνος, οὗ βάσις μὲν ὁ ΒΓ κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ Α σημεῖον, ὄμμα δὲ ἔστω τὸ , ἀφ οὗ προσπιπτέτωσαν
ἀκτῖνες αἱ Β, Γ. καὶ ἐπεὶ προσπεπτώκασιν ἀκτῖνες αἱ Γ, Β
ἐφαπτόμεναι τοῦ ΒΓ, τὸ ΒΓ ἄρα ἔλασσόν ἐστιν ἡμικυκλίου διὰ τὰ προαποδεδειγμένα. ἤχθωσαν ἀπὸ τῆς κορυφῆς τοῦ κώνου τῆς Α ἐπὶ τὰ Β, Γ σημεῖα πλευραὶ
τοῦ κώνου αἱ ΑΒ, ΑΓ. τὸ ἄρα ἐμπεριλαμβανόμενον ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΑΓ εὐθειῶν καὶ τοῦ ΒΓ τομέως ἔλαττόν ἐστιν ἡμικωνίου, ἐπειδήπερ καὶ τὸ ΒΓ ἔλασσόν ἐστιν ἡμικυκλίου. ἔλασσον ἄρα ἡμικωνίου ὀφθήσεται.

[*]