Scaife ATLAS

CTS Library / De utilitate mathematicae

De utilitate mathematicae (81-85)

urn:cts:greekLit:tlg1724.tlg001.1st1K-grc1:81-85
Refs {'start': {'reference': '81', 'human_reference': 'Paragraph 81'}, 'end': {'reference': '85', 'human_reference': 'Paragraph 85'}}
Ancestors []
Children []
prev
plain textXML
next

πολλαπλασιεπιμόριος δέ ἐστι λόγος, ὅταν μείζων ὅρος δὶς πλεονάκις ἔχῃ τὸν ἐλάττονα καὶ ἔτι μέρος [*]

79
αὐτοῦ, ὡς μὲν τῶν ζʹ δὶς ἔχει τὸν γʹ καὶ ἔτι τρίτον αὐτοῦ, καὶ λέγεται αὐτοῦ διπλασιεπίτριτος, δὲ τῶν θʹ δὶς ἔχει τὸν τῶν δʹ καὶ ἔτι τὸ τέταρτον· αὐτοῦ, λέγεται δὲ διπλασιεπιτέταρτος, δὲ τῶν ιʹ τρὶς ἔχει τὸν τῶν γʹκαὶτὸτρίτον αὐτοῦ, καὶ λέγεται τριπλασιεπίτριτος.
παραπλησίως δὲ θεωρείσθωσαν καὶ οἱ λοιποὶ πολλα- πλασιεπιμόριοι. τοῦτο δὲ συμβαίνει, ὅταν δυεῖν προ- τεθέντων ἀριθμῶν ἐλάττων καταμετρῶν τὸν μείζονα μὴ ἰσχύσῃ ὅλον καταμετρῆσαι, ἀλλʼ ἀπολείπῃ μέρος τοῦ μείζονος, ἐστιν αὐτοῦ τοῦ ἐλάσσονος μέρος· οἷον
τῶν κϚʹ τοῦ τῶνηʹ πολλαπλασιεπιμόριος λέγεται, ἐπειδή- περ ηʹτρὶς καταμετρήσας τὸν κςʹ οὐχ ὅλον ἀπήρτι- σεν, ἀλλὰ μέχρι τῶν κδʹ ἐλῦών δύο ἐκ τῶν κςʹ ἀπέλι- πεν, ἐστι τῶν ηʹ τέταρτον.

πολλαπλασιεπιμερὴς δέ ἐστι λόγος, ὅταν μείζων
ὅρος δὶς πλεονάκις ἔχῃ τὸν ἐλάττονα καὶ δύο πλείω τινὰ μέρη αὐτοῦ εἴτε ὅμοια εἴτε διάφορα· οἷον μὲν τῶν ηʹ δὶς ἔχει τὸν τῶν γʹ καὶ δύο τρίτα αὐτοῦ, λέγεται δὲ διπλάσιος καὶ δὶς ἐπίτριτος, δὲ τῶν ιαʹ τοῦ τῶν γʹτριπλάσιος καὶ δὶς ἐπίτριτος, δὲ τῶν ιαʹ τοῦ τῶν
δʹ διπλάσιός τε καὶ ἡμιόλιος καὶ ἐπιτέταρτος διπλά- σιός τε καὶ τρὶς ἐπιτέταρτος. καὶ τοὺς ἄλλους δὲ πολλα- πλασιεπιμερεῖς πολλοὺς καὶ ποικίλους ὄντας προχειρί- ζεσθαι ῥᾴιον. τοῦτο δὲ γίνεται, ὅταν ἐλάττων ἀρ θμὸς καταμετρήσας τὸν μείζονα μὴ ἰσχύσῃ ἀπαρτί-
σαι, ἀλλʼ ἀπολείπῃ ἀριθμόν τινα, ἐστι μέρη αὐτοῦ, [*]

80
ὡς τῶν ιδʹ τοῦ τῶν γʹ· γὰρ τριὰς καταμετρήσασα τὸν τῶν ιδʹ οὐκ ἴσχυσεν ἀπαρτίσαι, ἀλλὰ προκόψασα τετράκις μέχρι τῶν ιβʹ τὴν λοιπτὴν ἀπὸ τῶν ιδʹ ἀπέλιπε δυάδα, ἥτις ἐστὶ τῶν γʹ δίμοιρον, δὴ λέγεται δύο
τρίτα. ἀντίκειται δὲ καὶ τῷ πολλαπλασιεπιμερεῖ ὑπο- πολλαπλασιεπιμερής.

ἀριθμοῦ δὲ πρὸς ἀριθμὸν λόγος ἐστίν, ὅταν μεί- ζων πρὸς τὸν ἐλάττονα ἐν μηδενὶ τῶν προειρημένων λόγων, κάθὰ δειχθήσεται καὶ τὸ λεῖμμα περιέχων
[φθόγγος] λόγος ἀριθμοῦ πρὸς ἀριθμὸν ἔχων τοὺς ὅρους ἐν ἐλαχίστοις ὡς σνςʹ πρὸς σμγ. φανεροὶ δὲ καὶ οἱ τῶν ἐλαττόνων ὅρων πρὸς τοὺς μείζονας λόγοι ἀντεστραμμένως ὑπʼ ἐκείνων προσαγορευόμενοι, καθὰ ἐδείχθη.


πάντων δὲ τῶν κατʼ εἶδος εἰρημένων λόγων οἱ ἐν ἐλαχίστοις καὶ πρώτοις πρὸς ἀλλήλους ἀριθμοῖς ὄντες καθʼ ἕκαστον πρῶτοι λέγονται τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων καὶ πυθμένες τῶν ὁμοειδῶν. οἷον διπλασίων μὲν λόγων πρῶτος καὶ πυθμὴν τῶν βʹ πρὸς ἔν· μετὰ
γὰρ τοῦτον ἐν μείζοσι καὶ συνθέτοις ἀριθμοῖς λόγοι εἰσὶ διπλάσιοι τῶν δʹ πρὸς τὰ βʹ καὶ τῶν ϛʹ πρὸς τὰ γʹ καὶ ὁμοίως ἐπʼ ἄπειρον. τριπλασίων δὲ λόγων πρῶ- τος καὶ πυθμὴν τῶν γʹ πρὸς τὸ ἕν· οἱ δὲ αἰεὶ ἐν μεί- ζοσι καὶ συνθέτοις ἀριθμοῖς ἐπʼ ἄπειρον προάγουσιν.
ὡσαύτως δὲ ἐπὶ τῶν ἄλλων πολλαπλασίων. ὁμοίως δὲ [*]

81
καὶ ἐν τοῖς ἐπιμορίοις. ἡμιολίων μὲν λόγων πρῶτος καὶ πυθμὴν τῶν γʹ πρὸς τὰ β, ἐπιτρίτων δὲ τῶν δʼ πρὸς γ, καὶ ἐπιτετάρτων τῶν εʹ πρὸς δʹ· οἱ δὲ ἐν μείζοσιν ὅροις καὶ συνθέτοις πάλιν ἄπειροι τὸ πλῆθος. τὸ δʼ αὐτὸ θεωρεῖται καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων.

διαφέρει δὲ διάστημα καὶ λόγος, ἐπειδὴ διάστημα μέν ἐστι τὸ μεταξὺ τῶν ὁμογενῶν τε καὶ ἀνίσων ὅρων, λόγος δὲ ἀπλῶς τῶν ὁμογενῶν ὅρων πρὸς ἀλλήλους σχέσις. διὸ καὶ τῶν ἴσων ὅρων διάστημα μὲν οὐδέν ἐστι μεταξύ, λόγος δὲ πρὸς ἀλλήλους εἶς καὶ αὐτὸς
τῆς ἰσότητος· τῶν δὲ ἀνίσων διάστημα μὲν ἕν καὶ τὸ αὐτὸ ἀφʼ ἑκατέρου πρὸς ἑκάτερον, λόγος δὲ Κίερος καὶ ἐναντίος ἑκατέρου πρὸς ἑκάτερον· οἷον ἀπὸ τῶν βʹ πρὸς τὸ ἕν καὶ ἀπὸ τοῦ ἑνὸς πρὸς τὰ βʹ διάστημα ἕν καὶ τὸ αὐτό, λόγος δὲ ἕτερος, τῶν μὲν δύο πρὸς τὸ ἕν
διπλάσιος, τοῦ δὲ ἑνὸς πρὸς τὰ βʹ ἥμισυς.

Tokens

πολλαπλασιεπιμόριος 1 w 19
δέ 1 w 21
ἐστι 1 w 25
λόγος 1 w 30
ὅταν 1 w 35
1 w 36
μείζων 1 w 42
ὅρος 1 w 46
δὶς 1 w 49
1 w 50
πλεονάκις 1 w 59
ἔχῃ 1 w 62
τὸν 1 w 65
ἐλάττονα 1 w 73
καὶ 1 w 76
ἔτι 1 w 79
μέρος 1 w 84
1 1 w 85
οἱ 1 w 87
μείζονες 1 w 95
ἐπὶ 1 w 99
μείζονος 1 w 107
cf 1 w 110
v 1 w 112
5 1 w 114
4 1 w 115
Ϛδ 1 w 117
ante 1 w 124
2 w 125
A 1 w 126
ἑξῆς 1 w 131
apogr 1 w 136
6 1 w 138
inser 1 w 143
περὶ 1 w 148
ἐπιμεροῦς 1 w 157
λόγου 1 w 162
A 2 w 163
κῆ 1 w 166
in 2 w 168
mg 1 w 170
μείζων 2 w 177
ω 3 w 179
ex 1 w 181
ο 14 w 182
A 3 w 183
7 1 w 185
ἔχη 1 w 188
ex 2 w 190
ἔχει 1 w 194
A 4 w 195
μέρει 1 w 200
A 5 w 201
em 1 w 204
apogr 2 w 210
cf 2 w 213
vs 1 w 216
24 1 w 219
p 3 w 221
79 1 w 224
17 1 w 227
13 1 w 229
δὲ 1 w 231
primo 1 w 236
om 1 w 238
tum 1 w 242
add 1 w 245
A 6 w 247
ἔχη 2 w 250
corr 1 w 254
ex 3 w 257
ἔχει 2 w 261
A 7 w 262
16 1 w 264
νὴ 1 w 266
δία 1 w 269
A2 1 w 271
1 w 273
διἀ 1 w 276
A 9 w 277
20 1 w 279
άνομίοις 1 w 287
A 10 w 288
ὑπομερὴς 1 w 296
A 11 w 297
21 1 w 299
τὸ 2 w 301
μεῖζον 1 w 307
A 12 w 308
23 1 w 311
inscr 1 w 316
περὶ 2 w 321
πολλᾳyλασιε 1 w 332
ῷιμορίων 1 w 340
A 13 w 341
μείζων 3 w 348
corr 2 w 352
ex 4 w 355
μεῖζον 2 w 361
A 14 w 362
24 2 w 364
ἔχη 3 w 367
corr 3 w 371
ex 5 w 374
ἔχει 3 w 378
A 15 w 379
αὐτοῦ 1 w 385
ὡς 1 w 388
3 w 389
μὲν 1 w 392
τῶν 1 w 395
ζʹ 1 w 397
δὶς 2 w 400
ἔχει 4 w 404
τὸν 2 w 407
γʹ 1 w 409
καὶ 2 w 412
ἔτι 2 w 415
τρίτον 1 w 421
αὐτοῦ 2 w 426
καὶ 3 w 430
λέγεται 1 w 437
αὐτοῦ 3 w 442
διπλασιεπίτριτος 1 w 458
4 w 460
δὲ 2 w 462
τῶν 2 w 465
θʹ 1 w 467
δὶς 3 w 470
ἔχει 5 w 474
τὸν 3 w 478
τῶν 3 w 482
δʹ 1 w 484
καὶ 4 w 487
ἔτι 3 w 490
τὸ 5 w 492
τέταρτον 1 w 500
αὐτοῦ 4 w 506
λέγεται 2 w 514
δὲ 3 w 516
διπλασιεπιτέταρτος 1 w 534
5 w 536
δὲ 4 w 538
τῶν 4 w 541
ιʹ 1 w 543
τρὶς 1 w 547
ἔχει 6 w 551
τὸν 4 w 554
τῶν 5 w 557
γʹκαὶτὸτρίτον 1 w 570
αὐτοῦ 5 w 575
καὶ 6 w 579
λέγεται 3 w 586
τριπλασιεπίτριτος 1 w 603
παραπλησίως 1 w 615
δὲ 5 w 617
θεωρείσθωσαν 1 w 629
καὶ 7 w 632
οἱ 2 w 634
λοιποὶ 1 w 640
πολλα- 1 w 646
πλασιεπιμόριοι 1 w 660
τοῦτο 1 w 666
δὲ 6 w 668
συμβαίνει 1 w 677
ὅταν 2 w 682
δυεῖν 1 w 687
προ- 1 w 691
τεθέντων 1 w 699
ἀριθμῶν 1 w 706
6 w 707
ἐλάττων 1 w 714
καταμετρῶν 1 w 724
τὸν 5 w 727
μείζονα 1 w 734
μὴ 1 w 736
ἰσχύσῃ 1 w 742
ὅλον 1 w 746
καταμετρῆσαι 1 w 758
ἀλλʼ 1 w 763
ἀπολείπῃ 1 w 771
μέρος 2 w 776
τοῦ 7 w 779
μείζονος 2 w 787
5 w 789
ἐστιν 1 w 794
αὐτοῦ 6 w 799
τοῦ 9 w 802
ἐλάσσονος 1 w 811
μέρος 3 w 816
οἷον 1 w 821
7 w 822
τῶν 6 w 825
κϚʹ 1 w 828
τοῦ 10 w 831
τῶνηʹ 1 w 836
πολλαπλασιεπιμόριος 2 w 855
λέγεται 4 w 862
ἐπειδή- 1 w 870
περ 3 w 873
8 w 875
ηʹτρὶς 1 w 882
καταμετρήσας 1 w 894
τὸν 6 w 897
κςʹ 1 w 900
οὐχ 1 w 903
ὅλον 2 w 907
ἀπήρτι- 1 w 914
σεν 1 w 917
ἀλλὰ 1 w 922
μέχρι 1 w 927
τῶν 8 w 930
κδʹ 1 w 933
ἐλῦών 1 w 938
δύο 1 w 941
ἐκ 1 w 943
τῶν 9 w 946
κςʹ 2 w 949
ἀπέλι- 1 w 955
πεν 1 w 958
7 w 960
ἐστι 3 w 964
τῶν 10 w 967
ηʹ 3 w 969
τέταρτον 2 w 977
πολλαπλασιεπιμερὴς 1 w 996
δέ 2 w 999
ἐστι 4 w 1004
λόγος 2 w 1009
ὅταν 3 w 1014
9 w 1015
μείζων 4 w 1021
ὅρος 2 w 1025
δὶς 4 w 1028
1 w 1029
πλεονάκις 2 w 1038
ἔχῃ 2 w 1041
τὸν 7 w 1044
ἐλάττονα 2 w 1052
καὶ 8 w 1055
δύο 2 w 1058
2 w 1059
πλείω 1 w 1064
τινὰ 1 w 1068
μέρη 1 w 1072
αὐτοῦ 7 w 1077
εἴτε 1 w 1081
ὅμοια 1 w 1086
εἴτε 2 w 1090
διάφορα 1 w 1097
οἷον 2 w 1102
10 w 1103
μὲν 2 w 1106
τῶν 11 w 1109
ηʹ 4 w 1111
δὶς 5 w 1114
ἔχει 7 w 1118
τὸν 8 w 1121
τῶν 12 w 1124
γʹ 3 w 1126
καὶ 9 w 1129
δύο 3 w 1132
τρίτα 1 w 1137
αὐτοῦ 8 w 1142
λέγεται 5 w 1150
δὲ 7 w 1152
διπλάσιος 1 w 1161
καὶ 10 w 1164
δὶς 6 w 1167
ἐπίτριτος 1 w 1176
11 w 1178
δὲ 8 w 1180
τῶν 13 w 1183
ιαʹ 1 w 1186
τοῦ 13 w 1189
τῶν 14 w 1192
γʹτριπλάσιος 1 w 1204
καὶ 11 w 1207
δὶς 7 w 1210
ἐπίτριτος 2 w 1219
12 w 1221
δὲ 9 w 1223
τῶν 15 w 1226
ιαʹ 2 w 1229
τοῦ 14 w 1232
τῶν 16 w 1235
δʹ 3 w 1237
διπλάσιός 1 w 1246
τε 4 w 1248
καὶ 12 w 1251
ἡμιόλιος 1 w 1259
καὶ 13 w 1262
ἐπιτέταρτος 1 w 1273
3 w 1274
διπλά- 1 w 1280
σιός 2 w 1284
τε 5 w 1286
καὶ 14 w 1289
τρὶς 3 w 1293
ἐπιτέταρτος 2 w 1304
καὶ 15 w 1308
τοὺς 1 w 1312
ἄλλους 1 w 1318
δὲ 10 w 1320
πολλα- 2 w 1326
πλασιεπιμερεῖς 1 w 1340
πολλοὺς 1 w 1347
καὶ 16 w 1350
ποικίλους 1 w 1359
ὄντας 1 w 1364
προχειρί- 1 w 1373
ζεσθαι 1 w 1379
ῥᾴιον 1 w 1384
τοῦτο 2 w 1390
δὲ 11 w 1392
γίνεται 1 w 1399
ὅταν 4 w 1404
13 w 1405
ἐλάττων 2 w 1412
ἀρ 2 w 1414
θμὸς 1 w 1418
καταμετρήσας 2 w 1430
τὸν 9 w 1433
μείζονα 2 w 1440
μὴ 2 w 1442
ἰσχύσῃ 2 w 1448
ἀπαρτί- 1 w 1455
σαι 2 w 1458
ἀλλʼ 2 w 1463
ἀπολείπῃ 2 w 1471
ἀριθμόν 1 w 1478
τινα 1 w 1482
1 w 1484
ἐστι 5 w 1488
μέρη 2 w 1492
αὐτοῦ 9 w 1497
3 3 w 1499
τὸν 10 w 1503
τῶν 17 w 1507
τὸν 11 w 1511
apogr 3 w 1516
9 2 w 1518
καταταμετρῆσαι 1 w 1532
A 16 w 1533
em 2 w 1536
apogr 4 w 1542
12 1 w 1545
το 33 w 1547
κϚ 2 w 1549
A 17 w 1550
em 3 w 1553
in 4 w 1556
ed 1 w 1558
Bull 1 w 1563
13 2 w 1566
ἀπέλειπεν 1 w 1575
A 18 w 1576
em 4 w 1579
apogr 5 w 1585
15 1 w 1588
inscr 2 w 1593
περὶ 3 w 1598
πολλαπλασιεπιμερῶν 1 w 1616
A 19 w 1617
16 2 w 1620
ἔχῃ 3 w 1623
apogr 6 w 1628
ἔχει 8 w 1634
A 20 w 1635
18 1 w 1637
ἔχων 1 w 1641
A 21 w 1642
24 3 w 1645
ἐλάττων 3 w 1652
ων 11 w 1655
corr 4 w 1659
ex 6 w 1662
ον 22 w 1664
A 22 w 1665
26 1 w 1668
2 w 1669
12 w 1671
A 23 w 1672
ὡς 2 w 1675
14 w 1676
τῶν 18 w 1679
ιδʹ 1 w 1682
τοῦ 17 w 1685
τῶν 19 w 1688
γʹ 5 w 1690
3 w 1692
γὰρ 1 w 1695
τριὰς 1 w 1700
καταμετρήσασα 1 w 1713
τὸν 12 w 1716
τῶν 20 w 1719
ιδʹ 2 w 1722
οὐκ 1 w 1725
ἴσχυσεν 1 w 1732
ἀπαρτίσαι 1 w 1741
ἀλλὰ 2 w 1746
προκόψασα 1 w 1755
τετράκις 1 w 1763
μέχρι 2 w 1768
τῶν 21 w 1771
ιβʹ 1 w 1774
τὴν 1 w 1777
λοιπτὴν 1 w 1784
ἀπὸ 1 w 1787
τῶν 22 w 1790
ιδʹ 3 w 1793
ἀπέλιπε 1 w 1800
δυάδα 1 w 1805
ἥτις 1 w 1810
ἐστὶ 1 w 1814
τῶν 23 w 1817
γʹ 6 w 1819
δίμοιρον 1 w 1827
1 w 1829
δὴ 1 w 1831
λέγεται 6 w 1838
δύο 4 w 1841
τρίτα 2 w 1846
ἀντίκειται 1 w 1857
δὲ 12 w 1859
καὶ 17 w 1862
τῷ 1 w 1864
πολλαπλασιεπιμερεῖ 1 w 1882
15 w 1883
ὑπο- 1 w 1887
πολλαπλασιεπιμερής 1 w 1905
ἀριθμοῦ 1 w 1913
δὲ 13 w 1915
πρὸς 1 w 1919
ἀριθμὸν 1 w 1926
λόγος 3 w 1931
ἐστίν 1 w 1936
ὅταν 5 w 1941
16 w 1942
μεί- 1 w 1946
ζων 5 w 1949
πρὸς 2 w 1953
τὸν 13 w 1956
ἐλάττονα 3 w 1964
ἐν 1 w 1966
μηδενὶ 1 w 1972
τῶν 24 w 1975
προειρημένων 1 w 1987
λόγων 1 w 1992
κάθὰ 1 w 1997
δειχθήσεται 1 w 2008
καὶ 18 w 2011
17 w 2012
τὸ 17 w 2014
λεῖμμα 1 w 2020
περιέχων 1 w 2028
φθόγγος 1 w 2036
λόγος 4 w 2042
ἀριθμοῦ 2 w 2049
πρὸς 3 w 2053
ἀριθμὸν 2 w 2060
ἔχων 2 w 2064
τοὺς 2 w 2068
ὅρους 1 w 2073
ἐν 2 w 2075
ἐλαχίστοις 1 w 2085
ὡς 3 w 2087
18 w 2088
σνςʹ 1 w 2092
πρὸς 4 w 2096
σμγ 1 w 2099
φανεροὶ 1 w 2107
δὲ 14 w 2109
καὶ 19 w 2112
οἱ 3 w 2114
τῶν 25 w 2117
ἐλαττόνων 1 w 2126
ὅρων 1 w 2130
πρὸς 5 w 2134
τοὺς 3 w 2138
μείζονας 1 w 2146
λόγοι 1 w 2151
ἀντεστραμμένως 1 w 2165
ὑπʼ 1 w 2168
ἐκείνων 1 w 2175
προσαγορευόμενοι 1 w 2191
καθὰ 1 w 2196
ἐδείχθη 1 w 2203
πάντων 1 w 2210
δὲ 15 w 2212
τῶν 26 w 2215
κατʼ 1 w 2219
εἶδος 1 w 2224
εἰρημένων 1 w 2233
λόγων 2 w 2238
οἱ 4 w 2240
ἐν 3 w 2242
ἐλαχίστοις 2 w 2252
καὶ 20 w 2255
πρώτοις 1 w 2262
πρὸς 6 w 2266
ἀλλήλους 1 w 2274
ἀριθμοῖς 1 w 2282
ὄντες 1 w 2287
καθʼ 1 w 2291
ἕκαστον 1 w 2298
πρῶτοι 1 w 2304
λέγονται 1 w 2312
τῶν 27 w 2315
τὸν 14 w 2318
αὐτὸν 1 w 2323
λόγον 1 w 2328
ἐχόντων 1 w 2335
καὶ 21 w 2338
πυθμένες 1 w 2346
τῶν 28 w 2349
ὁμοειδῶν 1 w 2357
οἷον 3 w 2362
διπλασίων 1 w 2371
μὲν 3 w 2374
λόγων 3 w 2379
πρῶτος 1 w 2385
καὶ 22 w 2388
πυθμὴν 1 w 2394
20 w 2395
τῶν 29 w 2398
βʹ 2 w 2400
πρὸς 7 w 2404
ἔν 1 w 2406
μετὰ 1 w 2411
γὰρ 2 w 2414
τοῦτον 1 w 2420
ἐν 4 w 2422
μείζοσι 1 w 2429
καὶ 23 w 2432
συνθέτοις 1 w 2441
ἀριθμοῖς 2 w 2449
λόγοι 2 w 2454
εἰσὶ 1 w 2458
διπλάσιοι 1 w 2467
21 w 2468
τῶν 30 w 2471
δʹ 7 w 2473
πρὸς 8 w 2477
τὰ 2 w 2479
βʹ 3 w 2481
καὶ 24 w 2484
τῶν 31 w 2487
ϛʹ 1 w 2489
πρὸς 9 w 2493
τὰ 3 w 2495
γʹ 7 w 2497
καὶ 25 w 2500
ὁμοίως 1 w 2506
ἐπʼ 1 w 2509
ἄπειρον 1 w 2516
τριπλασίων 1 w 2527
δὲ 16 w 2529
λόγων 4 w 2534
πρῶ- 1 w 2538
τος 9 w 2541
καὶ 26 w 2544
πυθμὴν 2 w 2550
23 w 2551
τῶν 32 w 2554
γʹ 8 w 2556
πρὸς 10 w 2560
τὸ 20 w 2562
ἕν 1 w 2564
οἱ 5 w 2567
δὲ 17 w 2569
αἰεὶ 1 w 2573
ἐν 5 w 2575
μεί- 2 w 2579
ζοσι 2 w 2583
καὶ 27 w 2586
συνθέτοις 2 w 2595
ἀριθμοῖς 3 w 2603
ἐπʼ 2 w 2606
ἄπειρον 2 w 2613
προάγουσιν 1 w 2623
ὡσαύτως 1 w 2631
δὲ 18 w 2633
ἐπὶ 2 w 2636
τῶν 33 w 2639
ἄλλων 1 w 2644
πολλαπλασίων 1 w 2656
ὁμοίως 2 w 2663
δὲ 19 w 2665
3 5 w 2666
ἀπέλειπε 2 w 2674
A 24 w 2675
em 5 w 2678
apogr 7 w 2684
7 4 w 2686
inscr 3 w 2691
τί 5 w 2694
38 w 2695
στι 6 w 2698
λόγος 5 w 2703
ἀριθμοῦ 3 w 2710
πρὸς 11 w 2714
ἀριθμόν 2 w 2721
corr 5 w 2726
ex 7 w 2729
ἀριθμῶν 2 w 2736
A 25 w 2738
κδ 2 w 2741
in 7 w 2743
mg 2 w 2745
μείζων 5 w 2752
corr 6 w 2756
ex 8 w 2759
μεῖζον 3 w 2765
A 26 w 2766
8 2 w 2768
1 w 2769
εἶη 1 w 2773
A 27 w 2774
9 3 w 2775
δειχθήσεται 2 w 2786
p 10 w 2788
86 1 w 2791
15 2 w 2794
13 3 w 2796
ἀντεστραμμένως 2 w 2810
ἀντεστραμμένοι 1 w 2825
ἀπεστραμμέ- 1 w 2837
νοι 3 w 2840
A1 1 w 2842
ὡς 4 w 2845
A 29 w 2846
14 1 w 2848
ἐδεέχθη 1 w 2855
p 11 w 2857
74 1 w 2860
sq 1 w 2862
15 3 w 2865
inser 2 w 2870
περὶ 4 w 2875
πυθμένων 1 w 2883
λόγων 5 w 2888
A 30 w 2889
18 2 w 2892
διπλάσιον 1 w 2901
A 31 w 2902
καὶ 28 w 2905
ἐν 6 w 2907
τοῖς 1 w 2911
ἐπιμορίοις 1 w 2921
ἡμιολίων 1 w 2930
μὲν 4 w 2933
λόγων 6 w 2938
πρῶτος 2 w 2944
καὶ 29 w 2947
πυθμὴν 3 w 2953
25 w 2954
τῶν 34 w 2957
γʹ 9 w 2959
πρὸς 12 w 2963
τὰ 4 w 2965
β 5 w 2966
ἐπιτρίτων 1 w 2976
δὲ 20 w 2978
26 w 2979
τῶν 35 w 2982
δʼ 1 w 2984
πρὸς 13 w 2988
γ 40 w 2989
καὶ 30 w 2993
ἐπιτετάρτων 1 w 3004
27 w 3005
τῶν 36 w 3008
εʹ 1 w 3010
πρὸς 14 w 3014
δʹ 8 w 3016
οἱ 6 w 3019
δὲ 21 w 3021
ἐν 7 w 3023
μείζοσιν 1 w 3031
ὅροις 1 w 3036
καὶ 31 w 3039
συνθέτοις 3 w 3048
πάλιν 1 w 3053
ἄπειροι 1 w 3060
τὸ 21 w 3062
πλῆθος 1 w 3068
τὸ 22 w 3071
δʼ 2 w 3073
αὐτὸ 2 w 3077
θεωρεῖται 1 w 3086
καὶ 32 w 3089
ἐπὶ 3 w 3092
τῶν 37 w 3095
ἄλλων 2 w 3100
διαφέρει 1 w 3109
δὲ 22 w 3111
διάστημα 1 w 3119
καὶ 33 w 3122
λόγος 6 w 3127
ἐπειδὴ 1 w 3134
διάστημα 2 w 3142
μέν 8 w 3145
ἐστι 6 w 3149
τὸ 24 w 3151
μεταξὺ 1 w 3157
τῶν 38 w 3160
ὁμογενῶν 1 w 3168
τε 12 w 3170
καὶ 34 w 3173
ἀνίσων 1 w 3179
ὅρων 2 w 3183
λόγος 7 w 3189
δὲ 23 w 3191
ἀπλῶς 1 w 3196
5 w 3197
τῶν 39 w 3200
ὁμογενῶν 2 w 3208
ὅρων 3 w 3212
πρὸς 15 w 3216
ἀλλήλους 2 w 3224
σχέσις 1 w 3230
διὸ 1 w 3234
καὶ 35 w 3237
τῶν 40 w 3240
ἴσων 1 w 3244
ὅρων 4 w 3248
διάστημα 3 w 3256
μὲν 5 w 3259
οὐδέν 1 w 3264
ἐστι 7 w 3268
μεταξύ 1 w 3274
λόγος 8 w 3280
δὲ 24 w 3282
πρὸς 16 w 3286
ἀλλήλους 3 w 3294
εἶς 1 w 3297
καὶ 36 w 3300
30 w 3301
αὐτὸς 1 w 3306
31 w 3307
τῆς 1 w 3310
ἰσότητος 1 w 3318
τῶν 41 w 3322
δὲ 25 w 3324
ἀνίσων 2 w 3330
διάστημα 4 w 3338
μὲν 6 w 3341
ἕν 2 w 3343
καὶ 37 w 3346
τὸ 26 w 3348
αὐτὸ 4 w 3352
ἀφʼ 1 w 3355
ἑκατέρου 1 w 3363
πρὸς 17 w 3368
ἑκάτερον 1 w 3377
λόγος 9 w 3383
δὲ 26 w 3385
Κίερος 1 w 3391
καὶ 38 w 3394
ἐναντίος 1 w 3402
ἑκατέρου 2 w 3410
πρὸς 18 w 3414
ἑκάτερον 2 w 3422
οἷον 4 w 3427
ἀπὸ 2 w 3430
τῶν 42 w 3433
βʹ 4 w 3435
πρὸς 19 w 3439
τὸ 28 w 3441
ἕν 3 w 3443
καὶ 39 w 3446
ἀπὸ 3 w 3449
τοῦ 19 w 3452
ἑνὸς 1 w 3456
πρὸς 20 w 3460
τὰ 5 w 3462
βʹ 5 w 3464
διάστημα 5 w 3472
ἕν 4 w 3474
καὶ 40 w 3477
τὸ 29 w 3479
αὐτό 1 w 3483
λόγος 10 w 3489
δὲ 27 w 3491
ἕτερος 1 w 3497
τῶν 43 w 3501
μὲν 7 w 3504
δύο 5 w 3507
πρὸς 21 w 3511
τὸ 30 w 3513
ἕν 5 w 3515
διπλάσιος 2 w 3524
τοῦ 20 w 3528
δὲ 28 w 3530
ἑνὸς 2 w 3534
πρὸς 22 w 3538
τὰ 6 w 3540
βʹ 6 w 3542
ἥμισυς 1 w 3548