πολλαπλασιεπιμόριος δέ ἐστι λόγος, ὅταν ὁ μείζων ὅρος δὶς ἢ πλεονάκις ἔχῃ τὸν ἐλάττονα καὶ ἔτι μέρος 1 οἱ μείζονες] ἐπὶ μείζονος? cf. v. 5 4 Ϛδ(?) ante ὁ A, ἑξῆς apogr. 6 inser. περὶ ἐπιμεροῦς λόγου A, κῆ in mg. μείζων; ω ex ο A. 7 ἔχη ex ἔχει A μέρει A, em. apogr. cf. vs. 24. p. 79, 17 13 δὲ primo om. tum add. A ἔχη corr. ex ἔχει A 16 νὴ δία A2] ἡ διἀ A 20 άνομίοις A ὑπομερὴς A 21 τὸ μεῖζον A. 23 inscr. περὶ πολλᾳyλασιε ῷιμορίων A. μείζων corr. ex μεῖζον A 24 ἔχη corr. ex ἔχει A. αὐτοῦ, ὡς ὁ μὲν τῶν ζʹ δὶς ἔχει τὸν γʹ καὶ ἔτι τρίτον αὐτοῦ, καὶ λέγεται αὐτοῦ διπλασιεπίτριτος, ὁ δὲ τῶν θʹ δὶς ἔχει 〈τὸν〉 τῶν δʹ καὶ ἔτι τὸ τέταρτον· αὐτοῦ, λέγεται δὲ διπλασιεπιτέταρτος, ὁ δὲ τῶν ιʹ τρὶς ἔχει τὸν τῶν γʹκαὶτὸτρίτον αὐτοῦ, καὶ λέγεται τριπλασιεπίτριτος. παραπλησίως δὲ θεωρείσθωσαν καὶ οἱ λοιποὶ πολλα- πλασιεπιμόριοι. τοῦτο δὲ συμβαίνει, ὅταν δυεῖν προ- τεθέντων ἀριθμῶν ὁ ἐλάττων καταμετρῶν τὸν μείζονα μὴ ἰσχύσῃ ὅλον καταμετρῆσαι, ἀλλʼ ἀπολείπῃ μέρος τοῦ μείζονος, ὅ ἐστιν αὐτοῦ τοῦ ἐλάσσονος μέρος· οἷον ὁ τῶν κϚʹ τοῦ τῶνηʹ πολλαπλασιεπιμόριος λέγεται, ἐπειδή- περ 〈ὁ〉 ηʹτρὶς καταμετρήσας τὸν κςʹ οὐχ ὅλον ἀπήρτι- σεν, ἀλλὰ μέχρι τῶν κδʹ ἐλῦών δύο ἐκ τῶν κςʹ ἀπέλι- πεν, ὅ ἐστι τῶν ηʹ τέταρτον.

πολλαπλασιεπιμερὴς 〈δέ〉 ἐστι λόγος, ὅταν ὁ μείζων ὅρος δὶς ἤ πλεονάκις ἔχῃ τὸν ἐλάττονα καὶ δύο ἢ πλείω τινὰ μέρη αὐτοῦ εἴτε ὅμοια εἴτε διάφορα· οἷον ὁ μὲν τῶν ηʹ δὶς ἔχει τὸν τῶν γʹ καὶ δύο τρίτα αὐτοῦ, λέγεται δὲ διπλάσιος καὶ δὶς ἐπίτριτος, ὁ δὲ τῶν ιαʹ τοῦ τῶν γʹτριπλάσιος καὶ δὶς ἐπίτριτος, ὁ δὲ τῶν ιαʹ τοῦ τῶν δʹ διπλάσιός τε καὶ ἡμιόλιος καὶ ἐπιτέταρτος ἢ διπλά- σιός τε καὶ τρὶς ἐπιτέταρτος. καὶ τοὺς ἄλλους δὲ πολλα- πλασιεπιμερεῖς πολλοὺς καὶ ποικίλους ὄντας προχειρί- ζεσθαι ῥᾴιον. τοῦτο δὲ γίνεται, ὅταν ὁ ἐλάττων ἀρ θμὸς καταμετρήσας τὸν μείζονα μὴ ἰσχύσῃ ἀπαρτί- σαι, ἀλλʼ ἀπολείπῃ ἀριθμόν τινα, ἅ ἐστι μέρη αὐτοῦ, 3 〈τὸν〉 τῶν] τὸν apogr. 9 καταταμετρῆσαι A, em. apogr. 12 το κϚ A, em. in ed. Bull. 13 ἀπέλειπεν A, em. apogr. 15 inscr. περὶ πολλαπλασιεπιμερῶν A. 16 ἔχῃ apogr.] ἔχει A 18 ἔχων A. 24 ἐλάττων: ων corr. ex ον A. 26 ἅ] ὅ A. ὡς ὁ τῶν ιδʹ τοῦ τῶν γʹ· ἡ γὰρ τριὰς καταμετρήσασα τὸν τῶν ιδʹ οὐκ ἴσχυσεν ἀπαρτίσαι, ἀλλὰ προκόψασα τετράκις μέχρι τῶν ιβʹ τὴν λοιπτὴν ἀπὸ τῶν ιδʹ ἀπέλιπε δυάδα, ἥτις ἐστὶ τῶν γʹ δίμοιρον, ἂ δὴ λέγεται δύο τρίτα. ἀντίκειται δὲ καὶ τῷ πολλαπλασιεπιμερεῖ ὁ ὑπο- πολλαπλασιεπιμερής.

ἀριθμοῦ δὲ πρὸς ἀριθμὸν λόγος ἐστίν, ὅταν ὁ μεί- ζων πρὸς τὸν ἐλάττονα ἐν μηδενὶ τῶν προειρημένων λόγων, κάθὰ δειχθήσεται καὶ ὁ τὸ λεῖμμα περιέχων [φθόγγος] λόγος ἀριθμοῦ πρὸς ἀριθμὸν ἔχων τοὺς ὅρους ἐν ἐλαχίστοις ὡς ὁ σνςʹ πρὸς σμγ. φανεροὶ δὲ καὶ οἱ τῶν ἐλαττόνων ὅρων πρὸς τοὺς μείζονας λόγοι ἀντεστραμμένως ὑπʼ ἐκείνων προσαγορευόμενοι, καθὰ ἐδείχθη.

πάντων δὲ τῶν κατʼ εἶδος εἰρημένων λόγων οἱ ἐν ἐλαχίστοις καὶ πρώτοις πρὸς ἀλλήλους ἀριθμοῖς ὄντες καθʼ ἕκαστον πρῶτοι λέγονται τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων καὶ πυθμένες τῶν ὁμοειδῶν. οἷον διπλασίων μὲν λόγων πρῶτος καὶ πυθμὴν ὁ τῶν βʹ πρὸς ἔν· μετὰ γὰρ τοῦτον ἐν μείζοσι καὶ συνθέτοις ἀριθμοῖς λόγοι εἰσὶ διπλάσιοι ὁ τῶν δʹ πρὸς τὰ βʹ καὶ τῶν ϛʹ πρὸς τὰ γʹ καὶ ὁμοίως ἐπʼ ἄπειρον. τριπλασίων δὲ λόγων πρῶ- τος καὶ πυθμὴν ὁ τῶν γʹ πρὸς τὸ ἕν· οἱ δὲ αἰεὶ ἐν μεί- ζοσι καὶ συνθέτοις ἀριθμοῖς ἐπʼ ἄπειρον προάγουσιν. ὡσαύτως δὲ ἐπὶ τῶν ἄλλων πολλαπλασίων. ὁμοίως δὲ 3 ἀπέλειπε A, em. apogr. 7 inscr. τί ἐ στι λόγος ἀριθμοῦ πρὸς ἀριθμόν (corr. ex ἀριθμῶν) A, κδ in mg. μείζων corr. ex μεῖζον A. 8 ᾖ] εἶη A 9 δειχθήσεται; p. 86, 15 13 ἀντεστραμμένως] ἀντεστραμμένοι (ἀπεστραμμέ- νοι A1) ὡς A 14 ἐδεέχθη: p. 74 sq. 15 inser. περὶ πυθμένων λόγων A. 18 διπλάσιον A καὶ ἐν τοῖς ἐπιμορίοις. ἡμιολίων μὲν λόγων πρῶτος καὶ πυθμὴν ὁ τῶν γʹ πρὸς τὰ β, ἐπιτρίτων δὲ ὁ τῶν δʼ πρὸς γ΄, καὶ ἐπιτετάρτων ὁ τῶν εʹ πρὸς δʹ· οἱ δὲ ἐν μείζοσιν ὅροις καὶ συνθέτοις πάλιν ἄπειροι τὸ πλῆθος. τὸ δʼ αὐτὸ θεωρεῖται καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων.

διαφέρει δὲ διάστημα καὶ λόγος, ἐπειδὴ διάστημα μέν ἐστι τὸ μεταξὺ τῶν ὁμογενῶν τε καὶ ἀνίσων ὅρων, λόγος δὲ ἀπλῶς ἡ τῶν ὁμογενῶν ὅρων πρὸς ἀλλήλους σχέσις. διὸ καὶ τῶν ἴσων ὅρων διάστημα μὲν οὐδέν ἐστι μεταξύ, λόγος δὲ πρὸς ἀλλήλους εἶς καὶ ὁ αὐτὸς ὁ τῆς ἰσότητος· τῶν δὲ ἀνίσων διάστημα μὲν ἕν καὶ τὸ αὐτὸ ἀφʼ ἑκατέρου 〈πρὸς〉 ἑκάτερον, λόγος δὲ Κίερος καὶ ἐναντίος ἑκατέρου πρὸς ἑκάτερον· οἷον ἀπὸ τῶν βʹ πρὸς τὸ ἕν καὶ ἀπὸ τοῦ ἑνὸς πρὸς τὰ βʹ διάστημα ἕν καὶ τὸ αὐτό, λόγος δὲ ἕτερος, τῶν μὲν δύο πρὸς τὸ ἕν διπλάσιος, τοῦ δὲ ἑνὸς πρὸς τὰ βʹ ἥμισυς.