Scaife ATLAS

CTS Library / De utilitate mathematicae

De utilitate mathematicae (36-40)

urn:cts:greekLit:tlg1724.tlg001.1st1K-grc1:36-40
Refs {'start': {'reference': '36', 'human_reference': 'Paragraph 36'}, 'end': {'reference': '40', 'human_reference': 'Paragraph 40'}}
Ancestors []
Children []
prev
plain textXML
next

ὅμοιοι δʼ εἰσὶν ἀριθμοὶ ἐν μὲν ἐπιπέδοις τετράγω- νοι οἱ πάντες πᾶσιν, ἑτερομήκεις δὲ ὅσων αἱ πλευραί, τουτέστιν οἱ περιέχοντες αὐτοὺς ἀριθμοί, ἀνάλογόν
εἰσιν. οἷον ἑτερομήκη ἦν τὰ ϛ· πλευραὶ δὲ αὐτοῦ μῆ- κος γ, πλάτος β· ἕτερος πάλιν ἐπίπεδος κδ· πλευραὶ δὲ αὐτοῦ μῆκος μὲν ϛ, πλάτος δὲ δ. καὶ ἔστιν ὡς τι μὴκος πρὸς τὸ μῆκος, οὕτως τὸ πλάτος πρὸς τὸ πλάτος· ὡς γὰρ Ϛ πρὸς γ, οὕτως δ πρὸς β. ὅμοιοι οὖν ἀριθ-
μοὶ ἐπίπεδοι τε Ϛ καὶ κδ. σχηματίζονται δὲ οἱ αὐτοὶ ἀριθμοὶ ὁτὲ μὲν εἰς πλευρὰς ὡς μήκη καὶ πρὸς ἑτέρων σύστασιν λαμβανόμενοι, ὁτὲ δὲ εἰς ἐπιπέδους, ὅταν ἐκ πολλαπλασιασμοῦ δύο ἀριθμῶν γεννηθῶσιν, ὁτὲ [*] [*]

37
δὲ εἰς στερεούς, ὅταν ἐκ πολλαπλασιασμοῦ τριῶν λη- φθῶσιν ἀριθμῶν. ἐν δὲ τοῖς στερεοῖς πάλιν οἱ μὲν κύ- βοι πάντες πᾶσίν εἰσιν ὅμοιοι, τῶν δὲ ἄλλων οἱ τὰς πλευρὰς ἔχοντες ἀνάλογον· ὡς τοῦ μήκους πρὸς τὴν τοῦ μήκους, οὕτως τοῦ πλάτους πρὸς τὴν τοῦ πλά-
τους καὶ τοῦ ὕψους πρὸς τὴν τοῦ ὕψους.

τῶν δὲ ἐπιπέδων καὶ πολυγώνων ἀριθμῶν πρῶτος τρίγωνος, ὡς καὶ τῶν ἐπιπέδων εὐθυγράμμων σχη- μάτων πρῶτόν ἐστι τὸ τρίγωνον. πῶς δὲ γεννῶνται προείρηται, ὅτι τῷ πρώτῳ ἀριθμῷ τοῦ ἐξῆς ἀρτίου καὶ
περιττοῦ προστιθεμένου. πάντες δὲ οἱ ἐφεξῆς ἀριθμοί, ἀπογεννῶντες τριγώνους τετραγώνους πολυγώνους, γνώμονες καλοῦνται. τοσούτων δὲ μονάδων ἕκαστον τρίγωνον ἔχει πλευρὰς πάντως, ὅσων καὶ μόνος ἐστὶν προσλαμβανόμενος γνώμων. οἷον ἔστω πρῶτον
μονάς, λεγομένη τρίγωνον οὐ κατʼ ἐντελέχειαν, ὡς προειρήκαμεν, ἀλλὰ κατὰ δύναμιν· ἐπεὶ γὰρ αὕτη οἷον σπέρμα πάντων ἐστὶν ἀριθμῶν, ἔχει ἐν αὑτῇ καὶ τρι- γωνοειδῆ δύναμιν. προσλαμβάνουσα γοῦν τὴν δυάδα ἀποτελεῖ τρίγωνον, ἔχον πλευρὰς τοσούτων μονάδων,
ὅσων ἐστὶν προσληφθεὶς γνώμων τῆς δυάδος. τὸ δὲ ὅλον τρίγωνον τοσούτων ἐστὶ μονάδων, ὅσων καὶ οἱ συντεθέντες γνώμονες. τε γὰρ τοῦ ἑνὸς καὶ τῶν δυεῖν γνώμων τὰ γ ἐποιήσαν, ὥστε καὶ τὸ τρίγωνον [*]

38
ἔσται μὲν τριῶν μονάδων, ἕξει δʼ ἑκάστην πλευρὰν τῶν δυεῖν, ὅσοι καὶ οἱ γνώμονες συνετέθησαν. εἶτα τὸ γ τρίγωνον προσλαμβάνει τὸν τῶν γ γνώμονα, ὃς μονάδι ὑπερέχει τῆς δυάδος, καὶ γίνεται τὸ μὲν ὅλον τρί-
γωνον Ϛ· πλευρὰς δʼ ἕξει τοσούτων μονάδων καὶ τοῦτο τὸ τρίγωνον, ὅσοι γνώμονες συντέθεινται· ἐκ γὰρ τοῦ ἑνὸς καὶ β καὶ γ συνετέθη ϛ. α α αα αα ααα εἶτα Ϛ προσλαμβάνει τὸν δ· γίνεται τὸ τοῦ ι τρίγω- νον, ἑκάστην πλευρὰν ἔχον δ μονάδων· γὰρ προσλη-
φθεὶς γνώμων ἦν δ, καὶ ἐκ δ δὲ γνωμόνων ἦν τὸ ὅλον, τοῦ τε ἑνὸς καὶ β καὶ γ καὶ δ. ἔτι ι προσ- λαμβάνει τὸν ε, καὶ γίνεται τὸ τοῦ ιε τρίγωνον, πλευρὰν ἔχον ἑκάστην μονάδων ε, καὶ ἐκ τῶν ε γνω- μόνων συνέστη. ὁμοίως καὶ οἱ ἓξ γνώμονες . . . . . . . . . . . .
τοὺς γνωμονικοὺς ἀριθμοὺς ἀποτελοῦσι.

λέγονται δέ τινες καὶ κυκλοειδεῖς καὶ σφαιροειδεῖς καὶ ἀποκαταστατικοὶ ἀριθμοί· οὗτοι δʼ εἰσὶν οἵτινες ἐν τῷ πολλαπλασιάζεσθαι ἐπιπέδως στερεῶς, τουτ- έστι κατὰ δύο διαστάσεις κατὰ τρεῖς, ἀφʼ οὗ ἂν
ἄρξωνται ἀριθμοῦ ἐπὶ τοῦτον ἀποκαθιστάμενοι. τοιοῦ- τον δέ ἐστι καὶ κύκλος· ἀφʼ οὗ ἂν ἄρξηται σημείου, [*] [*]

39
ἐπὶ τοῦτο ἀποκαθίσταται· ὑπὸ γὰρ μιᾶς γραμμῆς περι- εχόμενος ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ ἄρχεται καὶ εἰς ταὐτὸ καταλή- γει. τοιαύτη δὲ καὶ ἐν στερεῷ σφαῖρα· κύκλου γὰρ κατὰ πλευρὰν περιαγομένου ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ ἐπὶ τὸ αὐτὸ ἀποκατάστασις σφαῖραν γράφει. καὶ ἀριθμοὶ δὴ
οἱ ἐν τῷ πολλαπλασιασμῷ ἐφʼ ἑαυτοὺς καταλήγοντες κυκλικοί τε καλοῦνται καὶ σφαιροειδεῖς· ὧν εἰσιν τε ε καὶ Ϛ· πεντάκις γὰρ ε κε, πεντάκις κε ρκε, ἑξά- κις Ϛ λϚ, καὶ ἑξάκις λϛ σιϚ.

τῶν δὲ τετραγώνων μὲν γένεσις, ὡς εἶπον, ἐκ
τῶν περισσῶν ἀλλήλοις ἐπισυντιθεμένων, τουτέστι τῶν ἀπὸ μονάδος δυάδι ἀλλήλων ὑπερεχόντων· ἓν γὰρ καὶ γ δ, καὶ δ καὶ ε θ, καὶ θ καὶ ζ ιϛ, καὶ ιϛ καὶ θ κε.

πεντάγωνοι δέ εἰσιν ἀριθμοὶ οἱ ἐκ τῶν ἀπὸ μονά- δος κατὰ τὸ ἑξῆς τριάδι ἀλλήλων ὑπερεχόντων συν-
τιθέμενοι. ὧν εἰσιν οἱ μὲν γνώμονες α δ ζ ι ιγ ιϚ ιθ· αὐτοὶ δὲ οἱ πεντάγωνοι α ε ιβ κβ λε να καὶ ἑξῆς ὁμοίως. σχηματίζονται δὲ πενταγωνικῶς οὕτως· [*]

40
ἑξάγωνοι δέ εἰσιν ἀριθμοὶ οἱ ἐκ τῶν κατὰ τὸ ἑξῆς ἀπὸ μονάδος τετράδι ἀλλήλων ὑπερεχόντων συντιθέμε- νοι· ὧν οἱ γνώμονές εἰσιν α ε θ ιγ ιζ κα κε· οἱ δὲ ἐκ τούτων ἑξάγωνοι οἵδε· α ς ιε κημε ξς ??α. σχη-
ματίζονται δὲ οὕτως· α ϛ ιϚ κη με ξϚ

Tokens

ὅμοιοι 1 w 6
δʼ 1 w 8
εἰσὶν 1 w 13
ἀριθμοὶ 1 w 20
ἐν 1 w 22
μὲν 1 w 25
ἐπιπέδοις 1 w 34
τετράγω- 1 w 42
νοι 1 w 45
οἱ 1 w 47
πάντες 1 w 53
πᾶσιν 1 w 58
ἑτερομήκεις 1 w 70
δὲ 1 w 72
ὅσων 1 w 76
αἱ 1 w 78
πλευραί 1 w 85
τουτέστιν 1 w 95
οἱ 2 w 97
περιέχοντες 1 w 108
αὐτοὺς 1 w 114
ἀριθμοί 1 w 121
ἀνάλογόν 1 w 130
εἰσιν 1 w 135
οἷον 1 w 140
ἑτερομήκη 1 w 149
ἦν 1 w 151
τὰ 1 w 153
ϛ 1 w 154
πλευραὶ 1 w 162
δὲ 2 w 164
αὐτοῦ 1 w 169
μῆ- 1 w 172
κος 1 w 175
γ 3 w 176
πλάτος 1 w 183
β 1 w 184
ἕτερος 1 w 191
πάλιν 1 w 196
ἐπίπεδος 1 w 204
1 w 205
κδ 1 w 207
πλευραὶ 2 w 215
δὲ 3 w 217
αὐτοῦ 2 w 222
μῆκος 1 w 227
μὲν 2 w 230
ϛ 2 w 231
πλάτος 2 w 238
δὲ 4 w 240
δ 9 w 241
καὶ 1 w 245
ἔστιν 1 w 250
ὡς 1 w 252
τι 3 w 254
μὴκος 1 w 259
πρὸς 1 w 263
τὸ 1 w 265
μῆκος 2 w 270
οὕτως 1 w 276
τὸ 2 w 278
πλάτος 3 w 284
πρὸς 2 w 288
τὸ 3 w 290
πλάτος 4 w 296
ὡς 2 w 299
γὰρ 1 w 302
Ϛ 1 w 303
πρὸς 3 w 307
γ 5 w 308
οὕτως 2 w 314
δ 10 w 315
πρὸς 4 w 319
β 2 w 320
ὅμοιοι 2 w 327
οὖν 1 w 330
ἀριθ- 1 w 335
μοὶ 2 w 338
ἐπίπεδοι 1 w 346
4 w 347
τε 7 w 349
Ϛ 2 w 350
καὶ 2 w 353
2 w 354
κδ 2 w 356
σχηματίζονται 1 w 370
δὲ 5 w 372
οἱ 3 w 374
αὐτοὶ 1 w 379
ἀριθμοὶ 2 w 386
ὁτὲ 1 w 389
μὲν 3 w 392
εἰς 1 w 395
πλευρὰς 1 w 402
ὡς 3 w 404
μήκη 2 w 408
καὶ 3 w 411
πρὸς 5 w 415
ἑτέρων 1 w 421
σύστασιν 1 w 429
λαμβανόμενοι 1 w 441
ὁτὲ 2 w 445
δὲ 6 w 447
εἰς 2 w 450
ἐπιπέδους 1 w 459
ὅταν 1 w 464
ἐκ 1 w 466
πολλαπλασιασμοῦ 1 w 481
δύο 1 w 484
ἀριθμῶν 1 w 491
γεννηθῶσιν 1 w 501
ὁτὲ 3 w 505
1 1 w 506
1 w 507
supra 1 w 512
vs 1 w 514
A 1 w 516
3 1 w 517
inscr 1 w 522
περὶ 1 w 527
ἰσάκις 1 w 533
ἴσων 1 w 537
καὶ 4 w 540
ἀνι- 1 w 544
σάκις 2 w 549
ἀνίσων 1 w 555
A 2 w 556
κβ 1 w 559
in 2 w 561
mg 1 w 563
7 1 w 565
στερεοὶ 1 w 572
corr 1 w 576
ex 1 w 579
στερεοὶ 2 w 586
A 3 w 587
9 1 w 588
τετράγωνον 1 w 598
apogr 1 w 603
i 3 w 609
e 2 w 611
τετραγώνων 1 w 622
A 4 w 624
12 1 w 626
inser 1 w 631
περὶ 2 w 636
ὁμοίων 1 w 642
ἀριθμῶν 2 w 649
A 5 w 650
κγ 1 w 653
in 4 w 655
mg 2 w 657
figuras 1 w 666
add 1 w 669
Aa 1 w 672
14 1 w 674
αὐτοὺς 2 w 680
αὐτὰς 1 w 686
A 7 w 687
cf 1 w 690
p 3 w 692
24 1 w 695
26 1 w 698
19 1 w 700
δ 17 w 701
πρὸς 6 w 705
β 5 w 706
apogr 2 w 711
β 6 w 712
πρὸς 7 w 716
δ 18 w 717
A 8 w 718
21 1 w 720
ὡς 4 w 722
μήκη 3 w 726
καὶ 5 w 729
πλάτη 1 w 735
καὶ 6 w 738
ὕψη 1 w 741
23 1 w 745
δύο 2 w 748
apogr 3 w 753
β 7 w 756
δύο 3 w 759
A 9 w 760
δὲ 7 w 763
εἰς 3 w 766
στερεούς 1 w 774
ὅταν 2 w 779
ἐκ 2 w 781
πολλαπλασιασμοῦ 2 w 796
τριῶν 1 w 801
λη- 1 w 804
φθῶσιν 1 w 810
ἀριθμῶν 3 w 817
ἐν 2 w 820
δὲ 8 w 822
τοῖς 1 w 826
στερεοῖς 1 w 834
πάλιν 2 w 839
οἱ 4 w 841
μὲν 4 w 844
κύ- 1 w 847
βοι 1 w 850
πάντες 2 w 856
πᾶσίν 1 w 861
εἰσιν 2 w 866
ὅμοιοι 3 w 872
τῶν 1 w 876
δὲ 9 w 878
ἄλλων 1 w 883
οἱ 5 w 885
τὰς 2 w 888
πλευρὰς 2 w 895
ἔχοντες 1 w 902
ἀνάλογον 1 w 910
ὡς 5 w 913
1 w 914
τοῦ 3 w 917
μήκους 1 w 923
πρὸς 8 w 927
τὴν 1 w 930
τοῦ 4 w 933
μήκους 2 w 939
οὕτως 3 w 945
2 w 946
τοῦ 5 w 949
πλάτους 1 w 956
πρὸς 9 w 960
τὴν 2 w 963
τοῦ 6 w 966
πλά- 1 w 970
τους 2 w 974
καὶ 7 w 977
3 w 979
τοῦ 7 w 983
ὕψους 1 w 988
πρὸς 10 w 992
τὴν 3 w 995
τοῦ 8 w 998
ὕψους 2 w 1003
τῶν 2 w 1007
δὲ 10 w 1009
ἐπιπέδων 1 w 1017
καὶ 8 w 1020
πολυγώνων 1 w 1029
ἀριθμῶν 4 w 1036
πρῶτος 1 w 1042
7 w 1043
τρίγωνος 1 w 1051
ὡς 6 w 1054
καὶ 9 w 1057
τῶν 3 w 1060
ἐπιπέδων 2 w 1068
εὐθυγράμμων 1 w 1079
σχη- 1 w 1083
μάτων 1 w 1088
πρῶτόν 1 w 1094
ἐστι 1 w 1098
τὸ 4 w 1100
τρίγωνον 1 w 1108
πῶς 1 w 1112
δὲ 11 w 1114
γεννῶνται 1 w 1123
προείρηται 1 w 1133
ὅτι 1 w 1137
τῷ 1 w 1139
πρώτῳ 1 w 1144
ἀριθμῷ 1 w 1150
τοῦ 9 w 1153
ἐξῆς 1 w 1157
ἀρτίου 1 w 1163
καὶ 10 w 1166
περιττοῦ 1 w 1174
προστιθεμένου 1 w 1187
πάντες 3 w 1194
δὲ 12 w 1196
οἱ 6 w 1198
ἐφεξῆς 1 w 1204
ἀριθμοί 2 w 1211
ἀπογεννῶντες 1 w 1224
τριγώνους 1 w 1233
2 w 1234
τετραγώνους 1 w 1245
3 w 1246
πολυγώνους 1 w 1256
γνώμονες 1 w 1265
καλοῦνται 1 w 1274
τοσούτων 1 w 1283
δὲ 13 w 1285
μονάδων 1 w 1292
ἕκαστον 1 w 1299
τρίγωνον 2 w 1307
ἔχει 1 w 1311
πλευρὰς 3 w 1318
πάντως 1 w 1324
ὅσων 2 w 1329
καὶ 11 w 1332
μόνος 1 w 1337
ἐστὶν 1 w 1342
8 w 1343
προσλαμβανόμενος 1 w 1359
γνώμων 1 w 1365
οἷον 2 w 1370
ἔστω 1 w 1374
πρῶτον 1 w 1380
4 w 1381
μονάς 1 w 1386
λεγομένη 1 w 1395
τρίγωνον 3 w 1403
οὐ 1 w 1405
κατʼ 1 w 1409
ἐντελέχειαν 1 w 1420
ὡς 7 w 1423
προειρήκαμεν 1 w 1435
ἀλλὰ 1 w 1440
κατὰ 1 w 1444
δύναμιν 1 w 1451
ἐπεὶ 1 w 1456
γὰρ 2 w 1459
αὕτη 1 w 1463
οἷον 3 w 1467
σπέρμα 1 w 1473
πάντων 1 w 1479
ἐστὶν 2 w 1484
ἀριθμῶν 5 w 1491
ἔχει 2 w 1496
ἐν 4 w 1498
αὑτῇ 1 w 1502
καὶ 12 w 1505
τρι- 1 w 1509
γωνοειδῆ 1 w 1517
δύναμιν 2 w 1524
προσλαμβάνουσα 1 w 1539
γοῦν 1 w 1543
τὴν 4 w 1546
δυάδα 1 w 1551
ἀποτελεῖ 1 w 1559
τρίγωνον 4 w 1567
ἔχον 2 w 1572
πλευρὰς 4 w 1579
τοσούτων 2 w 1587
μονάδων 2 w 1594
ὅσων 3 w 1599
ἐστὶν 3 w 1604
9 w 1605
προσληφθεὶς 1 w 1616
γνώμων 2 w 1622
τῆς 1 w 1625
δυάδος 1 w 1631
τὸ 5 w 1634
δὲ 14 w 1636
ὅλον 1 w 1640
τρίγωνον 5 w 1648
τοσούτων 3 w 1656
ἐστὶ 4 w 1660
μονάδων 3 w 1667
ὅσων 4 w 1672
καὶ 13 w 1675
οἱ 7 w 1677
συντεθέντες 1 w 1688
γνώμονες 2 w 1696
13 w 1698
τε 23 w 1700
γὰρ 3 w 1703
τοῦ 11 w 1706
ἑνὸς 1 w 1710
καὶ 14 w 1713
10 w 1715
τῶν 4 w 1719
δυεῖν 1 w 1724
γνώμων 3 w 1730
τὰ 5 w 1732
γ 34 w 1733
ἐποιήσαν 1 w 1741
ὥστε 1 w 1746
καὶ 15 w 1749
τὸ 6 w 1751
τρίγωνον 6 w 1759
7 2 w 1760
inscr 2 w 1765
περὶ 3 w 1770
τριγώνων 1 w 1778
ἀριθμῶν 6 w 1785
A 10 w 1786
κδ 3 w 1789
in 6 w 1791
mg 3 w 1793
10 1 w 1796
προείρηται 2 w 1806
p 6 w 1808
33 1 w 1811
1 7 w 1813
11 1 w 1815
cf 2 w 1817
Nesselmann 1 w 1828
p 7 w 1829
203 1 w 1833
14 2 w 1835
τὰς 3 w 1838
ante 1 w 1842
πλευρὰς 5 w 1849
add 2 w 1852
A2 1 w 1855
πάντως 2 w 1861
corr 2 w 1865
ex 2 w 1868
πάντων 2 w 1874
A 12 w 1875
17 1 w 1877
προ- 1 w 1881
ειρήκαμεν 2 w 1890
p 8 w 1892
33 2 w 1895
6 2 w 1897
24 2 w 1899
τοσούτων 4 w 1907
φησί 1 w 1912
μονάδων 4 w 1920
ἐστὶν 4 w 1925
5 w 1926
πλευρὰ 6 w 1932
τοῦ 12 w 1935
τριγώνου 2 w 1943
ὅσων 5 w 1948
μονάδων 5 w 1955
ἐστὶν 5 w 1960
11 w 1961
προστεθεὶς 1 w 1971
γνώ- 1 w 1975
μων 5 w 1978
τοσαται 1 w 1986
δέ 1 w 1988
εἰσιν 3 w 1993
αἱ 2 w 1995
τοῦ 13 w 1998
γνώμονος 1 w 2006
μονάδες 1 w 2013
ὅσοι 1 w 2018
εἰσὶν 2 w 2023
οἱ 8 w 2025
γνώμονες 3 w 2033
οἱ 9 w 2035
εἰς 4 w 2038
τὸ 7 w 2040
τρίγωνον 7 w 2048
συνελθόντες 1 w 2059
mg 4 w 2061
A 13 w 2063
ἔσται 1 w 2068
μὲν 5 w 2071
τριῶν 2 w 2076
μονάδων 6 w 2083
ἕξει 1 w 2088
δʼ 2 w 2090
ἑκάστην 1 w 2097
πλευρὰν 1 w 2104
τῶν 5 w 2107
δυεῖν 2 w 2112
ὅσοι 2 w 2117
καὶ 16 w 2120
οἱ 10 w 2122
γνώμονες 4 w 2130
συνετέθησαν 1 w 2141
εἶτα 1 w 2146
τὸ 8 w 2148
γ 43 w 2149
τρίγωνον 8 w 2157
προσλαμβάνει 1 w 2169
τὸν 1 w 2172
τῶν 6 w 2175
γ 45 w 2176
γνώμονα 1 w 2183
ὃς 1 w 2186
μονάδι 1 w 2192
ὑπερέχει 1 w 2200
τῆς 2 w 2203
δυάδος 2 w 2209
καὶ 17 w 2213
γίνεται 1 w 2220
τὸ 10 w 2222
μὲν 6 w 2225
ὅλον 2 w 2229
τρί- 1 w 2233
γωνον 10 w 2238
Ϛ 3 w 2239
πλευρὰς 6 w 2247
δʼ 3 w 2249
ἕξει 2 w 2253
τοσούτων 5 w 2261
μονάδων 7 w 2268
καὶ 18 w 2271
τοῦτο 1 w 2276
τὸ 11 w 2278
τρίγωνον 9 w 2286
ὅσοι 3 w 2291
γνώμονες 5 w 2299
συντέθεινται 1 w 2311
ἐκ 3 w 2314
γὰρ 4 w 2317
τοῦ 15 w 2320
ἑνὸς 2 w 2324
καὶ 19 w 2327
β 12 w 2328
καὶ 20 w 2331
γ 52 w 2332
συνετέθη 2 w 2340
12 w 2341
ϛ 3 w 2342
α 78 w 2344
α 79 w 2345
αα 1 w 2347
αα 2 w 2349
ααα 1 w 2352
εἶτα 2 w 2356
13 w 2357
Ϛ 4 w 2358
προσλαμβάνει 2 w 2370
τὸν 2 w 2373
δ 55 w 2374
γίνεται 2 w 2382
τὸ 13 w 2384
τοῦ 16 w 2387
ι 86 w 2388
τρίγω- 1 w 2394
νον 12 w 2397
ἑκάστην 2 w 2405
πλευρὰν 2 w 2412
ἔχον 3 w 2416
δ 56 w 2417
μονάδων 8 w 2424
14 w 2426
γὰρ 5 w 2429
προσλη- 1 w 2436
φθεὶς 2 w 2441
γνώμων 4 w 2447
ἦν 2 w 2449
15 w 2450
δ 58 w 2451
καὶ 21 w 2455
ἐκ 4 w 2457
δ 59 w 2458
δὲ 15 w 2460
γνωμόνων 1 w 2468
ἦν 3 w 2470
τὸ 14 w 2472
ὅλον 3 w 2476
τοῦ 17 w 2480
τε 27 w 2482
ἑνὸς 3 w 2486
καὶ 22 w 2489
β 14 w 2490
καὶ 23 w 2493
γ 58 w 2494
καὶ 24 w 2497
δ 61 w 2498
ἔτι 1 w 2502
16 w 2503
ι 88 w 2504
προσ- 1 w 2509
λαμβάνει 3 w 2517
τὸν 3 w 2520
ε 108 w 2521
καὶ 25 w 2525
γίνεται 3 w 2532
τὸ 16 w 2535
τοῦ 18 w 2538
ιε 1 w 2540
τρίγωνον 10 w 2549
πλευρὰν 3 w 2557
ἔχον 4 w 2561
ἑκάστην 3 w 2568
μονάδων 9 w 2575
ε 112 w 2576
καὶ 26 w 2580
ἐκ 5 w 2582
τῶν 7 w 2585
ε 113 w 2586
γνω- 1 w 2590
μόνων 2 w 2595
συνέστη 1 w 2602
ὁμοίως 1 w 2609
καὶ 27 w 2612
οἱ 11 w 2614
ἓξ 1 w 2616
γνώμονες 6 w 2624
τοὺς 3 w 2640
γνωμονικοὺς 1 w 2651
ἀριθμοὺς 1 w 2659
ἀποτελοῦσι 1 w 2669
λέγονται 1 w 2678
δέ 2 w 2680
τινες 1 w 2685
καὶ 28 w 2688
κυκλοειδεῖς 1 w 2699
καὶ 29 w 2702
σφαιροειδεῖς 1 w 2714
καὶ 30 w 2717
ἀποκαταστατικοὶ 1 w 2732
ἀριθμοί 3 w 2739
οὗτοι 1 w 2745
δʼ 4 w 2747
εἰσὶν 3 w 2752
οἵτινες 1 w 2759
ἐν 5 w 2761
τῷ 2 w 2763
πολλαπλασιάζεσθαι 1 w 2780
4 w 2781
ἐπιπέδως 1 w 2789
5 w 2790
στερεῶς 1 w 2797
τουτ- 1 w 2803
έστι 2 w 2807
κατὰ 2 w 2811
δύο 4 w 2814
διαστάσεις 1 w 2824
6 w 2825
κατὰ 3 w 2829
τρεῖς 1 w 2834
ἀφʼ 1 w 2838
οὗ 2 w 2840
ἂν 1 w 2842
ἄρξωνται 1 w 2850
ἀριθμοῦ 1 w 2857
ἐπὶ 1 w 2860
τοῦτον 1 w 2866
ἀποκαθιστάμενοι 1 w 2881
τοιοῦ- 1 w 2888
τον 4 w 2891
δέ 3 w 2893
ἐστι 2 w 2897
καὶ 31 w 2900
18 w 2901
κύκλος 1 w 2907
ἀφʼ 2 w 2911
οὗ 3 w 2913
ἂν 2 w 2915
ἄρξηται 1 w 2922
σημείου 1 w 2929
2 9 w 2931
γνώμονες 7 w 2939
ο 223 w 2941
corr 3 w 2945
ex 3 w 2948
ω 69 w 2949
A 14 w 2950
εἶτα 3 w 2954
corr 4 w 2958
ex 4 w 2961
εἰς 5 w 2964
A 15 w 2965
γ 66 w 2966
τρίτον 1 w 2973
A 16 w 2974
om 1 w 2977
apogr 4 w 2983
3 8 w 2985
ὃς 2 w 2987
corr 5 w 2991
ex 5 w 2994
οἳ 1 w 2996
A 17 w 2997
4 5 w 2998
τῆς 3 w 3001
δυάδος 3 w 3007
corr 6 w 3011
ex 6 w 3014
τὴν 5 w 3017
δυάδα 2 w 3022
A 18 w 3023
5 1 w 3024
τὰς 4 w 3027
ante 2 w 3031
πλευρὰς 7 w 3038
add 3 w 3041
A2 2 w 3044
9 3 w 3045
ἔχον 5 w 3049
corr 7 w 3053
ex 7 w 3056
ἔχων 1 w 3060
A 20 w 3061
10 2 w 3063
γνώμων 5 w 3069
A2 3 w 3071
γνώμω 6 w 3077
A1 1 w 3079
12 2 w 3081
τὸ 17 w 3083
τοῦ 20 w 3086
ιε 2 w 3088
add 4 w 3091
apogr 5 w 3097
13 1 w 3100
γνωμόνω 2 w 3107
A1 2 w 3109
14 3 w 3111
ἓξ 2 w 3113
ἑξῆς 1 w 3118
apogr 6 w 3123
16 1 w 3126
inscr 3 w 3131
περὶ 4 w 3136
κυκλοειδῶν 1 w 3146
καὶ 32 w 3149
σφαιροειδῶν 1 w 3160
καὶ 33 w 3163
ἀποκαταστατικῶν 1 w 3178
ἀριθμῶν 7 w 3185
A 24 w 3186
κδ 4 w 3189
in 8 w 3191
mg 5 w 3193
17 2 w 3196
οἵ- 1 w 3199
τινες 3 w 3204
ἀποκαθιστάμενοι 2 w 3220
scr 4 w 3224
οἱ 12 w 3227
ἀποκαθισταμενοι 1 w 3243
aut 1 w 3246
οἵ- 2 w 3249
τινες 4 w 3254
ἀποκαθίστανται 1 w 3269
21 2 w 3271
κύκλος 2 w 3277
ὅς 1 w 3280
ἐπὶ 2 w 3285
τοῦτο 3 w 3290
ἀποκαθίσταται 1 w 3303
ὑπὸ 1 w 3307
γὰρ 6 w 3310
μιᾶς 1 w 3314
γραμμῆς 1 w 3321
περι- 1 w 3326
εχόμενος 1 w 3334
ἀπὸ 1 w 3337
τοῦ 22 w 3340
αὐτοῦ 3 w 3345
ἄρχεται 1 w 3352
καὶ 34 w 3355
εἰς 6 w 3358
ταὐτὸ 1 w 3363
καταλή- 1 w 3370
γει 1 w 3373
τοιαύτη 1 w 3381
δὲ 16 w 3383
καὶ 35 w 3386
ἐν 6 w 3388
στερεῷ 1 w 3394
6 w 3395
σφαῖρα 1 w 3401
κύκλου 1 w 3408
γὰρ 7 w 3411
κατὰ 4 w 3415
πλευρὰν 4 w 3422
περιαγομένου 1 w 3434
7 w 3435
ἀπὸ 2 w 3438
τοῦ 24 w 3441
αὐτοῦ 4 w 3446
ἐπὶ 3 w 3449
τὸ 19 w 3451
αὐτὸ 2 w 3455
ἀποκατάστασις 1 w 3468
σφαῖραν 1 w 3475
γράφει 1 w 3481
καὶ 36 w 3485
ἀριθμοὶ 3 w 3492
δὴ 1 w 3494
οἱ 13 w 3496
ἐν 7 w 3498
τῷ 3 w 3500
πολλαπλασιασμῷ 1 w 3514
ἐφʼ 1 w 3517
ἑαυτοὺς 1 w 3524
καταλήγοντες 1 w 3536
κυκλικοί 1 w 3544
τε 32 w 3546
καλοῦνται 2 w 3555
καὶ 37 w 3558
σφαιροειδεῖς 2 w 3570
ὧν 1 w 3573
εἰσιν 4 w 3578
21 w 3579
τε 33 w 3581
ε 159 w 3582
καὶ 38 w 3585
19 w 3586
Ϛ 5 w 3587
πεντάκις 1 w 3596
γὰρ 8 w 3599
ε 161 w 3600
κε 2 w 3602
πεντάκις 2 w 3611
κε 3 w 3613
ρκε 1 w 3616
ἑξά- 1 w 3621
κις 5 w 3624
Ϛ 6 w 3625
λϚ 1 w 3627
καὶ 39 w 3631
ἑξάκις 1 w 3637
λϛ 1 w 3639
σιϚ 1 w 3642
τῶν 8 w 3646
δὲ 17 w 3648
τετραγώνων 2 w 3658
8 w 3659
μὲν 7 w 3662
γένεσις 1 w 3669
ὡς 8 w 3672
εἶπον 1 w 3677
ἐκ 6 w 3680
τῶν 9 w 3683
περισσῶν 1 w 3691
ἀλλήλοις 1 w 3699
ἐπισυντιθεμένων 1 w 3714
τουτέστι 2 w 3723
τῶν 10 w 3726
ἀπὸ 3 w 3729
μονάδος 1 w 3736
δυάδι 1 w 3741
ἀλλήλων 1 w 3748
ὑπερεχόντων 1 w 3759
ἓν 1 w 3762
γὰρ 9 w 3765
καὶ 40 w 3768
γ 81 w 3769
δ 85 w 3770
καὶ 41 w 3774
δ 86 w 3775
καὶ 42 w 3778
ε 173 w 3779
θ 37 w 3780
καὶ 43 w 3784
θ 38 w 3785
καὶ 44 w 3788
ζ 3 w 3789
ιϛ 1 w 3791
καὶ 45 w 3795
ιϛ 2 w 3797
καὶ 46 w 3800
θ 39 w 3801
κε 5 w 3803
πεντάγωνοι 1 w 3814
δέ 4 w 3816
εἰσιν 5 w 3821
ἀριθμοὶ 4 w 3828
οἱ 14 w 3830
ἐκ 7 w 3832
τῶν 11 w 3835
ἀπὸ 4 w 3838
μονά- 1 w 3843
δος 6 w 3846
κατὰ 5 w 3850
τὸ 21 w 3852
ἑξῆς 2 w 3856
τριάδι 1 w 3862
ἀλλήλων 2 w 3870
ὑπερεχόντων 2 w 3882
συν- 1 w 3886
τιθέμενοι 1 w 3895
ὧν 2 w 3898
εἰσιν 6 w 3903
οἱ 15 w 3905
μὲν 8 w 3908
γνώμονες 8 w 3916
α 175 w 3917
δ 90 w 3918
ζ 4 w 3919
ι 168 w 3920
ιγ 4 w 3922
ιϚ 2 w 3924
ιθ 22 w 3926
αὐτοὶ 2 w 3932
δὲ 18 w 3934
οἱ 16 w 3936
πεντάγωνοι 2 w 3946
α 177 w 3947
ε 183 w 3948
ιβ 1 w 3950
κβ 2 w 3952
λε 18 w 3954
να 4 w 3956
καὶ 47 w 3959
ἑξῆς 3 w 3963
ὁμοίως 2 w 3969
σχηματίζονται 2 w 3983
δὲ 19 w 3985
πενταγωνικῶς 1 w 3997
οὕτως 4 w 4002
10 3 w 4005
inscr 4 w 4010
περὶ 5 w 4015
τετραγώνων 3 w 4025
ἀριθμῶν 8 w 4032
A 25 w 4033
εἶπον 2 w 4039
p 12 w 4041
28 1 w 4044
3 10 w 4046
32 1 w 4049
9 4 w 4051
34 1 w 4054
1 22 w 4056
14 4 w 4058
inscr 5 w 4063
περὶ 6 w 4068
πενταγώνων 1 w 4078
ἀριθμῶν 9 w 4085
A 26 w 4086
κε 6 w 4089
in 11 w 4091
mg 6 w 4093
ἑξάγωνοι 1 w 4102
δέ 5 w 4104
εἰσιν 7 w 4109
ἀριθμοὶ 5 w 4116
οἱ 17 w 4118
ἐκ 8 w 4120
τῶν 12 w 4123
κατὰ 6 w 4127
τὸ 22 w 4129
ἑξῆς 4 w 4133
ἀπὸ 5 w 4136
μονάδος 2 w 4143
τετράδι 1 w 4150
ἀλλήλων 3 w 4157
ὑπερεχόντων 3 w 4168
συντιθέμε- 1 w 4178
νοι 10 w 4181
ὧν 3 w 4184
οἱ 18 w 4186
γνώμονές 1 w 4194
εἰσιν 8 w 4199
α 186 w 4200
ε 198 w 4201
θ 47 w 4202
ιγ 5 w 4204
ιζ 1 w 4206
κα 70 w 4208
κε 7 w 4210
οἱ 19 w 4213
δὲ 20 w 4215
ἐκ 9 w 4217
τούτων 1 w 4223
ἑξάγωνοι 2 w 4231
οἵδε 1 w 4235
α 188 w 4237
ς 151 w 4238
ιε 3 w 4240
κη 4 w 4242
με 12 w 4244
ξς 1 w 4246
α 189 w 4249
σχη- 2 w 4254
ματίζονται 3 w 4264
δὲ 21 w 4266
οὕτως 5 w 4271
α 192 w 4273
ϛ 7 w 4274
ιϚ 3 w 4276
κη 5 w 4278
με 13 w 4280
ξϚ 1 w 4282