Scaife ATLAS

CTS Library / De utilitate mathematicae

De utilitate mathematicae (31-35)

urn:cts:greekLit:tlg1724.tlg001.1st1K-grc1:31-35
Refs {'start': {'reference': '31', 'human_reference': 'Paragraph 31'}, 'end': {'reference': '35', 'human_reference': 'Paragraph 35'}}
Ancestors []
Children []
prev
plain textXML
next

αα ααα αααα αα ααα αααα ααα αααα

κατὰ ταὐτὰ δὲ ἂν μὴ μόνον τοὺς ἐφεξῆς ἀρτίους [*]

33
μηδὲ μόνον τοὺς ἐφεξῆς περισσούς, ἀλλὰ καὶ ἀρτίους καὶ περισσοὺς ἀλλήλοις ἐπισυντιθῶμεν, τρίγωνοι ἡμῖν ἀριθμοὶ γενήσονται. ἐκκείσθωσαν γὰρ ἐφεξῆς περισσοὶ καὶ ἄρτιοι, α β γ δ ε Ϛ ζ η θ ι. γίνονται κατὰ τὴν τούτων σύνθεσιν οἱ τρίγωνοι. πρώτη μὲν μονάς·
αὕτη γάρ, εἰ καὶ μὴ ἐντελεχείᾳ, δυνάμει πάντα ἐστίν, ἀρχὴ πάντων ἀριθμῶν οὖσα. τῆς δὲ ἑξῆς αὐτῇ δυάδος προστεθείσης γίνεται τρίγωνος γ· εἶτα πρόσθες γ, γίνεται Ϛ· εἶτα πρόσθες δ, γίνονται ι· εἶτα πρόσθες ε, γίνονται ιε· εἶτα πρόσθες ϛ, γίνονται κα· εἶτα
πρόσθες ζ, γίνονται κη· εἶτα πρόσθες η, γίνονται λϚ· εἶτα πρόσθες θ, γίνονται με· εἶτα πρόσθες ι, γίνον- ται νε· καὶ μέχρις ἀπείρου αὐτὸς λόγος. δῆλον δὲ ὅτι τρίγωνοι οὗτοι οἱ ἀριθμοὶ κατὰ τὸν σχηματισμόν, τοῖς πρώτοις ἀριθμοῖς τοῦ ἐφεξῆς γνώμονος προστιθε-
μένου· καὶ εἶεν ἂν οἱ ἐκ τῆς ἐπισυνθέσεως ἀπογεννώ- μενοι τρίγωνοι οἵδε· γ Ϛ ι ιε κα κη λς με νε. καὶ οὕτως ἐπὶ τῶν ἑξῆς τῶν με καὶ νε.

[*][*]
34

οἱ δὲ τετράγωνοι γεννῶνται μέν, ὡς προείρηται, ἐκ τῶν ἐφεξῆς ἀπὸ μονάδος περιττῶν ἀλλήλοις ἐπισυντι- θεμένων· συμβέβηκε δὲ αὐτοῖς ὥστε ἐναλλὰξ παῤ ἕνα ἀρτίοις εἶναι καὶ περιττοῖς, ὥσπερ πᾶς ἀριθμὸς παῤ
ἕνα ἄρτιός ἐστιν περιττός· οἷον α δ θ ις κε λϚ μθ ξδ πα ρ. τῇ δὲ ἀπὸ μονάδος κατὰ τὸ ἐξῆς ἐκθέσει τῶν ἀρτίων τε καὶ περιττῶν ἀριθμῶν συμβέβηκε, τοὺς γνώμονας τοὺς δυάδι ἀλλήλων ὑπερέχοντας ἐν τῇ συν- θέσει τετραγώνους ἀποτελεῖν, ὡς ἐπάνω ἀποδέδεικται·
ὑπερέχουσι γὰρ δυάδι ἀλλήλων ἀπὸ μονάδος ἀρχόμενοι οἱ περιττοί. ὁμοίως δὲ οἱ τριάδι ἀλλήλων ὑπερέχον- τες ἐν τῇ συνθέσει ἀπὸ μονάδος πενταγώνους ἀποτε- λοῦσιν, ἑξαγώνους δὲ οἱ τετράδι, αἰεί τε ὑπεροχὴ τῶν γνωμόνων ἐξ ὧν ἀποτελοῦνται οἱ πολύγωνοι δυάδι
λείπεται τοῦ πλήθους τῶν ἀποτελουμένων γωνιῶν.

ἑτέρα δὲ πάλιν ἐστὶ τάξις ἐν τοῖς πολυγώνοις τῶν ἀπὸ μονάδος πολλαπλασίων ἀριθμῶν. τῶν γὰρ ἀπὸ μονάδος πολλαπλασίων, λέγω δὲ διπλασίων τριπλασίων καὶ τῶν ἑξῆς, οἱ μὲν ἕνα παῤ ἕνα διαλείποντες ἀριθμοὶ
τετράγωνοι πάντες εἰσίν, οἱ δὲ δύο διαλείποντες κύβοι πάντες, οἱ δὲ πέντε διαλείποντες κύβοι ἅμα καὶ τετρά- γωνοί εἰσι καὶ τὰς μὲν πλευρὰς ἔχουσι τετραγώνους [*] [*]

35
ἀριθμοὺς κύβοι ὄντες, τετράγωνοι δὲ ὄντες ἀριθμοὶ κυβικὰς ἔχουσι τὰς πλευράς. ὅτι δὲ τῶν πολλαπλασίων ἀριθμιῶν οἱ μὲν παρʼ ἔνα ἀπὸ μονάδος τετράγωνοί εἰσιν, οἱ δὲ παρὰ βʹ κύβοι, οἱ δὲ παρὰ εʹ κύβοι ἄμα καὶ τε- τράγωνοί εἰσι, δῆλον οὕτως. ἐν μὲν τοῖς διπλασίοις,
κειμένων πλειόνων ἀριθμῶν οἷον αʹ βʹ γʹ δʼ εʹ ςʹ ζʹ ηʹ θ ι ια ιγ ιδ ιεʹ ιϛʹ ιζ ιηʹ ιθʹ κʹ καʹ κβʹ κγʹ κδʹ κε πρῶτος διπλάσιος β· εἶτα δʹ, ὅς ἐστι τετράγωνος· εἶτα ηʹ, ὅς ἐστι κύβος· εἶτα ιϛʹ, ὅς ἐστι τετράγωνος· εἴτα λβ· μεθʼ ὅν ἔδʹ, ὅς ἐστι τετράγωνος ἅμα καὶ
κύβος· εἶτα ρκη· μεθʼ ὅν σνςʹ, ὅς ἐστι τετράγωνος· καὶ μέχρις ἀπείρου αὐτὸς λόγος. καὶ ἐν τῷ τριπλασίῳ εὑρεθήσονται οἱ παρʼ ἕνα τετράγωνοι, καὶ ἐν τῷ πεν- ταπλασίῳ, καὶ κατὰ τοὺς ἑξῆς πολλαπλασίους. ὁμοίως δὲ εὑρεθήσονται καὶ οἱ δύο διαλείποντες ἐν τοῖς πολλα-
πλασίοις κύβοι πάντες, καὶ οἱ εʹ διαλείποντες κύβοι ἂμα καὶ τετράγωνοι. ἰδίως δὲ τοῖς τετραγώόνοις συμβέβηκεν ἤτοι τρίτον ἔχειν μονάδος ἀφαιρεθείσης τρίτον ἔχειν πάντως, πάλιν τέταρτον ἔχειν μονάδος ἀφαιρεθείσης τέταρτον ἔχειν πάντως· καὶ τὸν μὲν μονάδος ἀφαιρε-
θείσης τρίτον ἔχοντα ἔχειν καὶ τέταρτον πάντως, ὡς δʹ, τὸν δὲ μονάδος ἀφαιρεθείσης τέταρτον ἔχοντα ἔχειν τρίτον πάντως, ὡς θʹ, τὸν αὐτὸν πάλιν καὶ τρίτον ἔχειν καὶ τέταρτον, ὡς λςʹ [ μηδέτερον τούτων ἔχοντα τοῦτον μονάδος ἀφαιρεθείσης τρίτον ἔχειν πάν-
[*] [*]
36
τως], μήτε τρίτον μήτε τέταρτον ἔχοντα μονάδος ἀφαιρεθείσης καὶ τρίτον ἔχειν καὶ τέταρτον, ὡς κε.

ἔτι τῶν ἀριθμῶν οἱ μὲν ἰσάκις ἴσοι τετράγωνοί εἰσιν, οἱ δὲ ἀνισάκις ἄνισοι ἑτερομήκεις καὶ προμήκεις,
καὶ ἁπλῶς οἱ διχῶς πολλαπλασιαζόμενοι ἐπίπεδοι, οἱ δὲ τριχῶς στερεοί. λέγονται δὲ ἐπίπεδοι ἀριθμοὶ καὶ τρίγωνοι καὶ τετράγωνοι καὶ στερεοὶ καὶ τἆλλα οὐ κυ- ρίως ἀλλὰ καθʼ ὁμοιότητα τῶν χωρίων καταμετροῦ- σιν· γὰρ δ, ἐπεὶ τετράγωνον χωρίον καταμετρεῖ, ἀπʼ
αὐτοῦ καλεῖται τετράγωνος, καὶ Ϛ διὰ τὰ αὐτὰ ἑτερο- μήκης.

Tokens

αα 1 w 2
ααα 1 w 5
αααα 1 w 9
αα 7 w 11
ααα 4 w 14
αααα 2 w 18
ααα 7 w 21
αααα 3 w 25
κατὰ 1 w 29
ταὐτὰ 1 w 34
δὲ 1 w 36
ἂν 1 w 38
μὴ 1 w 40
μόνον 1 w 45
τοὺς 1 w 49
ἐφεξῆς 1 w 55
ἀρτίους 1 w 62
2 1 w 63
γὰρ 1 w 66
suppra 1 w 72
vs 1 w 74
A 1 w 76
5 1 w 78
περιθῇς 1 w 85
Bull 1 w 89
προσθῆς 1 w 98
A 2 w 99
τοῖς 1 w 103
πρώτοις 1 w 110
τοῖς 2 w 115
ϛ 1 w 116
cf 1 w 119
vs 2 w 122
1 1 w 124
6 1 w 125
ταῦτα 1 w 130
del 1 w 133
vid 1 w 137
8 1 w 139
fig 1 w 142
semper 1 w 149
lineis 1 w 155
circumscr 1 w 164
A 3 w 166
14 1 w 169
περιθῇς 2 w 176
Gelder 1 w 182
22 1 w 184
ταυτὰ 1 w 189
corr 1 w 193
ex 1 w 196
ταῦτα 2 w 201
A 4 w 202
μηδὲ 1 w 206
μόνον 2 w 211
τοὺς 2 w 215
ἐφεξῆς 2 w 221
περισσούς 1 w 230
ἀλλὰ 1 w 235
καὶ 1 w 238
ἀρτίους 2 w 245
καὶ 2 w 248
περισσοὺς 1 w 257
ἀλλήλοις 1 w 265
ἐπισυντιθῶμεν 1 w 278
τρίγωνοι 1 w 287
ἡμῖν 1 w 291
ἀριθμοὶ 1 w 298
γενήσονται 1 w 308
ἐκκείσθωσαν 1 w 320
γὰρ 2 w 323
ἐφεξῆς 3 w 329
περισσοὶ 1 w 337
καὶ 3 w 340
ἄρτιοι 1 w 346
α 38 w 348
β 1 w 349
γ 5 w 350
δ 3 w 351
ε 12 w 352
Ϛ 1 w 353
ζ 1 w 354
η 2 w 355
θ 7 w 356
ι 15 w 357
γίνονται 1 w 366
κατὰ 2 w 370
τὴν 1 w 373
τούτων 1 w 379
σύνθεσιν 1 w 387
οἱ 1 w 389
τρίγωνοι 2 w 397
πρώτη 1 w 403
μὲν 1 w 406
2 w 407
μονάς 1 w 412
αὕτη 1 w 417
γάρ 1 w 420
εἰ 1 w 423
καὶ 4 w 426
μὴ 2 w 428
ἐντελεχείᾳ 1 w 438
δυνάμει 1 w 446
πάντα 1 w 451
ἐστίν 1 w 456
ἀρχὴ 1 w 461
πάντων 1 w 467
ἀριθμῶν 1 w 474
οὖσα 1 w 478
τῆς 1 w 482
δὲ 3 w 484
ἑξῆς 1 w 488
αὐτῇ 1 w 492
δυάδος 1 w 498
προστεθείσης 1 w 510
γίνεται 1 w 517
τρίγωνος 1 w 525
1 w 526
γ 11 w 527
εἶτα 1 w 532
πρόσθες 1 w 539
γ 12 w 540
γίνεται 2 w 548
Ϛ 2 w 549
εἶτα 2 w 554
πρόσθες 2 w 561
δ 8 w 562
γίνονται 2 w 571
ι 24 w 572
εἶτα 3 w 577
πρόσθες 3 w 584
ε 29 w 585
γίνονται 3 w 594
ιε 1 w 596
εἶτα 4 w 601
πρόσθες 4 w 608
ϛ 2 w 609
γίνονται 4 w 618
κα 7 w 620
εἶτα 5 w 625
πρόσθες 5 w 632
ζ 2 w 633
γίνονται 5 w 642
κη 1 w 644
εἶτα 6 w 649
πρόσθες 6 w 656
η 7 w 657
γίνονται 6 w 666
λϚ 1 w 668
εἶτα 7 w 673
πρόσθες 7 w 680
θ 18 w 681
γίνονται 7 w 690
με 3 w 692
εἶτα 8 w 697
πρόσθες 8 w 704
ι 31 w 705
γίνον- 1 w 712
ται 11 w 715
νε 3 w 717
καὶ 5 w 721
μέχρις 1 w 727
ἀπείρου 1 w 734
2 w 735
αὐτὸς 1 w 740
λόγος 1 w 745
δῆλον 1 w 751
δὲ 4 w 753
ὅτι 1 w 756
τρίγωνοι 3 w 764
οὗτοι 1 w 769
οἱ 2 w 771
ἀριθμοὶ 2 w 778
κατὰ 3 w 782
τὸν 1 w 785
σχηματισμόν 1 w 796
τοῖς 3 w 801
πρώτοις 2 w 808
ἀριθμοῖς 1 w 816
τοῦ 1 w 819
ἐφεξῆς 4 w 825
γνώμονος 1 w 833
προστιθε- 1 w 842
μένου 1 w 847
καὶ 6 w 851
εἶεν 1 w 855
ἂν 2 w 857
οἱ 3 w 859
ἐκ 2 w 861
τῆς 2 w 864
ἐπισυνθέσεως 1 w 876
ἀπογεννώ- 1 w 885
μενοι 1 w 890
τρίγωνοι 4 w 898
οἵδε 1 w 902
γ 26 w 904
Ϛ 4 w 905
ι 45 w 906
ιε 2 w 908
κα 11 w 910
κη 2 w 912
λς 1 w 914
με 5 w 916
νε 4 w 918
καὶ 7 w 922
οὕτως 1 w 927
ἐπὶ 1 w 930
τῶν 1 w 933
ἑξῆς 2 w 937
τῶν 2 w 940
με 6 w 942
καὶ 8 w 945
νε 5 w 947
4 2 w 949
γίνωνται 1 w 957
A1 1 w 959
6 2 w 960
ἐντελεχεία 1 w 970
corr 2 w 974
ex 2 w 977
ἐντελέχεια 1 w 987
A 6 w 988
10 1 w 991
γίνονται 8 w 999
κα 14 w 1001
γίνονται 9 w 1010
compendio 1 w 1019
scr 2 w 1022
A 7 w 1024
ut 1 w 1026
in 2 w 1028
sequentibus 1 w 1039
18 1 w 1041
τῶν 3 w 1044
με 7 w 1046
καὶ 9 w 1049
νε 6 w 1051
del 2 w 1054
vid 2 w 1058
οἱ 4 w 1061
δὲ 5 w 1063
τετράγωνοι 1 w 1073
γεννῶνται 1 w 1082
μέν 2 w 1085
ὡς 1 w 1088
προείρηται 1 w 1098
ἐκ 3 w 1101
τῶν 4 w 1104
ἐφεξῆς 5 w 1110
ἀπὸ 1 w 1113
μονάδος 1 w 1120
περιττῶν 1 w 1128
ἀλλήλοις 2 w 1136
ἐπισυντι- 1 w 1145
θεμένων 1 w 1152
συμβέβηκε 1 w 1162
δὲ 6 w 1164
αὐτοῖς 1 w 1170
ὥστε 1 w 1174
ἐναλλὰξ 1 w 1181
παῤ 1 w 1184
ἕνα 1 w 1187
ἀρτίοις 1 w 1194
εἶναι 1 w 1199
καὶ 10 w 1202
περιττοῖς 1 w 1211
ὥσπερ 1 w 1217
3 w 1218
πᾶς 1 w 1221
ἀριθμὸς 1 w 1228
παῤ 2 w 1231
ἕνα 2 w 1234
ἄρτιός 1 w 1240
ἐστιν 1 w 1245
1 w 1246
περιττός 1 w 1254
οἷον 1 w 1259
α 89 w 1260
δ 15 w 1261
θ 26 w 1262
ις 7 w 1264
κε 3 w 1266
λϚ 2 w 1268
μθ 1 w 1270
ξδ 1 w 1272
πα 3 w 1274
ρ 48 w 1275
τῇ 2 w 1278
δὲ 7 w 1280
ἀπὸ 2 w 1283
μονάδος 2 w 1290
κατὰ 4 w 1294
τὸ 3 w 1296
ἐξῆς 1 w 1300
ἐκθέσει 1 w 1307
τῶν 6 w 1310
ἀρτίων 1 w 1316
τε 7 w 1318
καὶ 11 w 1321
περιττῶν 2 w 1329
ἀριθμῶν 2 w 1336
συμβέβηκε 2 w 1345
τοὺς 3 w 1350
γνώμονας 1 w 1358
τοὺς 4 w 1362
δυάδι 1 w 1367
ἀλλήλων 1 w 1374
ὑπερέχοντας 1 w 1385
ἐν 5 w 1387
τῇ 3 w 1389
συν- 1 w 1393
θέσει 2 w 1398
τετραγώνους 1 w 1409
ἀποτελεῖν 1 w 1418
ὡς 2 w 1421
ἐπάνω 1 w 1426
ἀποδέδεικται 1 w 1438
ὑπερέχουσι 1 w 1449
γὰρ 3 w 1452
δυάδι 2 w 1457
ἀλλήλων 2 w 1464
ἀπὸ 3 w 1467
μονάδος 3 w 1474
ἀρχόμενοι 1 w 1483
οἱ 5 w 1486
περιττοί 1 w 1495
ὁμοίως 1 w 1502
δὲ 8 w 1504
οἱ 6 w 1506
τριάδι 1 w 1512
ἀλλήλων 3 w 1519
ὑπερέχον- 1 w 1528
τες 1 w 1531
ἐν 6 w 1533
τῇ 4 w 1535
συνθέσει 1 w 1543
ἀπὸ 4 w 1546
μονάδος 4 w 1553
πενταγώνους 1 w 1564
ἀποτε- 1 w 1570
λοῦσιν 1 w 1576
ἑξαγώνους 1 w 1586
δὲ 9 w 1588
οἱ 7 w 1590
τετράδι 1 w 1597
αἰεί 1 w 1602
τε 13 w 1604
3 w 1605
ὑπεροχὴ 1 w 1612
τῶν 8 w 1615
γνωμόνων 1 w 1623
ἐξ 2 w 1625
ὧν 1 w 1627
ἀποτελοῦνται 1 w 1639
οἱ 8 w 1641
πολύγωνοι 1 w 1650
δυάδι 3 w 1655
λείπεται 1 w 1663
τοῦ 2 w 1666
πλήθους 1 w 1673
τῶν 9 w 1676
ἀποτελουμένων 1 w 1689
γωνιῶν 1 w 1695
ἑτέρα 1 w 1701
δὲ 10 w 1703
πάλιν 1 w 1708
ἐστὶ 1 w 1712
τάξις 1 w 1717
ἐν 7 w 1719
τοῖς 6 w 1723
πολυγώνοις 1 w 1733
τῶν 10 w 1736
ἀπὸ 5 w 1739
μονάδος 5 w 1746
πολλαπλασίων 1 w 1758
ἀριθμῶν 3 w 1765
τῶν 11 w 1769
γὰρ 4 w 1772
ἀπὸ 6 w 1775
μονάδος 6 w 1782
πολλαπλασίων 2 w 1794
λέγω 1 w 1799
δὲ 11 w 1801
διπλασίων 1 w 1810
τριπλασίων 1 w 1820
καὶ 12 w 1823
τῶν 12 w 1826
ἑξῆς 3 w 1830
οἱ 9 w 1833
μὲν 2 w 1836
ἕνα 3 w 1839
παῤ 3 w 1842
ἕνα 4 w 1845
διαλείποντες 1 w 1857
ἀριθμοὶ 3 w 1864
τετράγωνοι 2 w 1874
πάντες 1 w 1880
εἰσίν 1 w 1885
οἱ 10 w 1888
δὲ 12 w 1890
δύο 1 w 1893
διαλείποντες 2 w 1905
κύβοι 1 w 1910
πάντες 2 w 1916
οἱ 11 w 1919
δὲ 13 w 1921
πέντε 1 w 1926
διαλείποντες 3 w 1938
κύβοι 2 w 1943
ἅμα 1 w 1946
καὶ 13 w 1949
τετρά- 1 w 1955
γωνοί 1 w 1960
εἰσι 1 w 1964
καὶ 14 w 1967
τὰς 1 w 1970
μὲν 3 w 1973
πλευρὰς 1 w 1980
ἔχουσι 1 w 1986
τετραγώνους 2 w 1997
1 6 w 1998
inscr 1 w 2003
κερὶ 1 w 2008
τῶν 13 w 2011
ἑξῆς 4 w 2015
πολυγώνων 1 w 2024
A 8 w 2025
κα 22 w 2028
in 4 w 2030
mg 1 w 2032
α 121 w 2034
γ 47 w 2035
ε 119 w 2036
ζ 3 w 2037
θ 35 w 2038
in 5 w 2040
mg 2 w 2042
A 9 w 2044
προείρηται 2 w 2054
p 5 w 2056
28 1 w 2059
3 1 w 2061
32 1 w 2064
9 1 w 2066
5 2 w 2067
in 6 w 2069
mg 3 w 2071
sup 2 w 2075
cod 1 w 2079
A 10 w 2081
haec 1 w 2085
scripta 1 w 2092
sunt 1 w 2096
α 123 w 2098
β 8 w 2099
γ 48 w 2100
δ 44 w 2101
ε 121 w 2102
Ϛ 6 w 2103
ζ 4 w 2104
η 14 w 2105
θ 36 w 2106
ι 103 w 2107
δ 45 w 2109
θ 37 w 2110
ιϚ 1 w 2112
κε 6 w 2114
τετράγωνοι 3 w 2124
α 124 w 2125
β 9 w 2126
γ 50 w 2127
δ 46 w 2128
ε 124 w 2129
Ϛ 8 w 2130
ζ 5 w 2131
η 15 w 2132
θ 38 w 2133
ι 106 w 2134
ιβ 1 w 2136
ιγ 1 w 2138
ε 125 w 2139
ιβ 2 w 2141
κβ 1 w 2143
λε 9 w 2145
πεντάγωνοι 1 w 2155
α 125 w 2156
β 13 w 2157
γ 53 w 2158
δ 47 w 2159
ε 128 w 2160
Ϛ 9 w 2161
ζ 6 w 2162
η 16 w 2163
θ 39 w 2164
ι 111 w 2165
ια 5 w 2167
ιβ 3 w 2169
ιγ 2 w 2171
ιδ 1 w 2173
ιε 3 w 2175
ιϚ 2 w 2177
ιζ 1 w 2179
Ϛ 11 w 2180
ιε 4 w 2182
κη 3 w 2184
με 9 w 2186
ἑξάγωνοι 1 w 2194
12 1 w 2196
πενταγώνους 2 w 2207
corr 3 w 2211
ex 3 w 2214
τετραγώνους 3 w 2225
A 11 w 2226
13 1 w 2229
4 w 2230
supra 1 w 2235
vs 3 w 2237
A 12 w 2239
ἀριθμοὺς 1 w 2248
κύβοι 3 w 2253
ὄντες 1 w 2258
τετράγωνοι 4 w 2269
δὲ 14 w 2271
ὄντες 2 w 2276
ἀριθμοὶ 4 w 2283
κυβικὰς 1 w 2290
ἔχουσι 2 w 2296
τὰς 2 w 2299
πλευράς 1 w 2306
ὅτι 2 w 2310
δὲ 15 w 2312
τῶν 14 w 2315
πολλαπλασίων 3 w 2327
ἀριθμιῶν 1 w 2335
οἱ 12 w 2337
μὲν 4 w 2340
παρʼ 1 w 2344
ἔνα 1 w 2347
ἀπὸ 7 w 2350
μονάδος 7 w 2357
τετράγωνοί 1 w 2367
εἰσιν 1 w 2372
οἱ 13 w 2375
δὲ 16 w 2377
παρὰ 1 w 2381
βʹ 1 w 2383
κύβοι 4 w 2388
οἱ 14 w 2391
δὲ 17 w 2393
παρὰ 2 w 2397
εʹ 1 w 2399
κύβοι 5 w 2404
ἄμα 1 w 2407
καὶ 15 w 2410
τε- 2 w 2413
τράγωνοί 2 w 2421
εἰσι 3 w 2425
δῆλον 2 w 2431
οὕτως 2 w 2436
ἐν 8 w 2439
μὲν 5 w 2442
τοῖς 7 w 2446
διπλασίοις 1 w 2456
κειμένων 1 w 2465
πλειόνων 1 w 2473
ἀριθμῶν 4 w 2480
οἷον 2 w 2484
αʹ 1 w 2486
βʹ 2 w 2488
γʹ 1 w 2490
δʼ 1 w 2492
εʹ 2 w 2494
ςʹ 1 w 2496
ζʹ 1 w 2498
ηʹ 1 w 2500
θ 44 w 2501
ι 139 w 2502
ια 6 w 2504
ιγ 3 w 2506
ιδ 2 w 2508
ιεʹ 1 w 2511
ιϛʹ 1 w 2514
ιζ 2 w 2516
ιηʹ 1 w 2519
ιθʹ 1 w 2522
κʹ 1 w 2524
καʹ 1 w 2527
κβʹ 1 w 2530
κγʹ 1 w 2533
κδʹ 1 w 2536
κε 8 w 2538
πρῶτος 1 w 2544
διπλάσιος 1 w 2553
5 w 2554
β 22 w 2555
εἶτα 9 w 2560
6 w 2561
δʹ 2 w 2563
ὅς 1 w 2566
ἐστι 2 w 2570
τετράγωνος 1 w 2580
εἶτα 10 w 2585
7 w 2586
ηʹ 3 w 2588
ὅς 2 w 2591
ἐστι 3 w 2595
κύβος 1 w 2600
εἶτα 11 w 2605
ιϛʹ 2 w 2608
ὅς 3 w 2611
ἐστι 4 w 2615
τετράγωνος 2 w 2625
εἴτα 1 w 2630
8 w 2631
λβ 1 w 2633
μεθʼ 1 w 2638
ὅν 1 w 2640
9 w 2641
ἔδʹ 1 w 2644
ὅς 4 w 2647
ἐστι 5 w 2651
τετράγωνος 3 w 2661
ἅμα 2 w 2664
καὶ 16 w 2667
κύβος 2 w 2672
εἶτα 12 w 2677
ρκη 1 w 2680
μεθʼ 2 w 2685
ὅν 2 w 2687
σνςʹ 1 w 2691
ὅς 5 w 2694
ἐστι 6 w 2698
τετράγωνος 4 w 2708
καὶ 17 w 2712
μέχρις 2 w 2718
ἀπείρου 2 w 2725
10 w 2726
αὐτὸς 2 w 2731
λόγος 2 w 2736
καὶ 18 w 2740
ἐν 9 w 2742
τῷ 1 w 2744
τριπλασίῳ 1 w 2753
εὑρεθήσονται 1 w 2765
οἱ 15 w 2767
παρʼ 2 w 2771
ἕνα 5 w 2774
τετράγωνοι 5 w 2784
καὶ 19 w 2788
ἐν 10 w 2790
τῷ 2 w 2792
πεν- 1 w 2796
ταπλασίῳ 1 w 2804
καὶ 20 w 2808
κατὰ 5 w 2812
τοὺς 5 w 2816
ἑξῆς 5 w 2820
πολλαπλασίους 1 w 2833
ὁμοίως 2 w 2840
δὲ 18 w 2842
εὑρεθήσονται 2 w 2854
καὶ 21 w 2857
οἱ 16 w 2859
δύο 2 w 2862
διαλείποντες 4 w 2874
ἐν 11 w 2876
τοῖς 8 w 2880
πολλα- 1 w 2886
πλασίοις 2 w 2894
κύβοι 6 w 2899
πάντες 3 w 2905
καὶ 22 w 2909
οἱ 17 w 2911
εʹ 4 w 2913
διαλείποντες 5 w 2925
κύβοι 7 w 2930
ἂμα 1 w 2933
καὶ 23 w 2936
τετράγωνοι 6 w 2946
ἰδίως 1 w 2952
δὲ 19 w 2954
τοῖς 9 w 2958
τετραγώόνοις 1 w 2970
συμβέβηκεν 1 w 2980
ἤτοι 1 w 2984
τρίτον 1 w 2990
ἔχειν 1 w 2995
2 w 2996
μονάδος 8 w 3003
ἀφαιρεθείσης 1 w 3015
τρίτον 2 w 3021
ἔχειν 2 w 3026
πάντως 1 w 3032
3 w 3034
πάλιν 2 w 3039
τέταρτον 1 w 3047
ἔχειν 3 w 3052
4 w 3053
μονάδος 9 w 3060
ἀφαιρεθείσης 2 w 3072
τέταρτον 2 w 3080
ἔχειν 4 w 3085
πάντως 2 w 3091
καὶ 24 w 3095
τὸν 2 w 3098
μὲν 6 w 3101
μονάδος 10 w 3108
ἀφαιρε- 1 w 3115
θείσης 4 w 3121
τρίτον 3 w 3127
ἔχοντα 1 w 3133
ἔχειν 5 w 3138
καὶ 25 w 3141
τέταρτον 3 w 3149
πάντως 3 w 3155
ὡς 3 w 3158
12 w 3159
δʹ 4 w 3161
τὸν 3 w 3165
δὲ 20 w 3167
μονάδος 11 w 3174
ἀφαιρεθείσης 3 w 3186
τέταρτον 4 w 3194
ἔχοντα 2 w 3200
ἔχειν 6 w 3205
τρίτον 4 w 3211
πάντως 4 w 3217
ὡς 4 w 3220
13 w 3221
θʹ 2 w 3223
5 w 3225
τὸν 4 w 3228
αὐτὸν 1 w 3233
πάλιν 3 w 3238
καὶ 26 w 3241
τρίτον 5 w 3247
ἔχειν 7 w 3252
καὶ 27 w 3255
τέταρτον 5 w 3263
ὡς 5 w 3266
14 w 3267
λςʹ 1 w 3270
6 w 3272
μηδέτερον 1 w 3281
τούτων 2 w 3287
ἔχοντα 3 w 3293
τοῦτον 1 w 3299
μονάδος 12 w 3306
ἀφαιρεθείσης 4 w 3318
τρίτον 6 w 3324
ἔχειν 8 w 3329
πάν- 1 w 3333
5 3 w 3334
ἐν 12 w 3336
μὲν 7 w 3339
τοῖς 10 w 3343
διπλασίοις 2 w 3353
δῆλον 3 w 3358
οὕτως7 1 w 3364
6 3 w 3365
pro 1 w 3368
hac 1 w 3371
numero- 1 w 3378
rum 1 w 3381
serie 1 w 3386
Gelderus 1 w 3394
hanc 1 w 3398
posuit 1 w 3404
αʹ 3 w 3407
βʹ 4 w 3409
δʹ 5 w 3411
ηʹ 4 w 3413
ιϛʹ 3 w 3416
λβʹ 1 w 3419
ξδʹ 1 w 3422
ρκηʼ 1 w 3426
σνςʹ 2 w 3430
13 2 w 3432
ἐν 13 w 3434
τῶ 15 w 3436
πενταπλασίῳ 1 w 3447
A2 1 w 3449
οἱ 18 w 3452
παρʹ 1 w 3456
ἕνα 6 w 3459
πενταπλάσιοι 1 w 3471
A1 2 w 3473
15 1 w 3475
διαλείποντες 6 w 3487
ει 17 w 3490
corr 4 w 3494
ex 4 w 3497
ι 191 w 3498
A 15 w 3499
17 1 w 3501
sqq 1 w 3504
cf 2 w 3507
Nesselmann 1 w 3518
die 1 w 3521
Algebra 1 w 3528
der 3 w 3531
Griechen 1 w 3539
p 11 w 3540
227 1 w 3544
sq 2 w 3546
24 1 w 3549
2 w 3550
πάντως 5 w 3557
del 3 w 3560
bull 1 w 3565
25 1 w 3568
τοῦτον 2 w 3574
corr 5 w 3578
ex 5 w 3581
τούτων 3 w 3587
A 17 w 3588
τως 9 w 3592
7 w 3595
μήτε 1 w 3599
τρίτον 7 w 3605
μήτε 2 w 3609
τέταρτον 6 w 3617
ἔχοντα 4 w 3623
μονάδος 13 w 3630
ἀφαιρεθείσης 5 w 3642
καὶ 28 w 3645
τρίτον 8 w 3651
ἔχειν 9 w 3656
καὶ 29 w 3659
τέταρτον 7 w 3667
ὡς 6 w 3670
15 w 3671
κε 10 w 3673
ἔτι 1 w 3677
τῶν 15 w 3680
ἀριθμῶν 5 w 3687
οἱ 19 w 3689
μὲν 8 w 3692
ἰσάκις 1 w 3698
ἴσοι 1 w 3702
τετράγωνοί 2 w 3712
εἰσιν 2 w 3717
οἱ 20 w 3720
δὲ 21 w 3722
ἀνισάκις 1 w 3730
ἄνισοι 1 w 3736
ἑτερομήκεις 1 w 3747
καὶ 30 w 3750
προμήκεις 1 w 3759
καὶ 31 w 3763
ἁπλῶς 1 w 3768
οἱ 21 w 3770
διχῶς 1 w 3775
πολλαπλασιαζόμενοι 1 w 3793
ἐπίπεδοι 1 w 3801
οἱ 22 w 3804
δὲ 22 w 3806
τριχῶς 1 w 3812
στερεοί 1 w 3819
λέγονται 1 w 3828
δὲ 23 w 3830
ἐπίπεδοι 2 w 3838
ἀριθμοὶ 5 w 3845
καὶ 32 w 3848
τρίγωνοι 5 w 3856
καὶ 33 w 3859
τετράγωνοι 7 w 3869
καὶ 34 w 3872
στερεοὶ 1 w 3879
καὶ 35 w 3882
τἆλλα 1 w 3887
οὐ 1 w 3889
κυ- 1 w 3892
ρίως 1 w 3896
ἀλλὰ 2 w 3900
καθʼ 1 w 3904
ὁμοιότητα 1 w 3913
τῶν 16 w 3916
χωρίων 1 w 3922
1 w 3923
καταμετροῦ- 1 w 3934
σιν 5 w 3937
17 w 3939
γὰρ 5 w 3942
δ 88 w 3943
ἐπεὶ 1 w 3948
τετράγωνον 1 w 3958
χωρίον 1 w 3964
καταμετρεῖ 1 w 3974
ἀπʼ 1 w 3978
αὐτοῦ 1 w 3983
καλεῖται 1 w 3991
τετράγωνος 5 w 4001
καὶ 36 w 4005
18 w 4006
Ϛ 12 w 4007
διὰ 1 w 4010
τὰ 10 w 4012
αὐτὰ 2 w 4016
ἑτερο- 1 w 4022
μήκης 1 w 4027