ὅμοιοι δʼ εἰσὶν ἀριθμοὶ ἐν μὲν ἐπιπέδοις τετράγω-
νοι οἱ πάντες πᾶσιν, ἑτερομήκεις δὲ ὅσων αἱ πλευραί,
τουτέστιν οἱ περιέχοντες αὐτοὺς ἀριθμοί, ἀνάλογόν
 εἰσιν. οἷον ἑτερομήκη ἦν τὰ ϛ΄· πλευραὶ δὲ αὐτοῦ μῆ-
κος γ΄, πλάτος β΄· ἕτερος πάλιν ἐπίπεδος ὁ κδ΄· πλευραὶ
δὲ αὐτοῦ μῆκος μὲν ϛ΄, πλάτος δὲ δ΄. καὶ ἔστιν ὡς τι
μὴκος πρὸς τὸ μῆκος, οὕτως τὸ πλάτος πρὸς τὸ πλάτος·
ὡς γὰρ Ϛ΄ πρὸς γ΄, οὕτως δ΄ πρὸς β΄. ὅμοιοι οὖν ἀριθ-
 μοὶ ἐπίπεδοι ὅ τε Ϛ΄ καὶ ὁ κδ΄. σχηματίζονται δὲ οἱ
αὐτοὶ ἀριθμοὶ ὁτὲ μὲν εἰς πλευρὰς ὡς μήκη καὶ πρὸς
ἑτέρων σύστασιν λαμβανόμενοι, ὁτὲ δὲ εἰς ἐπιπέδους,
ὅταν ἐκ πολλαπλασιασμοῦ δύο ἀριθμῶν γεννηθῶσιν, ὁτὲ
 1 ἢ supra vs. A 3 inscr. περὶ ἰσάκις ἴσων καὶ ἀνι-
σάκις ἀνίσων A, κβ in mg. 7 στερεοὶ corr. ex στερεοὶ
A 9 τετράγωνον apogr.] ?? (i. e. τετραγώνων) A 12 inser.
περὶ ὁμοίων ἀριθμῶν A, κγ in mg., figuras add. Aa 
 14 αὐτοὺς] αὐτὰς A, cf. p. 24, 26 19 δ πρὸς β apogr
β πρὸς δ A 21 ὡς μήκη καὶ 〈πλάτη καὶ ὕψη〉 ? 23 δύο
apogr.] β δύο A. 

 
δὲ εἰς στερεούς, ὅταν ἐκ πολλαπλασιασμοῦ τριῶν λη-
φθῶσιν ἀριθμῶν. ἐν δὲ τοῖς στερεοῖς πάλιν οἱ μὲν κύ-
βοι πάντες πᾶσίν εἰσιν ὅμοιοι, τῶν δὲ ἄλλων οἱ τὰς
πλευρὰς ἔχοντες ἀνάλογον· ὡς ἡ τοῦ μήκους πρὸς τὴν
τοῦ μήκους, οὕτως ἡ τοῦ πλάτους πρὸς τὴν τοῦ πλά- 
τους καὶ 〈ἡ〉 τοῦ ὕψους πρὸς τὴν τοῦ ὕψους. τῶν δὲ ἐπιπέδων καὶ πολυγώνων ἀριθμῶν πρῶτος
ὁ τρίγωνος, ὡς καὶ τῶν ἐπιπέδων εὐθυγράμμων σχη-
μάτων πρῶτόν ἐστι τὸ τρίγωνον. πῶς δὲ γεννῶνται
προείρηται, ὅτι τῷ πρώτῳ ἀριθμῷ τοῦ ἐξῆς ἀρτίου καὶ 
περιττοῦ προστιθεμένου. πάντες δὲ οἱ ἐφεξῆς ἀριθμοί,
ἀπογεννῶντες τριγώνους ἢ τετραγώνους ἢ πολυγώνους,
γνώμονες καλοῦνται. τοσούτων δὲ μονάδων ἕκαστον
τρίγωνον ἔχει πλευρὰς πάντως, ὅσων καὶ μόνος ἐστὶν
ὁ προσλαμβανόμενος γνώμων. οἷον ἔστω πρῶτον ἡ 
μονάς, λεγομένη τρίγωνον οὐ κατʼ ἐντελέχειαν, ὡς
προειρήκαμεν, ἀλλὰ κατὰ δύναμιν· ἐπεὶ γὰρ αὕτη οἷον
σπέρμα πάντων ἐστὶν ἀριθμῶν, ἔχει ἐν αὑτῇ καὶ τρι-
γωνοειδῆ δύναμιν. προσλαμβάνουσα γοῦν τὴν δυάδα
ἀποτελεῖ τρίγωνον, ἔχον πλευρὰς τοσούτων μονάδων, 
ὅσων ἐστὶν ὁ προσληφθεὶς γνώμων τῆς δυάδος. τὸ δὲ
ὅλον τρίγωνον τοσούτων ἐστὶ μονάδων, ὅσων καὶ οἱ
συντεθέντες γνώμονες. ὅ τε γὰρ τοῦ ἑνὸς καὶ 〈ὁ〉 τῶν
δυεῖν γνώμων τὰ γ΄ ἐποιήσαν, ὥστε καὶ τὸ τρίγωνον
 7 inscr. περὶ τριγώνων ἀριθμῶν A, κδ in mg.
10 προείρηται: p. 33, 1 11 cf. Nesselmann p. 203 14 τὰς
ante πλευρὰς add. A2 πάντως corr. ex πάντων A 17 προ-
ειρήκαμεν; p. 33, 6 24 τοσούτων, φησί, μονάδων ἐστὶν ἡ
πλευρὰ τοῦ τριγώνου, ὅσων μονάδων ἐστὶν ὁ προστεθεὶς γνώ-
μων· τοσαται δέ εἰσιν αἱ τοῦ γνώμονος μονάδες, ὅσοι εἰσὶν
οἱ γνώμονες οἱ εἰς τὸ τρίγωνον συνελθόντες mg. A 

 
ἔσται μὲν τριῶν μονάδων, ἕξει δʼ ἑκάστην πλευρὰν τῶν
δυεῖν, ὅσοι καὶ οἱ γνώμονες συνετέθησαν. εἶτα τὸ γ΄
τρίγωνον προσλαμβάνει τὸν τῶν γ΄ γνώμονα, ὃς μονάδι
ὑπερέχει τῆς δυάδος, καὶ γίνεται τὸ μὲν ὅλον τρί-
 γωνον Ϛ΄· πλευρὰς δʼ ἕξει τοσούτων μονάδων καὶ τοῦτο
τὸ τρίγωνον, ὅσοι γνώμονες συντέθεινται· ἐκ γὰρ τοῦ
ἑνὸς καὶ β΄ καὶ γ΄ συνετέθη ὁ ϛ΄.
α α
αα αα
ααα
εἶτα ὁ Ϛ΄ προσλαμβάνει τὸν δ΄· γίνεται τὸ τοῦ ι΄ τρίγω-
νον, ἑκάστην πλευρὰν ἔχον δ΄ μονάδων· ὁ γὰρ προσλη-
 φθεὶς γνώμων ἦν ὁ δ΄, καὶ ἐκ δ΄ δὲ γνωμόνων ἦν τὸ
ὅλον, τοῦ τε ἑνὸς καὶ β΄ καὶ γ΄ καὶ δ΄. ἔτι ὁ ι΄ προσ-
λαμβάνει τὸν ε΄, καὶ γίνεται 〈τὸ τοῦ ιε΄〉 τρίγωνον,
πλευρὰν ἔχον ἑκάστην μονάδων ε΄, καὶ ἐκ τῶν ε΄ γνω-
μόνων συνέστη. ὁμοίως καὶ οἱ ἓξ γνώμονες . . . . . . . . . . . .
 τοὺς γνωμονικοὺς ἀριθμοὺς ἀποτελοῦσι. λέγονται δέ τινες καὶ κυκλοειδεῖς καὶ σφαιροειδεῖς
καὶ ἀποκαταστατικοὶ ἀριθμοί· οὗτοι δʼ εἰσὶν οἵτινες
ἐν τῷ πολλαπλασιάζεσθαι ἢ ἐπιπέδως ἢ στερεῶς, τουτ-
έστι κατὰ δύο διαστάσεις ἢ κατὰ τρεῖς, ἀφʼ οὗ ἂν
 ἄρξωνται ἀριθμοῦ ἐπὶ τοῦτον ἀποκαθιστάμενοι. τοιοῦ-
τον δέ ἐστι καὶ ὁ κύκλος· ἀφʼ οὗ ἂν ἄρξηται σημείου,
 2 γνώμονες: ο corr. ex ω A εἶτα corr. ex εἰς A
γ΄] τρίτον A, om. apogr. 3 ὃς corr. ex οἳ A 4 τῆς
δυάδος corr. ex τὴν δυάδα A 5 τὰς ante πλευρὰς add. A2 
 9 ἔχον corr. ex ἔχων A 10 γνώμων A2] γνώμω A1
12 τὸ τοῦ ιε΄ add. apogr. 13 γνωμόνω A1 14 ἓξ] ἑξῆς
apogr. 16 inscr. περὶ κυκλοειδῶν καὶ σφαιροειδῶν
καὶ ἀποκαταστατικῶν ἀριθμῶν A, κδ in mg. 17 οἵ-
τινες — ἀποκαθιστάμενοι] scr. οἱ — ἀποκαθισταμενοι aut οἵ-
τινες — ἀποκαθίστανται 21 κύκλος 〈ὅς〉? 

 
ἐπὶ τοῦτο ἀποκαθίσταται· ὑπὸ γὰρ μιᾶς γραμμῆς περι-
εχόμενος ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ ἄρχεται καὶ εἰς ταὐτὸ καταλή-
γει. τοιαύτη δὲ καὶ ἐν στερεῷ ἡ σφαῖρα· κύκλου γὰρ
κατὰ πλευρὰν περιαγομένου ἡ ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ ἐπὶ τὸ
αὐτὸ ἀποκατάστασις σφαῖραν γράφει. καὶ ἀριθμοὶ δὴ 
οἱ ἐν τῷ πολλαπλασιασμῷ ἐφʼ ἑαυτοὺς καταλήγοντες
κυκλικοί τε καλοῦνται καὶ σφαιροειδεῖς· ὧν εἰσιν ὅ τε
ε΄ καὶ ὁ Ϛ΄· πεντάκις γὰρ ε΄ κε΄, πεντάκις κε΄ ρκε΄, ἑξά-
κις Ϛ΄ λϚ΄, καὶ ἑξάκις λϛ΄ σιϚ΄. τῶν δὲ τετραγώνων ἡ μὲν γένεσις, ὡς εἶπον, ἐκ 
τῶν περισσῶν ἀλλήλοις ἐπισυντιθεμένων, τουτέστι τῶν
ἀπὸ μονάδος δυάδι ἀλλήλων ὑπερεχόντων· ἓν γὰρ καὶ
γ΄ δ΄, καὶ δ΄ καὶ ε΄ θ΄, καὶ θ΄ καὶ ζ΄ ιϛ΄, καὶ ιϛ΄ καὶ θ΄ κε΄. πεντάγωνοι δέ εἰσιν ἀριθμοὶ οἱ ἐκ τῶν ἀπὸ μονά-
δος κατὰ τὸ ἑξῆς τριάδι 〈ἀλλήλων〉 ὑπερεχόντων συν- 
τιθέμενοι. ὧν εἰσιν οἱ μὲν γνώμονες α΄ δ΄ ζ΄ ι΄ ιγ΄ ιϚ΄ ιθ΄·
αὐτοὶ δὲ οἱ πεντάγωνοι α΄ ε΄ ιβ΄ κβ΄ λε΄ να΄ καὶ ἑξῆς
ὁμοίως. σχηματίζονται δὲ πενταγωνικῶς οὕτως·
 10 inscr. περὶ τετραγώνων ἀριθμῶν A. εἶπον: p.
28, 3. 32, 9. 34, 1 14 inscr. περὶ πενταγώνων ἀριθμῶν
A, κε in mg. 

 
ἑξάγωνοι δέ εἰσιν ἀριθμοὶ οἱ ἐκ τῶν κατὰ τὸ ἑξῆς
ἀπὸ μονάδος τετράδι ἀλλήλων ὑπερεχόντων συντιθέμε-
νοι· ὧν οἱ γνώμονές εἰσιν α΄ ε΄ θ΄ ιγ΄ ιζ΄ κα΄ κε΄· οἱ δὲ
ἐκ τούτων ἑξάγωνοι οἵδε· α΄ ς΄ ιε΄ κη΄με΄ ξς΄ ??α΄. σχη-
 ματίζονται δὲ οὕτως·
α΄ ϛ΄ ιϚ΄ κη΄ με΄ ξϚ΄