Scaife ATLAS

CTS Library / De utilitate mathematicae

De utilitate mathematicae (41-45)

urn:cts:greekLit:tlg1724.tlg001.1st1K-grc1:41-45
Refs {'start': {'reference': '41', 'human_reference': 'Paragraph 41'}, 'end': {'reference': '45', 'human_reference': 'Paragraph 45'}}
Ancestors []
Children []
prev
plain textXML
next

ἑπτάγωνοι δέ εἰσιν οἱ ἀπὸ μονάδος πεντάδι ἀλλή- λων ὑπερεχόντων συνιστάμενοι· ὧν γνώμονες μὲν α Ϛ ια ις κα κς· οἱ δὲ ἐκ τούτων συντιθέμενοι α ζ ιη λδ νε πα. ὁμοίως δὲ καὶ ὀκτάγωνοι οἱ ἀπὸ
μονάδος ἑξάδι ἀλλήλων ὑπερεχόντων συντιθέμενοι, ἐν- νεάγωνοι δὲ οἱ ἀπὸ μονάδος ἑβδομάδι ἀλλήλων ὑπερ- εχόντων συνιστάμενοι, δεκάγωνοι δὲ οἱ ἀπὸ μονάδος ὀγδοάδι ἀλλήλων ὑπερεχόντων συντιθέμενοι. ἐπὶ πάν- των δὲ τῶν πολυγώνων καθόλου ὁσάγωνος ἂν λέγηται
ἀριθμός, δυεῖν δεούσαιν μονάδων τοῦ πλήθους τῶν [*]

41
γωνιῶν ὑπεροχὴ τῶν ἀριθμῶν λαμβάνεται, ἐξ ὧν οἱ πολύγωνοι συντίθεγται.

ἐκ δύο τριγώνων ἀποτελεῖται τετράγωνον· α καὶ γ δ, γ καὶ ϛ θ, ϛ καὶ ι ιϛ, ι καὶ ιε κε, ιεκαὶ κα λϚ, κα καὶ κη μθ, κη καὶ λϚ ξδ, λϛ καὶ με πα, καὶ οἱ ἐξῆς
ὁμοίως συνδυαζόμενοι τρίγωνοι τετραγώνους ἀποτελοῦ- σιν, ὡς καὶ ἐπὶ τῶν γραμμικῶν τριγώνων σύνθεσις τε- τράγωνον σχῆμα ποιεῖ.

ἔτι τῶν στερεῶν ἀριθμῶν οἱ μὲν ἴσας πλευρὰς ἔχουσιν, [ὡς ἀριθμοὺς τρεῖς ἴσους ἐπὶ ἴσους πολλαπλα- σιάζεσθαι,] οἱ δὲ ἀνίσους. τούτων δʼ οἱ μὲν πάσας ἀν-
ίσους ἔχουσιν, οἱ δὲ τὰς δύο ἴσας καὶ τὴν μίαν ἥττονα. πάλιν τε τῶν τὰς δύο ἴσας ἐχόντων οἱ μὲν μείζονα τὴν τρίτην ἔχουσιν, οἱ δὲ ἐλάττονα. οἱ μὲν οὖν ἴσας ἔχον- τες πλευράς, ἰσάκις ἴσοι ἰσάκις ὄντες, κύβοι καλοῦνται· οἱ δὲ πάσας ἀνίσους τὰς πλευράς, ἀνισάκις ἄνισοι ἀν-
ισάκις, βωμίσκοι καλοῦνται· οἱ δὲ δύο μὲν ἴσας, τὴν δὲ τρίτην ἑκατέρας τῶν δυεῖν ἐλάσσονα, ἰσάκις ἴσοι ἐλαττονάκις, πλινθίδες ἐκλήθησαν· οἱ δὲ δύο μὲν ἴσας, [*]

42
τὴν δὲ τρίτην ἑκατέρας τῶν δυεῖν μείζονα, ἰσάκις ἴσοι μειζονάκις, δοκίδες καλοῦνται.

εἰσὶ δὲ καὶ πυραμοειδεῖς ἀριθμοὶ πυραμίδας κατα- μετροῦντες καὶ κολουροπυραμίδας. κόλουρος δὲ πυρα-
μίς ἐστιν τὴν κορυφὴν ἀποτετμημένη. τινὲς δὲ [κόλουρον] τὸ τοιοῦτον τραπέζιον προσηγόρευσαν ἀπὸ τῶν ἐπιπέδων τραπεζίων· τραπέζιον γὰρ λέγεται, ὅταν τριγώνου κορυφὴ ὑπὸ παραλλήλου τῇ βάσει εὐθείας ἀποτμηθῇ.


ὥσπερ δὲ τριγωνικοὺς καὶ τετραγωνικοὺς καὶ πεν- [*]

43
ταγωνικοὺς καὶ κατὰ τὰ λοιπὰ σχήματα λόγους ἔχουσι δυνάμει οἱ ἀριθμοί, οὕτως καὶ πλευρικοὺς καὶ διαμε- τρικοὺς λόγους εὕροιμεν ἂν κατὰ τοὺς σπερματικοὺς λόγους ἐμφανιζομένους τοῖς ἀριθμοῖς. ἐκ γὰρ τούτων ῥυθμίζεται τὰ σχήματα. ὥσπερ οὖν πάντων τῶν σχημά-
των κατὰ τὸν ἀνωτάτω καὶ σπερματικὸν λόγον μονὰς ἄρχει, οὕτως καὶ τῆς διαμέτρου καὶ τῆς πλευρᾶς λόγος ἐν τῇ μονάδι εὑρίσκεται. οἷον ἐκτίθενται δύο μονάδες, ὧν τὴν μὲν θῶμεν εἶναι διάμετρον, τὴν δὲ πλευράν, ἐπειδὴ τὴν μονάδα, πάντων οὖσαν ἀρχήν, δεῖ δυνάμει
καὶ πλευρὰν εἶναι καὶ διάμετρον. καὶ προστίθεται τῇ μὲν πλευρᾷ διάμετρος, τῇ δὲ διαμέτρῳ δύο πλευραί, ἐπειδὴ ὅσον πλευρὰ δὶς δύναται, διάμετρος ἅπαξ. ἐγένετο οὖν μείζων μὲν διάμετρος, ἐλάττων δὲ πλευρά. καὶ ἐπὶ μὲν τῆς πρώτης πλευρᾶς τε καὶ δια-
μέτρου εἴη ἂν τὸ ἀπὸ τῆς μονάδος διαμέτρου τετράγω- νον μονάδι μιᾷ ἔλαττον διπλάσιον τοῦ ἀπὸ τῆς μονά- δος πλευρὰς τετραγώνου· ἐν ἰσότητι γὰρ αἱ μονάδες· τὸ δʼ ἓν τοῦ ἑνὸς μονάδι ἔλαττον διπλάσιον. προσ- θῶμεν δὴ τῇ μὲν πλευρᾷ διάμετρον, τουτέστι τῇ μονάδι
μονάδα· ἔσται πλευρὰ ἄρα δύο μονάδων· τῇ δὲ δια- μέτρῳ προσθῶμεν δύο πλευράς, τουτέστι τῇ μονάδι δύο μονάδας· ἔσται διάμετρος μονάδων τριῶν· καὶ τὸ [*]
44
μὲν ἀπὸ τῆς δυάδος πλευρᾶς τετράγωνον δ, τὸ δʼ ἀπο τῆς τρίαδος διαμέτρου τετράγωνον θ· τὸ θ ἄρα μονάδι μεῖζον διπλάσιον τοῦ ἀπὸ τῆς β πλευρᾶς. πάλιν προσθῶμεν τῇ μὲν β πλευρᾷ διάμετρον τὴν τρίαδα·
ἔσται πλευρὰ ε· τῇ δὲ τρίαδι διαμέτρῳ β πλευράς, τουτέστι δὶς τὰ β· ἔσται ζ· ἔσται τὸ μὲν ἀπὸ τῆς ε πλευρᾶς τετράγωνον κε, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ζ διαμέτρου μθ· μονάδι ἔλασσον διπλάσιον τοῦ κε ἄρα τὸ μθ. πάλιν ἂν τῇ ε πλευρᾷ προσθῇς τὴν ζ διάμετρον,
ἔσται ιβ· κἂν τῇ ζ διαμέτρῳ προσθῇς δὶς τὴν ε πλευ- ράν, ἔσται ιζ· καὶ τοῦ ἀπὸ τῆς ιβ τετραγώνου τὸ ἀπὸ τῆς ιζ μονάδι πλέον διπλάσιον. καὶ κατὰ τὸ ἑξῆς τῆς προσθήκης ὁμοίως γιγνομένης, ἔσται τὸ ἀνάλογον ἐναλλάξ· ποτὲ μὲν μονάδι ἔλαττον, ποτὲ δὲ μονάδι πλέον
διπλάσιον τὸ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τετράγωνον τοῦ ἀπὸ τῆς πλευρᾶς· καὶ ῥηταὶ αἱ τοιαῦται καὶ πλευραὶ καὶ τδιάμεροι.

Tokens

ἑπτάγωνοι 1 w 9
δέ 1 w 11
εἰσιν 1 w 16
οἱ 1 w 18
ἀπὸ 1 w 21
μονάδος 1 w 28
πεντάδι 1 w 35
ἀλλή- 1 w 40
λων 1 w 43
ὑπερεχόντων 1 w 54
συνιστάμενοι 1 w 66
ὧν 1 w 69
γνώμονες 1 w 77
μὲν 1 w 80
α 1 w 81
Ϛ 1 w 82
ια 1 w 84
ις 1 w 86
κα 1 w 88
κς 1 w 90
οἱ 2 w 93
δὲ 1 w 95
ἐκ 1 w 97
τούτων 1 w 103
συντιθέμενοι 1 w 115
α 4 w 116
ζ 1 w 117
ιη 1 w 119
λδ 1 w 121
νε 2 w 123
πα 1 w 125
ὁμοίως 1 w 132
δὲ 2 w 134
καὶ 1 w 137
ὀκτάγωνοι 1 w 146
οἱ 3 w 149
ἀπὸ 2 w 153
μονάδος 2 w 160
ἑξάδι 1 w 165
ἀλλήλων 1 w 172
ὑπερεχόντων 2 w 183
συντιθέμενοι 2 w 195
ἐν- 1 w 199
νεάγωνοι 1 w 207
δὲ 3 w 209
οἱ 4 w 211
ἀπὸ 3 w 214
μονάδος 3 w 221
ἑβδομάδι 1 w 229
ἀλλήλων 2 w 236
ὑπερ- 1 w 241
εχόντων 3 w 248
συνιστάμενοι 2 w 260
δεκάγωνοι 1 w 270
δὲ 4 w 272
οἱ 5 w 274
ἀπὸ 4 w 277
μονάδος 4 w 284
ὀγδοάδι 1 w 291
ἀλλήλων 3 w 298
ὑπερεχόντων 3 w 309
συντιθέμενοι 3 w 321
ἐπὶ 1 w 325
πάν- 1 w 329
των 6 w 332
δὲ 5 w 334
τῶν 1 w 337
πολυγώνων 1 w 346
καθόλου 1 w 353
ὁσάγωνος 1 w 361
ἂν 1 w 363
λέγηται 1 w 370
ἀριθμός 1 w 377
δυεῖν 1 w 383
δεούσαιν 1 w 391
μονάδων 1 w 398
τοῦ 1 w 401
πλήθους 1 w 408
τῶν 2 w 411
1 1 w 412
inscr 1 w 417
περὶ 1 w 422
ἑξαγώνων 1 w 430
ἀριθμῶν 1 w 437
A 1 w 438
6 1 w 439
inscr 2 w 444
ὁμοία 1 w 450
δὲ 6 w 452
1 w 453
σύνθεσις 1 w 461
καὶ 2 w 464
ἐπὶ 2 w 467
τῶν 3 w 470
λοιπῶν 1 w 476
πολυγώνων 2 w 485
A 2 w 486
ἐκ 2 w 488
τῶν 4 w 491
hic 1 w 494
et 1 w 496
in 3 w 498
is 1 w 500
quae 1 w 504
sequuntur 1 w 513
neglegenter 1 w 524
omissum 1 w 531
11 1 w 533
μονάδος 5 w 540
A2 1 w 542
νάδος 6 w 548
A1 1 w 550
13 1 w 552
καὶ 3 w 555
ante 1 w 559
ἐπὶ 3 w 562
add 1 w 565
A2 2 w 568
15 1 w 570
δυεῖν 2 w 575
δεούσαιν 2 w 583
μονάδων 2 w 590
corr 1 w 594
ex 1 w 597
δύο 1 w 600
δὲ 7 w 602
οὔσαις 1 w 608
μόνας 1 w 613
ut 1 w 615
vid 1 w 618
A 6 w 620
γωνιῶν 1 w 626
2 w 627
ὑπεροχὴ 1 w 634
τῶν 5 w 637
ἀριθμῶν 2 w 644
λαμβάνεται 1 w 654
ἐξ 1 w 657
ὧν 2 w 659
οἱ 6 w 661
πολύγωνοι 1 w 670
συντίθεγται 1 w 681
ἐκ 3 w 684
δύο 2 w 687
τριγώνων 1 w 695
ἀποτελεῖται 1 w 706
τετράγωνον 1 w 716
α 21 w 718
καὶ 4 w 721
γ 17 w 722
δ 31 w 723
γ 18 w 725
καὶ 5 w 728
ϛ 1 w 729
θ 11 w 730
ϛ 2 w 732
καὶ 6 w 735
ι 38 w 736
ιϛ 1 w 738
ι 40 w 740
καὶ 7 w 743
ιε 1 w 745
κε 1 w 747
ιε 2 w 750
καὶ 8 w 753
κα 11 w 755
λϚ 1 w 757
κα 12 w 760
καὶ 9 w 763
κη 1 w 765
μθ 1 w 767
κη 2 w 770
καὶ 10 w 773
λϚ 2 w 775
ξδ 1 w 777
λϛ 1 w 780
καὶ 11 w 783
με 6 w 785
πα 2 w 787
καὶ 12 w 791
οἱ 7 w 793
ἐξῆς 1 w 797
ὁμοίως 2 w 803
συνδυαζόμενοι 1 w 816
τρίγωνοι 1 w 824
τετραγώνους 1 w 835
ἀποτελοῦ- 1 w 844
σιν 2 w 847
ὡς 1 w 850
καὶ 13 w 853
ἐπὶ 4 w 856
τῶν 6 w 859
γραμμικῶν 1 w 868
τριγώνων 2 w 876
σύνθεσις 2 w 884
τε- 1 w 887
τράγωνον 2 w 895
σχῆμα 1 w 900
ποιεῖ 1 w 905
ἔτι 1 w 909
τῶν 7 w 912
στερεῶν 1 w 919
ἀριθμῶν 3 w 926
οἱ 8 w 928
μὲν 2 w 931
ἴσας 1 w 935
πλευρὰς 1 w 942
ἔχουσιν 1 w 949
ὡς 2 w 953
ἀριθμοὺς 1 w 961
τρεῖς 1 w 966
ἴσους 1 w 971
ἐπὶ 5 w 974
ἴσους 2 w 979
πολλαπλα- 1 w 988
σιάζεσθαι 1 w 997
οἱ 9 w 1001
δὲ 8 w 1003
ἀνίσους 1 w 1010
τούτων 2 w 1017
δʼ 1 w 1019
οἱ 10 w 1021
μὲν 3 w 1024
πάσας 1 w 1029
ἀν- 1 w 1032
ίσους 2 w 1037
ἔχουσιν 2 w 1044
οἱ 11 w 1047
δὲ 9 w 1049
τὰς 1 w 1052
δύο 3 w 1055
ἴσας 2 w 1059
καὶ 14 w 1062
τὴν 1 w 1065
μίαν 1 w 1069
ἥττονα 1 w 1075
πάλιν 1 w 1081
τε 7 w 1083
τῶν 8 w 1086
τὰς 2 w 1089
δύο 4 w 1092
ἴσας 3 w 1096
ἐχόντων 1 w 1103
οἱ 12 w 1105
μὲν 4 w 1108
μείζονα 1 w 1115
τὴν 2 w 1118
τρίτην 1 w 1124
ἔχουσιν 3 w 1131
οἱ 13 w 1134
δὲ 10 w 1136
ἐλάττονα 1 w 1144
οἱ 14 w 1147
μὲν 5 w 1150
οὖν 1 w 1153
ἴσας 4 w 1157
ἔχον- 1 w 1162
τες 1 w 1165
πλευράς 1 w 1172
ἰσάκις 1 w 1179
ἴσοι 1 w 1183
ἰσάκις 2 w 1189
ὄντες 1 w 1194
κύβοι 1 w 1200
καλοῦνται 1 w 1209
οἱ 15 w 1212
δὲ 11 w 1214
πάσας 2 w 1219
ἀνίσους 2 w 1226
τὰς 3 w 1229
πλευράς 2 w 1236
ἀνισάκις 1 w 1245
ἄνισοι 1 w 1251
ἀν- 2 w 1254
ισάκις 2 w 1260
βωμίσκοι 1 w 1269
καλοῦνται 2 w 1278
οἱ 16 w 1281
δὲ 12 w 1283
δύο 5 w 1286
μὲν 6 w 1289
ἴσας 5 w 1293
τὴν 3 w 1297
δὲ 13 w 1299
τρίτην 2 w 1305
ἑκατέρας 1 w 1313
τῶν 9 w 1316
δυεῖν 3 w 1321
ἐλάσσονα 1 w 1329
ἰσάκις 3 w 1336
ἴσοι 2 w 1340
ἐλαττονάκις 1 w 1351
πλινθίδες 1 w 1361
ἐκλήθησαν 1 w 1370
οἱ 17 w 1373
δὲ 14 w 1375
δύο 6 w 1378
μὲν 7 w 1381
ἴσας 6 w 1385
1 7 w 1387
γωνιῶν 2 w 1393
Bull 1 w 1397
ἀριθμῶν 4 w 1406
in 4 w 1408
ras 1 w 1411
A 7 w 1413
ἀριθμῶν 5 w 1420
γωνιῶν 3 w 1427
in 5 w 1429
ras 2 w 1432
vocis 1 w 1438
ἀριθμῶν 6 w 1445
A 8 w 1446
2 3 w 1447
πολύγωνοι 2 w 1456
ι 82 w 1458
post 1 w 1462
ν 144 w 1463
er 2 w 1465
A 9 w 1467
3 2 w 1468
inscr 3 w 1473
ὅτι 1 w 1477
ἐκ 5 w 1479
δύο 7 w 1482
τριγώνων 3 w 1490
τὸ 1 w 1492
τετράγωνον 2 w 1502
A 10 w 1503
κϚ 1 w 1506
in 7 w 1508
mg 1 w 1510
ἐκ 6 w 1513
inter 1 w 1519
E 1 w 1520
et 2 w 1522
κ 44 w 1523
complures 1 w 1532
literae 1 w 1539
erasae 1 w 1545
in 9 w 1547
A 11 w 1548
δὲ 15 w 1550
post 2 w 1554
δύο 8 w 1557
add 2 w 1560
A2 3 w 1563
7 1 w 1564
ἐπὶ 6 w 1567
3 w 1569
8 1 w 1571
inscr 4 w 1576
περὶ 2 w 1581
στερεῶν 2 w 1588
ἀριθμῶν 7 w 1595
A 13 w 1596
κζ 1 w 1599
in 11 w 1601
mg 2 w 1603
11 2 w 1606
aut 1 w 1609
delenda 1 w 1616
sunt 1 w 1620
verba 1 w 1625
καὶ 15 w 1628
τὴν 4 w 1631
μίαν 2 w 1635
ἥττονα 2 w 1641
sic 1 w 1645
Bullialdus 1 w 1655
aut 2 w 1659
scribendum 1 w 1669
καὶ 16 w 1672
τὴν 5 w 1675
μίαν 3 w 1679
ἄνι- 1 w 1683
σον 2 w 1686
16 1 w 1688
τὰς 4 w 1691
post 3 w 1695
δὲ 16 w 1697
add 3 w 1700
A2 4 w 1703
ἴσας 7 w 1707
corr 2 w 1711
ex 2 w 1714
ἴσοι 3 w 1718
A 15 w 1719
18 1 w 1721
πλινθίδες 2 w 1730
corr 3 w 1734
ex 3 w 1737
πληνθίδες 1 w 1746
A 16 w 1747
τὰς 5 w 1750
post 4 w 1754
δὲ 17 w 1756
add 4 w 1759
A2 5 w 1762
τὴν 6 w 1765
δὲ 18 w 1767
τρίτην 3 w 1773
ἑκατέρας 2 w 1781
τῶν 10 w 1784
δυεῖν 4 w 1789
μείζονα 2 w 1796
ἰσάκις 4 w 1803
ἴσοι 4 w 1807
μειζονάκις 1 w 1817
δοκίδες 1 w 1825
καλοῦνται 3 w 1834
εἰσὶ 1 w 1839
δὲ 19 w 1841
καὶ 17 w 1844
πυραμοειδεῖς 1 w 1856
ἀριθμοὶ 1 w 1863
πυραμίδας 1 w 1872
κατα- 1 w 1877
μετροῦντες 1 w 1887
καὶ 18 w 1890
κολουροπυραμίδας 1 w 1906
κόλουρος 1 w 1915
δὲ 20 w 1917
πυρα- 1 w 1922
μίς 1 w 1925
ἐστιν 1 w 1930
4 w 1931
τὴν 7 w 1934
κορυφὴν 1 w 1941
ἀποτετμημένη 1 w 1953
τινὲς 1 w 1959
δὲ 21 w 1961
κόλουρον 1 w 1970
τὸ 2 w 1973
τοιοῦτον 1 w 1981
τραπέζιον 1 w 1990
προσηγόρευσαν 1 w 2003
ἀπὸ 5 w 2006
τῶν 11 w 2009
ἐπιπέδων 1 w 2017
τραπεζίων 1 w 2026
τραπέζιον 2 w 2036
γὰρ 1 w 2039
λέγεται 1 w 2046
ὅταν 1 w 2051
τριγώνου 1 w 2059
5 w 2060
κορυφὴ 2 w 2066
ὑπὸ 1 w 2069
παραλλήλου 1 w 2079
τῇ 1 w 2081
βάσει 1 w 2086
εὐθείας 1 w 2093
ἀποτμηθῇ 1 w 2101
ὥσπερ 1 w 2107
δὲ 22 w 2109
τριγωνικοὺς 1 w 2120
καὶ 19 w 2123
τετραγωνικοὺς 1 w 2136
καὶ 20 w 2139
πεν- 1 w 2143
2 7 w 2144
ad 5 w 2146
figuras 1 w 2153
quae 2 w 2158
satis 1 w 2163
neglegenter 2 w 2174
descriptae 1 w 2184
sunt 2 w 2188
perti- 1 w 2195
net 1 w 2198
haec 1 w 2202
adnotatio 1 w 2211
marginis 1 w 2219
A 18 w 2220
τὸ 3 w 2223
ἐπάνω 1 w 2228
σημεῖόν 1 w 2235
ἐστιν 2 w 2240
ἶσον 1 w 2244
τὸ 4 w 2247
ὑποκάτω 1 w 2254
μεῖζον 1 w 2260
3 3 w 2261
inscr 5 w 2266
περὶ 3 w 2271
πυραμοειδῶν 1 w 2282
ἀριθμῶν 8 w 2289
A 19 w 2290
κη 3 w 2293
in 14 w 2295
mg 3 w 2297
πυραμίδα 3 w 2306
A 20 w 2307
4 1 w 2308
κολουροπυραμίδας 2 w 2324
ας 17 w 2327
corr 4 w 2331
ex 4 w 2334
ες 9 w 2336
A 21 w 2337
10 1 w 2339
inscr 6 w 2344
περὶ 4 w 2349
πλευρικῶν 1 w 2358
καὶ 21 w 2361
διαμετρικῶν 1 w 2372
ἀριθμῶν 9 w 2379
A 22 w 2380
κθ 1 w 2383
in 16 w 2385
mg 4 w 2387
cf 1 w 2390
Nesselmann 1 w 2401
p 8 w 2402
228 1 w 2406
sqq 1 w 2409
ταγωνικοὺς 1 w 2420
καὶ 22 w 2423
κατὰ 1 w 2427
τὰ 7 w 2429
λοιπὰ 1 w 2434
σχήματα 1 w 2441
λόγους 1 w 2447
ἔχουσι 4 w 2453
δυνάμει 1 w 2460
οἱ 18 w 2462
ἀριθμοί 1 w 2469
οὕτως 1 w 2475
καὶ 23 w 2478
πλευρικοὺς 1 w 2488
καὶ 24 w 2491
διαμε- 1 w 2497
τρικοὺς 1 w 2504
λόγους 2 w 2510
εὕροιμεν 1 w 2518
ἂν 2 w 2520
κατὰ 2 w 2524
τοὺς 1 w 2528
σπερματικοὺς 1 w 2540
λόγους 3 w 2546
ἐμφανιζομένους 1 w 2560
τοῖς 1 w 2564
ἀριθμοῖς 1 w 2572
ἐκ 7 w 2575
γὰρ 2 w 2578
τούτων 3 w 2584
ῥυθμίζεται 1 w 2594
τὰ 9 w 2596
σχήματα 2 w 2603
ὥσπερ 2 w 2609
οὖν 2 w 2612
πάντων 1 w 2618
τῶν 12 w 2621
σχημά- 1 w 2627
των 11 w 2630
κατὰ 3 w 2634
τὸν 1 w 2637
ἀνωτάτω 1 w 2644
καὶ 25 w 2647
σπερματικὸν 1 w 2658
λόγον 1 w 2663
6 w 2664
μονὰς 1 w 2669
ἄρχει 1 w 2674
οὕτως 2 w 2680
καὶ 26 w 2683
τῆς 1 w 2686
διαμέτρου 1 w 2695
καὶ 27 w 2698
τῆς 2 w 2701
πλευρᾶς 1 w 2708
λόγος 1 w 2713
ἐν 2 w 2715
τῇ 2 w 2717
μονάδι 1 w 2723
εὑρίσκεται 1 w 2733
οἷον 1 w 2738
ἐκτίθενται 1 w 2748
δύο 9 w 2751
μονάδες 1 w 2758
ὧν 3 w 2761
τὴν 8 w 2764
μὲν 8 w 2767
θῶμεν 1 w 2772
εἶναι 1 w 2777
διάμετρον 1 w 2786
τὴν 9 w 2790
δὲ 23 w 2792
πλευράν 1 w 2799
ἐπειδὴ 1 w 2806
τὴν 10 w 2809
μονάδα 1 w 2815
πάντων 2 w 2822
οὖσαν 1 w 2827
ἀρχήν 1 w 2832
δεῖ 2 w 2836
δυνάμει 2 w 2843
καὶ 28 w 2846
πλευρὰν 1 w 2853
εἶναι 2 w 2858
καὶ 29 w 2861
διάμετρον 2 w 2870
καὶ 30 w 2874
προστίθεται 1 w 2885
τῇ 3 w 2887
μὲν 9 w 2890
πλευρᾷ 1 w 2896
διάμετρος 1 w 2905
τῇ 4 w 2908
δὲ 24 w 2910
διαμέτρῳ 1 w 2918
δύο 10 w 2921
πλευραί 1 w 2928
ἐπειδὴ 2 w 2935
ὅσον 1 w 2939
7 w 2940
πλευρὰ 3 w 2946
δὶς 1 w 2949
δύναται 1 w 2956
8 w 2958
διάμετρος 2 w 2967
ἅπαξ 1 w 2971
ἐγένετο 1 w 2979
οὖν 3 w 2982
μείζων 1 w 2988
μὲν 10 w 2991
9 w 2992
διάμετρος 3 w 3001
ἐλάττων 1 w 3009
δὲ 25 w 3011
10 w 3012
πλευρά 4 w 3018
καὶ 31 w 3022
ἐπὶ 7 w 3025
μὲν 11 w 3028
τῆς 3 w 3031
πρώτης 1 w 3037
πλευρᾶς 2 w 3044
τε 15 w 3046
καὶ 32 w 3049
δια- 1 w 3053
μέτρου 2 w 3059
εἴη 1 w 3062
ἂν 3 w 3064
τὸ 6 w 3066
ἀπὸ 6 w 3069
τῆς 4 w 3072
μονάδος 6 w 3079
διαμέτρου 2 w 3088
τετράγω- 1 w 3096
νον 4 w 3099
μονάδι 2 w 3105
μιᾷ 1 w 3108
ἔλαττον 1 w 3115
1 w 3116
διπλάσιον 1 w 3125
τοῦ 2 w 3128
ἀπὸ 7 w 3131
τῆς 5 w 3134
μονά- 1 w 3139
δος 8 w 3142
πλευρὰς 2 w 3149
τετραγώνου 2 w 3159
ἐν 3 w 3162
ἰσότητι 1 w 3169
γὰρ 3 w 3172
αἱ 1 w 3174
μονάδες 2 w 3181
τὸ 7 w 3184
δʼ 2 w 3186
ἓν 1 w 3188
τοῦ 3 w 3191
ἑνὸς 1 w 3195
μονάδι 3 w 3201
ἔλαττον 2 w 3208
2 w 3209
διπλάσιον 2 w 3218
προσ- 1 w 3224
θῶμεν 2 w 3229
δὴ 3 w 3231
τῇ 5 w 3233
μὲν 12 w 3236
πλευρᾷ 2 w 3242
διάμετρον 3 w 3251
τουτέστι 1 w 3260
τῇ 6 w 3262
μονάδι 4 w 3268
μονάδα 2 w 3274
ἔσται 1 w 3280
11 w 3281
πλευρὰ 5 w 3287
ἄρα 1 w 3290
δύο 11 w 3293
μονάδων 3 w 3300
τῇ 7 w 3303
δὲ 26 w 3305
δια- 2 w 3309
μέτρῳ 2 w 3314
προσθῶμεν 1 w 3323
δύο 12 w 3326
πλευράς 3 w 3333
τουτέστι 2 w 3342
τῇ 8 w 3344
μονάδι 5 w 3350
δύο 13 w 3353
μονάδας 1 w 3360
ἔσται 2 w 3366
12 w 3367
διάμετρος 4 w 3376
μονάδων 4 w 3383
τριῶν 1 w 3388
καὶ 33 w 3392
τὸ 8 w 3394
4 2 w 3395
ἐν 4 w 3398
τοῖς 2 w 3403
ἀριθμοῖς 2 w 3411
12 1 w 3414
δὲ 27 w 3416
μέτρω 1 w 3421
A 23 w 3422
15 2 w 3424
γρ 2 w 3426
μονα- 1 w 3431
δικῆς 1 w 3436
supra 1 w 3441
πρώτης 2 w 3447
add 5 w 3450
A2 6 w 3453
16 2 w 3455
μονάδος 7 w 3462
διαμέτρου 3 w 3471
μονό- 1 w 3477
ποδος 1 w 3482
ex 5 w 3485
corr 5 w 3489
δύ 15 w 3493
A 25 w 3494
17 1 w 3496
ἔλαττον 3 w 3503
3 w 3504
corr 6 w 3508
ex 6 w 3511
ἐλάττονι 1 w 3519
A 26 w 3520
μονάδος 8 w 3527
apogr 1 w 3532
μονόποδος 1 w 3542
A 27 w 3543
20 1 w 3545
διάμετρον 4 w 3554
δν 1 w 3557
A 28 w 3558
21 1 w 3560
μονάδων 5 w 3567
apogr 2 w 3572
μ 127 w 3575
A 29 w 3576
μονάδες 3 w 3584
Bull 3 w 3588
23 1 w 3591
μονάδας 2 w 3598
μος 1 w 3602
A 30 w 3603
em 1 w 3606
apogr 3 w 3612
ἔσται 3 w 3618
nota 2 w 3623
vocabuli 1 w 3631
ἄρα 2 w 3634
in 17 w 3636
ras 5 w 3639
notae 1 w 3645
voc 3 w 3648
ἔσται 4 w 3654
A 31 w 3655
μονάδων 6 w 3662
corr 7 w 3666
ex 7 w 3669
μονάδι 6 w 3675
A 32 w 3676
μὲν 13 w 3679
ἀπὸ 8 w 3682
τῆς 6 w 3685
δυάδος 1 w 3691
πλευρᾶς 3 w 3698
τετράγωνον 3 w 3708
δ 135 w 3709
τὸ 9 w 3712
δʼ 3 w 3714
ἀπο 5 w 3717
τῆς 7 w 3720
τρίαδος 1 w 3727
διαμέτρου 4 w 3736
τετράγωνον 4 w 3746
θ 40 w 3747
τὸ 10 w 3750
θ 41 w 3751
ἄρα 3 w 3754
μονάδι 7 w 3760
μεῖζον 2 w 3766
4 w 3767
διπλάσιον 3 w 3776
τοῦ 4 w 3779
ἀπὸ 9 w 3782
τῆς 8 w 3785
β 6 w 3786
πλευρᾶς 4 w 3793
πάλιν 2 w 3799
προσθῶμεν 2 w 3808
τῇ 9 w 3810
μὲν 14 w 3813
β 7 w 3814
πλευρᾷ 3 w 3820
διάμετρον 5 w 3829
τὴν 11 w 3832
τρίαδα 1 w 3838
ἔσται 5 w 3844
13 w 3845
πλευρὰ 6 w 3851
ε 149 w 3852
τῇ 10 w 3855
δὲ 28 w 3857
τρίαδι 1 w 3863
διαμέτρῳ 2 w 3871
β 8 w 3872
πλευράς 4 w 3879
τουτέστι 3 w 3888
δὶς 2 w 3891
τὰ 11 w 3893
β 9 w 3894
ἔσται 6 w 3900
ζ 16 w 3901
ἔσται 7 w 3907
τὸ 11 w 3909
μὲν 15 w 3912
ἀπὸ 10 w 3915
τῆς 9 w 3918
ε 151 w 3920
πλευρᾶς 5 w 3928
τετράγωνον 5 w 3938
κε 3 w 3940
τὸ 12 w 3943
δὲ 29 w 3945
ἀπὸ 11 w 3948
τῆς 10 w 3951
ζ 17 w 3952
διαμέτρου 5 w 3962
μθ 2 w 3965
μονάδι 8 w 3972
ἔλασσον 1 w 3979
5 w 3980
διπλάσιον 4 w 3989
τοῦ 5 w 3992
κε 4 w 3994
ἄρα 4 w 3997
τὸ 13 w 3999
μθ 3 w 4001
πάλιν 3 w 4007
ἂν 4 w 4009
τῇ 11 w 4011
ε 156 w 4013
πλευρᾷ 4 w 4020
προσθῇς 1 w 4027
τὴν 12 w 4030
ζ 18 w 4031
διάμετρον 6 w 4040
ἔσται 8 w 4046
ιβ 1 w 4048
κἂν 1 w 4052
τῇ 12 w 4054
ζ 19 w 4055
διαμέτρῳ 3 w 4063
προσθῇς 2 w 4070
δὶς 3 w 4073
τὴν 13 w 4076
ε 159 w 4077
πλευ- 1 w 4082
ράν 2 w 4085
ἔσται 9 w 4091
ιζ 3 w 4093
καὶ 34 w 4097
τοῦ 6 w 4100
ἀπὸ 12 w 4103
τῆς 11 w 4106
ιβ 2 w 4108
τετραγώνου 3 w 4118
τὸ 14 w 4120
ἀπὸ 13 w 4123
τῆς 12 w 4126
ιζ 4 w 4128
μονάδι 9 w 4134
πλέον 1 w 4139
6 w 4140
διπλάσιον 5 w 4149
καὶ 35 w 4153
κατὰ 4 w 4157
τὸ 15 w 4159
ἑξῆς 1 w 4163
τῆς 13 w 4166
προσθήκης 1 w 4175
ὁμοίως 3 w 4181
γιγνομένης 1 w 4191
ἔσται 10 w 4197
τὸ 16 w 4199
ἀνάλογον 1 w 4207
ἐναλλάξ 1 w 4214
ποτὲ 1 w 4219
μὲν 16 w 4222
μονάδι 10 w 4228
ἔλαττον 4 w 4235
ποτὲ 2 w 4240
δὲ 30 w 4242
μονάδι 11 w 4248
πλέον 2 w 4253
7 w 4254
διπλάσιον 6 w 4263
τὸ 17 w 4265
ἀπὸ 14 w 4268
τῆς 14 w 4271
διαμέτρου 6 w 4280
τετράγωνον 6 w 4290
τοῦ 7 w 4293
ἀπὸ 15 w 4296
τῆς 15 w 4299
πλευρᾶς 6 w 4306
καὶ 36 w 4310
ῥηταὶ 1 w 4315
αἱ 2 w 4317
τοιαῦται 1 w 4325
καὶ 37 w 4328
πλευραὶ 1 w 4335
καὶ 38 w 4338
τδιάμεροι 1 w 4347