Harmonica introductio (12-15)

12. Συμβαίνει δὲ ἐκ τῶν εἰρημένων τὸ τονιαῖον διάστημα λόγον ἔχειν ἐπόγδοον. εἰ γὰρ ἔστιν ὁ τόνος, ᾧ διαφέρει τοῦ διὰ πέντε τὸ διὰ τεσσάρων σύμφωνον, ὑποκείσθω τὸ μὲν διὰ τεσσάρων ἀριθμῶν [*]

ἕξ καὶ ὀκτώ, τὸ δὲ διὰ πέντε ἀριθμῶν ἕξ καὶ ἐννέα. ἡ μὲν οὗν ὑπεροχὴ τοῦ ἡμιολίου λόγου πρὸς τὸν ἐπίτριτον λόγος ἐστὶν, ὄν ἔχει τὰ ὀκτὼ πρὸς τὰ ἐννέα. ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπεροχὴ τοῦ διὰ τεσσάρων πρὸς τὸ διὰ πέντε τόνος. λόγον ἄρα ἔξει ὁ τόνος, ὄν τὰ ὀκτὼ
πρὸς τὰ ἐννέα.

13. Τὸ δὲ ἡμιτόνιον καλούμενον οὐκ ἔστιν ἀκριβῶς ἡμιτόνιον· λέγεται δὲ κοινῶς μὲν ἡμιτόνιον, ἰδίως δὲ λεῖμμα, καὶ ἔχει λόγον, ὄν τὰ c πρὸς τὰ cνϚ. πρώτως οὖν θεωρητέον, ὅτι λόγον ἔχει τὸ
καλούμενον ἡμιτόνιον, ὃν τὰ c πρὸς τὰ cνϚ, εἶτα ὅτι τὰ cμγ πρὸς τὰ cνς ἔλαττον περιέχουσιν ἡμιτονίου διάστημα. ἐκκείσθω γάρ τις φθόγγου δύναμις ἐν ἀριθμῷ τῷ ξδ καὶ τούτῳ παρακείσθω φθόγγος τόνον ἀπέχων, τουτέστιν ἀριθμῶν οβ, (p. 16) καὶ ἔτι τούτοις
τρίτος παρακείσθω φθόγγος ἀπέχων τόνον ἀπὸ τοῦ δευτέρου, τουτέστιν ἀριθμῶν πα. ὁ δὲ τέταρτος εἰς συμπλήρωσιν τοῦ τετραχόρδου λαμβανόμενος, ἀνάγκ τῷ πρώτῳ διὰ τεσσάρων σύμφωνος, λόγον ἕξει πρὸς τὸν ξδ τὸν ἐπίτριτον, τουτέστιν ἀριθμῶν ἔσται πε
καὶ τρίτου, καὶ ὁ τέταρτος ἄρα φθόγγος πρὸς τὸν τρίτον λόγον ἕξει τῶν πε γʹ πρὸς τὰ πα, ὅπερ ἐστὶν ἐν τελείοις ἀριθμοῖς ὁ τῶν cνϚ πρὸς τὰ cμγ. καὶ ὅσοι δὲ ἐν μείζοσιν ἀριθμοῖς μετὰ δύο ἐπογδόους τὸ λεῖπον τοῦ τετραχόρδου συμπληροῦσι, κατὰ τοῦτον τὸν λόγον
ἀναπληρώσουσι, τουτέστιν ὃν ἔχει τὰ cμγ. πρὸς τὰ cνϚ.

[*]

14. Τούτου δὲ θεωρηθέντος πάλιν ῥητέον, ὅτι οὗτος ὁ λόγος ἐλάττων ἡμιτονίου. ἔστι μὲν γὰρ ἐλάττων ἢ ἐφεπτακαιδέκατος ὁ cνϚ τοῦ cμγ. δύο δὲ ἐφεπτακαιδέκατοι συντεθέντες οὐ συμπληροῦσιν
ἐπόγδοον, ὥστε ὁ μὲν ἐφεπτακαιδέκατος λόγος λείπει ἥμισυς εἶναι ἐπογδόου. ὁ δὲ τῶν cνϚ πρὸς τὰ cμ λειπόμενος καὶ τοῦ ἐφεπτακαιδέκατος εἶναι, πολὺ ἂν μᾶλλον λείποιτο ἥμισυς εἶναι τοῦ ἐπογδόου. ἔλαττον ἄρα τὸ λεγόμενον ἡμιτόνιον τοῦ ἀληθῶς ἡμιτονίου, διόπερ
λεῖμμα ἐκλήθη, καὶ λόγον ἔχει, ὃν τὰ σμ πρὸς τὰ cνϚ.

Τοῦ δὲ λείμματος τὸ λεῖπον εἰς συμπλήρωσιν τόνου καλεῖται ἀποτομή, κοινῶς δὲ καὶ αὐτὸ ἡμιτόνιον, ὥστε ἔσται τῶν ἡμιτονίων τὸ μὲν μεῖζον, τὸ δὲ ἔλαττον. (p. 17) χρῆται δὲ τὸ μὲν διατονικὸν γένος
τῷ ἐλάττονι, τὸ δὲ χρωματικὸν ἀμφοτέροις.

15. Τούτων οὖν οὕτως ὑποτεθέντων ἐκκείσθω τὸ διάγραμμα τῶν φθόγγων διατονικὸν μετὰ τῶν ἐπιβαλόντων τοῖς φθόγγοις ἀριθμῶν ἐν τῷ αὐτῷ διαγράμματι ἐν ἄλλοις ἀριθμοῖς τοῦ ἐλάσσονος πρὸς τῷ
προσλαμβανομένῳ τιθεμένου.

[*][*]

Ἐν μὲν οὖν τῷ πρώτῳ διαγράμματι προσλαμβανομένου τεθέντος βτδ ἡ ὑπάτη ὑπάτων τόνον ἀπέχουσα τοῦ προσλαμβανομένου κατὰ τὸν λόγον, ὃν ἔχει τὰ θ πρὸς τὰ η, ἀριθμῶν ὑπόκειται βθμ. ἡ δὲ παρυπάτη τῶν ὑπάτων ἡμιτόνιον ἀπέχουσα τῆς ὑπάτης, ὅπερ
κυρίως λεῖμμα προσαγορεύεται, κατὰ τὸν λόγον, ὃν ἔχει τὰ σνϚ πρὸς τὰ σμγ, εἰκότως ἀριθμῷ ὑπόκειται ᾳϠμδ. καὶ τὰ λοιπὰ δὲ διαστήματα κατὰ τὸν λόγον τῶν τε τόνων καὶ ἡμιτονίων ὁμοίως ἔκκειται. ἐν δὲ τῷ δευτέρῳ διαγράμματι τοῦ προσλαμβανομένου τεθέντος
ἀριθμῶν χμ ἡ ὑπάτη τῶν ὑπάτων ἀκολούθως ἀριθμῶν ὑπόκειται ψκθ. ἡ δὲ παρυπάτη τῶν ὑπάτων ἀριθμῶν ὑπόκειται ψξη. καὶ τὰ ἄλλα πάντα ἀκολούθως τοῖς τόνοις καὶ ἡμιτονίοις παρηύξηται ὁμοίως τοῖς πρώτοις, πλὴν ὅτι ἐξ ἐλαττόνων ἐπὶ τοὺς μείζονας
οἱ ἀριθμοὶ προχωροῦσιν.