Περὶ τῆς Νικομάχου ἀριθμητικῆς εἰσαγωγῆς (96-100)

ὅσπερ ἦν τῆς πρώτης συζυγίας ἀριθμός, ἂν ἀφέλω τὰ σκθʹ, λείπεταί μοι ρμθʹ. τοῦτον οὖν φημι τὸν δεύτερον ἐν τῇ ἐκθέσει ἀριθμὸν εἶναι. πάλιν ἐπεὶ ἡ δευτέρα συζυγία ἀριθμός ἐστιν ὁ τῶν τξʹ, ἀφαιρῶ τὸν αὐτὸν σκθʹ καὶ λείπεταί μοι ρλαʹ, ὅν φημι εἶναι τρίτον ὅρον ἐν τῇ ἐκθέσει. ὁμοίως ἐπεὶ τρίτης συζυγίας ἐστὶ τὰ τνʹ, ἀφέλω σκθʹ, λείπω ρκαʹ καὶ ἴσχω τὸν τέταρτον. ὁμοῦ οὖν τῶν τεσσάρων ὅρων τάξει τούτων σκθʹ ρμθʹ ρλαʹ ρκαʹ ὁ μὲν πρῶτος καὶ δεύτερος συνάμφω ἔσονται τρίτου τε καὶ τετάρτου ἡμιόλιοι, πρῶτος δὲ ἅμα καὶ τρίτος δευτέρου καὶ τετάρτου ἐπίτριτοι, πρῶτος δὲ πάλιν καὶ τέταρτος συνάμφω δευτέρου τε καὶ τρίτου ἐπιτέταρτοι, ὅπερ ἔδει δεῖξαι. καὶ ταῦτα μὲν ἔξωθεν ἡμῖν εἰς ἔνδειξιν τῆς τῶν ἀριθμητικῶν ἐπανθημάτων γλαφυρίας οὐκ ἀσκόπως παρηδολεσχείσθω.

Ἐπανιτέον δὲ ἐπὶ τὴν τῶν πολυγώνων θεωρίαν καὶ

στίχου, τοῦ δὲ παρ’ ἕνα τοὺς παρ’ ἕνα καὶ τοῦ παρὰ δύο τοὺς παρὰ δύο καὶ 〈τοῦ παρὰ τρεῖς τοὺς〉 παρὰ τρεῖς καὶ ἑξῆς ἀκολούθως. καὶ οἱ μὲν τοῦ ἑπταγώνου πάντες γνώμονες ὁμοκατάληκτοι ἔσονται τοῖς πρώτοις δυσὶ τῷ τε αʹ καὶ τῷ ϛʹ, οἱ δὲ τῶν ἄλλων κατ’ ἄλλας καὶ ἄλλας θεωρίας, ὥσπερ ἐν τῇ τοῦ ἑξαγώνου ἐκθέσει πάντες οἱ τέλειοι εὑρεθήσονται, καὶ ἴδιόν τι τοῖς ἑξαγώνοις συμβεβηκὸς ἔσται τὸ καὶ τριγώνοις εἶναι πᾶσιν, οὐκέτι μὴν τοῖς τριγώνοις πᾶσι τὸ καὶ ἑξαγώνοις εἶναι συμβήσεται, ἀλλ’ ἢ μόνοις τοῖς παρ’ ἕνα, τουτέστι τοῖς ἡμίσεσι τοῖς αʹ ϛʹ ιεʹ κηʹ μεʹ ἵνα καὶ ἐνταῦθα τὸ ἥμισυ τῷ δύο οἰκείως συζυγῇ. ἐπεὶ γὰρ διπλάσιος ὁ ἑξάγωνος καταστὰς γωνίας τε καὶ πλευρᾶς τοῦ τριγώνου, διὰ τοῦτο τοὺς ἡμίσεις παρέξει ἀφ’ ἑαυτοῦ ὁ τριγωνικὸς στίχος ἑξαγώνους, οἱ δ’ ἐν τῇ ἐκθέσει τῶν ἑξαγώνων τέλειοι ἅμα καὶ τρίγωνοί εἰσιν. ἐν δὲ τῇ τοῦ πενταγώνου, ἔνθα δύο ἄρτιοι ἀνὰ μέσον τῶν δύο συζυγιῶν περισσῶν, ὁ μὲν ἕτερος ἀναγκαίως τῶν ἀρτίων ἀρτιοπέρισσός ἐστιν, ὁ δὲ λοιπὸς περισσάρτιος. καὶ πολλὰ ἄλλα παρακολουθήματα γλαφυρὰ εὕροι τις ἂν συντείνων ἑαυτὸν συμβεβηκότα

τῷ τῶν πολυγώνων διαγράμματι, οἷον ὅτι ἐπὶ βάθος οἱ πρῶτοι μετὰ τὰς μονάδας ὁ ἐφεξῆς ἀριθμός ἐστιν, οἱ δὲ δεύτεροι κοινῇ μὲν διαφορᾷ

καὶ δὶς τοῦ πρὸ ἐκείνου, καὶ πᾶς ἑξάγωνος τοῦ κατ’ αὐτὸν ἐπὶ βάθος τριγώνου καὶ τρὶς τοῦ πρὸ ἐκείνου, καὶ ἑπτάγωνος ὁμοίως τοῦ κατ’ αὐτὸν καὶ τετράκι τοῦ πρὸ ἐκείνου, καὶ ἀεὶ τὸ αὐτὸ συμβήσεται κατὰ πρόσθεσιν μονάδος τῆς ποσότητος παραυξομένης. πάλιν ὁ δεύτερος τετράγωνος ὁ θʹ σύστημά ἐστι τοῦ ὑπὲρ αὐτὸν τριγώνου τοῦ ἕξ καὶ τοῦ πρὸ ἐκείνου γʹ, ὡς εἴρηται. ὁ δ’ ὑπὸ τοῦτον πεντάγωνος ιβʹ σύστημά ἐστι τοῦ ὑπὲρ αὐτὸν τετραγώνου τοῦ θʹ καὶ τοῦ πρὸ ἐκείνου τετραγώνου τοῦ δʹ, παρὰ τὸν εʹ, διαγωνίου κειμένου αὐτῷ ἑνὸς τριγώνου. ὁ δ’ ὑπὸ τοῦτον ἑξάγωνος ὁ ιεʹ σύστημά ἐστι τοῦ ὑπὲρ αὐτὸν πενταγώνου τοῦ ιβʹ καὶ τοῦ πρὸ ἐκείνου εʹ, παρὰ δὶς τὸν αὐτὸν τρίγωνον τὸ πρῶτον αʹ. ὁ δ’ ὑπ’ αὐτὸν ἑπτάγωνος ὁ ιηʹ ἐκ τοῦ ὑπὲρ αὐτὸν ἑξαγώνου τοῦ ιεʹ καὶ τοῦ πρὸ ἐκείνου τοῦ ϛʹ, παρὰ τρὶς τὸν αὐτὸν τρίγωνον τὸ αʹ. οἱ γὰρ ἐνεργείᾳ

τοῦ ιʹ καὶ τοῦ πρὸ ἐκείνου ϛʹ ὁμοίως παρ’ οὐδέν. ὁ δ’ ὑπ’ αὐτὸν πεντάγωνος ὁ κβʹ σύστημα τοῦ ὑπὲρ αὐτὸν τετραγώνου τοῦ ιϛʹ καὶ τοῦ πρὸ ἐκείνου τοῦ θʹ, παρὰ τὸν ἐνεργείᾳ πρῶτον τρίγωνον τὸν γʹ, διαγώνιον ὄντα πρὸς αὐτόν. ὁ δ’ ὑπ’ αὐτὸν ἑξάγωνος ὁ κηʹ συνέστηκεν ἔκ τε τοῦ ὑπὲρ αὐτὸν κβʹ πενταγώνου καὶ τοῦ πρὸ ἐκείνου ιβʹ, παρὰ δὶς τὸν αὐτὸν τρίγωνον τὸν γʹ. ὁ δ’ ὑπ’ αὐτὸν ἑπτάγωνος ὁ λδʹ σύστημά ἐστι τοῦ ὑπὲρ αὐτὸν ἑξαγώνου τοῦ κηʹ καὶ τοῦ πρὸ ἐκείνου ιεʹ, παρὰ τρὶς [καὶ] τὸν αὐτὸν τρίγωνον τὸν γʹ. καὶ ἑξῆς ὁμοίως τὸ αὐτὸ συμβήσεται συμπροκοπτόντων τοῖς ἑξῆς ἐπὶ τὸ πλάτος λαμβανομένοις πολυγώνοις καὶ τῶν γνωμονικῶν τριγώνων. ὁ μὲν γὰρ ἐφεξῆς εἰς τὸ· ἔπος στίχος τῶν πολυγώνων, οὗ ἄρχει ὁ ιεʹ τρίγωνος, διεκταθήσεται ὁμοίως τοῖς προειρημένοις κατὰ τὸν ιʹ τρίγωνον· ὁ δὲ μετ’ αὐτόν, οὗ ἀρχὴ καʹ, κατὰ τὸν ιεʹ. καὶ ἀεὶ ὁμοίως διεκταθήσεται ἡ προκοπὴ τῶν πολυγώνων καὶ τῶν εἰδοποιούντων αὐτοὺς τριγώνων, ὥστε καθολικὸν ἐπ’ αὐτῶν εἶναι θεώρημα τοῦτο· ἕκαστος γὰρ πολύγωνος σύστημά ἐστι τοῦ ὑπὲρ αὐτὸν μονάδι μικρωνυμωτέρου