Περὶ τῆς Νικομάχου ἀριθμητικῆς εἰσαγωγῆς (91-95)

ἔσονται τῶν λοιπῶν δύο, ὄντων δηλονότι καὶ αὐτῶν ἐν τεσσαράκοντα μονάσι. πάλιν ἐπεὶ ὁ πρῶτος καὶ ὁ τρίτος τριπλάσιοι ἔσονται τῶν λοιπῶν δευτέρου καὶ τετάρτου, ὡς τρία πρὸς ἕν, ἅ ἐστιν ὁμοῦ δʹ, ποιῶ τρὶς τὸν αὐτὸν ρκʹ καὶ γίνεται τξʹ, ἃ μερίζω παρὰ τὸ τέταρτον, ἵν’ ᾖ τὸ μέρος ҁʹ. φημὶ δὴ τοσούτων εἶναι μονάδων τὸν πρῶτον ἅμα καὶ τὸν τρίτον, τοὺς τριπλασίους τῶν λοιπῶν δευτέρου καὶ τετάρτου, ὄντων δηλονότι ἐν μονάσι λʹ. πάλιν ἐπεὶ ὁ πρῶτος σὺν τῷ τετάρτῳ τετραπλάσιός ἐστι τῶν δύο

ἀφαιρῶ δὴ τὸν ἐξ ἀρχῆς μερισθέντα εἰς τοὺς τέσσαρας ὅρους τὸν ρκʹ, καὶ λείπεταί μοι ρμϛʹ, ὧν ἐπεὶ τέσσαρές εἰσιν οἱ μερισάμενοι τὸ ἥμισυ ἕξει ὃ κατὰ τὴν πρώτην συζυγίαν ἴδιον ὁ πʹ. ἔστι δὲ ἥμισυ ὁ ογʹ, καὶ τὰ λοιπὰ ἀπὸ τῶν πʹ τὰ ζʹ ἔσται τοῦ δευτέρου ὅρου. ἐπειδὴ ἡ δευτέρα συζυγία περιέχει ἀριθμὸν τὸν ҁʹ, πάλιν ἀφαιρῶ ἀπὸ τῶν ҁʹ τὸν ογʹ, καὶ λείπεται ιζʹ, ἅ φημι εἶναι τοῦ τρίτου ὅρου. ἐπεὶ δὲ καὶ ἡ τρίτη συζυγία ҁϛʹ ἐστὶ μονάδων, πάλιν ἀφαιρῶ τὰ ογʹ, καὶ τὰ λοιπὰ κγʹ προσνέμω τῷ τετάρτῳ ὅρῳ. καὶ οὕτως γίνεταί μοι ὁ πρῶτος ὅρος τῶν ογʹ, ὡσανεὶ γνώμων τῆς τῶν συζυγιῶν εὑρέσεως, ὥστε καθ’ ἕκαστον ἰδίᾳ διακεκριμένους τοὺς τέσσαρας εὑρεθῆναι ἐφεξῆς ὄντας ογʹ ζʹ ιζʹ κγʹ, οἵπερ εἰσὶν ὁμοῦ ρκʹ περιέχοντες τοὺς εἰρημένους λόγους τόν τε διπλάσιον καὶ πενταπλάσιον. πρώτιστοι μὲν οὖν οὗτοι καὶ πυθμενικοὶ ἀριθμοὶ ἐν τελείαις μονάσιν τοὺς εἰρημένους λόγους

τοὺς αὐτοὺς περιέχοντες λόγους ὅ τε λϛʹ (ʹʹ καὶ ὁ γʹ (ʹʹ καὶ ὁ ηʹ (ʹʹ καὶ ιαʹ (ʹʹ, ὧν καὶ τὰ συγκεφαλαιώματα ξʹ, ἅτινα ἡμίση ἔσται δηλονότι τοῦ προτέρου συγκεφαλαιώματος τοῦ ρκʹ. εἰ δὲ καὶ πολλαπλασίους τῶν ἐξ ἀρχῆς ποιῶμεν καθ’ ὁποιονοῦν πολλαπλασίου εἶδος, ἢ ἐπιμορίους, ἢ ἐπιμερεῖς, οἱ γενόμενοι πάντως τοὺς αὐτοὺς λόγους περιέξουσιν. ἵνα δὲ τεσσάρων ἄλλων ἀριθμῶν ἐκτεθέντων κατὰ τὴν αὐτὴν τάξιν τοῖς προτέροις ὁμοταγεῖς κατὰ συνδυασμὸν τὸν προειρημένον τῶν ὁμοιοτάτων, ἀντὶ μὲν πολλαπλασίων γενικῶς 〈ὑποπολλαπλάσιοι γίνωνται〉, εἰδικῶς δὲ ἀντὶ μὲν διπλασίων ἡμιόλιοι, ἀντὶ δὲ τριπλασίων ἐπίτριτοι ἀντὶ δὲ τετραπλασίων ἐπιτέταρτοι, λαμβάνω κατὰ τὴν αὐτὴν ἔφοδον, ἐπεὶ ἡμιολίου λόγου χρεία, ἀντὶ διπλασίου τὸν πρῶτον δυνάμενον ἥμισυ παρασχεῖν, τουτέστι τὸν δύο, ὅσπερ ἦν καὶ πρῶτος διπλάσιος ἐπὶ τῶν προτέρων ἀριθμῶν, καὶ πεντάκις αὐτὸν ποιῶ, διότι σύστημά ἐστι τὰ εʹ τῶν τὸν ἡμιόλιον λόγον περιεχόντων τοῦ γʹ καὶ βʹ. καὶ ἐπεὶ ἀντὶ τριπλασίου ἐπιτρίτου λόγου χρεία, πυθμὴν δὲ ἐπιτρίτων ὁ δʹ πρὸς γʹ ἐστίν, ὁμοῦ ζʹ, ποιῶ ταῦτα δεκάκις, γίνεται οʹ.

πάλιν ἐπεὶ χρεία ἐπιτετάρτου ἀντὶ τετραπλασίου, ἔστι δὲ πυθμὴν ἐπιτετάρτων εʹ πρὸς δʹ, ἅ ἐστι ὁμοῦ θʹ, ἐνάκις ποιῶ τὸν οʹ, γίνεται χλʹ. οὗτος οὖν ἔσται ὁ συνέχων τοὺς περιεκτικοὺς τῶν εἰρημένων λόγων ἀριθμούς.

δευτέρας συζυγίας τῶν ἀναφανησομένων πρώτου καὶ τρίτου ἀριθμοῦ, οἳ συνάμφω ἐπίτριτοι ἔσονται δευτέρου καὶ τετάρτου. ὁμοίως διότι ἐπιτετάρτου λόγου χρεία, ἵνα πρῶτος καὶ τέταρτος συνάμφω τῶν δύο μέσων ἐπιτέταρτοι ὦσιν, ἔστι δὲ πρόλογος ἐν ἐπιτετάρτῳ πυθμέσι 〈ὁ εʹ〉, ποιῶ πεντάκις τὸν χλʹ, γίνεται γρνʹ, μερίζω παρὰ τὸ συναμφότερον τῶν τὸν ἐπιτέταρτον λόγον περιεχόντων πυθμένων, τουτέστιν θʹ, καὶ ἴσχω μέρος θον· τνʹ, ἃ δὴ λέγω τρίτην εἶναι συζυγίαν πρώτου καὶ τετάρτου ἀριθμοῦ, οἳ συνάμφω ἐπιτέταρτοι