Περὶ τῆς Νικομάχου ἀριθμητικῆς εἰσαγωγῆς (86-90)

ὅλως οἱ ὁμοταγεῖς αὐτῶν, τουτέστιν ***ἀρτιοταγεῖς.

Ἐπεὶ δὲ ἡ μονὰς πάσης γενέσεως τῶν πολυγώνων ἀφηγεῖται καὶ διὰ τοῦτο πανσχήμων ἐστίν, ἐοικέναι λέγεται τοῦτο κύκλῳ καὶ σφαίρᾳ, διότι τε ὑπὸ μιᾶς γραμμῆς ὁ κύκλος περιέχεται καὶ ἑνὸς ἐπιπέδου ἡ σφαῖρα καὶ διότι ὅ τε κύκλος χωρητικός ἐστι καὶ περικλειστικὸς παντὸς πολυγώνου ἐπιπέδου σχήματος καὶ ἡ σφαῖρα στερεοῦ. φανήσεται δὲ καὶ ἑξῆς καὶ τῶν στερεῶν σχημάτων τῆς γενέσεως ἀφηγουμένη ἡ μονὰς καὶ δυνάμει ἐπιδεχομένη τοὺς πάντων λόγους, πρὸς τούτοις τε ὅτι ἀφ’ ἑαυτῆς καὶ περὶ ἑαυτὴν ὡσανεὶ κινηθεῖσα εἰς ἑαυτὴν ἀποκαθίσταται, καθὰ καὶ ὁ κύκλος ἀπό τινος περί τι ἐξ ἴσου διαστήματος εἰς ταὐτὸν ἀποκαθίσταται. εἰ δὲ ὁ κυκλικὸς λόγος τῇ μονάδι ἐμφαίνεται ἄρχονται δὲ ἐπὶ τριάδος αἱ σχηματίσεις τῶν πολυγώνων, τὴν δυάδα εὐλόγως οἱ ἀπὸ Πυθαγόρου

ἀόριστον ἔφασαν εἶναι, διότι καθ’ αὑτὴν οὐδ’ ὁτιοῦν περιορίζεται σχῆμα· πρῶτον γὰρ εὐθύγραμμον καὶ στοιχεῖον ἐπίπεδον τὸ τρίγωνον, διότι ἐν τρισὶν ὅροις τὸ διχῇ διαστατόν. καὶ ἐπειδὴ ἐν γραμμικοῖς εἰδοποιεῖται τὰ πολύγωνα ὑπὸ τριγώνου, εἴ γε τὴν σύστασιν ἀπ’ αὐτοῦ καὶ εἰς αὐτὸ τὴν ἀνάλυσιν ἴσχει, καὶ διὰ τοῦτο καὶ ἐν ἀριθμοῖς εἰδοποιηθήσονται οἱ

τῇ τῶν γνωμόνων περιθέσει αἰεὶ ἀλλασσόμεναι, μία μὲν ἐν τριγώνῳ δύο δὲ ἐν τετραγώνῳ καὶ τρεῖς ἐν πενταγώνῳ καὶ ὁμοίως ἐπ’ ἄπειρον, κατὰ δυάδος κἀνταῦθα διαφορὰν τῆς κλήσεως τῶν πολυγώνων πρὸς τὴν ποσότητα τῶν ἀλλασσομένων γινομένης. ἐντεῦθεν καὶ ἡ ἔφοδος τοῦ Θυμαριδείου ἐπανθήματος ἐλήφθη. ὡρισμένων γὰρ ἢ ἀορίστων μερισαμένων ὡρισμένον τι καὶ ἑνὸς οὑτινοσοῦν τοῖς λοιποῖς καθ’ ἕκαστον συντεθέντος, τὸ ἐκ πάντων ἀθροισθὲν πλῆθος ἐπὶ μὲν τριῶν μετὰ τὴν ἐξ ἀρχῆς ὁρισθεῖσαν ποσότητα ὅλον τῷ συγκριθέντι προσνέμει τ’ ἀφ’ οὗ τὸ λεῖπον καθ’ ἕκαστον τῶν λοιπῶν ἀφαιρεθήσεται, ἐπὶ δὲ τεσσάρων τὸ ἥμισυ καὶ ἐπὶ πέντε τὸ τρίτον καὶ ἐπὶ ἓξ τὸ τέταρτον καὶ ἀεὶ ἀκολούθως, δυάδος κἀνταῦθα διαφορᾶς ἐπιφαινομένης

καὶ τρεῖς πενταγώνων καὶ ἑξῆς ἀκολούθως ἐνταῦθα δὲ τῷ ἐπανθήματι εἰ μὲν τρεῖς εἶεν οἱ μεριζόμενοι μετὰ τὴν ἀφαίρεσιν τοῦ ὁρισθέντος ὁρισμοῦ, ὅλον τὸ ληφθὲν προσνεμοῦμεν τῷ συγκριθέντι πρὸς τοὺς λοιπούς, ὡς ἀναλόγως ἔχειν ἐνταῦθα τὸ ὅλον πρὸς τὴν ἐν τοῖς τριγώνοις ἀλλασσομένην μίαν πλευράν. καὶ ἐπεὶ ἐκεῖ δύο ἔσονται ἐπὶ τετραγώνων αἱ ἀλλασσόμεναι πλευραί, ἐνταῦθα, εἰ τέσσ̣αρες εἶεν οἱ μεριζόμενοι, τὸ ἥμισυ προσνεμοῦμεν, εἴτε τρίτον ἐπιτρεῖς, καὶ ἀεὶ ἀναλόγως ποιοῦντες οὐ διαπεσούμεθα. ὅτι δὲ οὐ παρέλκει τὸ ἐπάνθημα τοῦτο, ἀλλὰ καὶ πρὸς θεώρημα ἀριθμητικὸν ἔχει τὴν ἀναφορὰν καὶ ἐφόδου γλαφυρωτάτης πρὸς ἀνεύρεσιν αἴτιον ἡμῖν γίνεται, οὕτως ἂν θεωρήσαιμεν. προστετάχθω γὰρ ἡμῖν λόγου χάριν ἀριθμοὺς ἐκθέσθαι τέσσαρας, ὧν ὁ πρῶτος μετὰ τοῦ δευτέρου διπλάσιος ἔσται τρίτου ἅμα καὶ τετάρτου, καὶ πάλιν ὁ πρῶτος μετὰ τοῦ τρίτου τριπλάσιος δευτέρου ἅμα καὶ τετάρτου, ὁμοίως τε ὁ αὐτὸς πρῶτος μετὰ τοῦ τετάρτου τετραπλάσιος τῶν δύο μέσων δευτέρου ἅμα καὶ τρίτου, σύμπαντες δὲ ἅμα πενταπλάσιοι τῶν αὐτῶν δύο

μέσων, ὡς ἂν καὶ τάξει φυσικῇ τῶν πολλαπλασίων ἀπὸ διπλασίου εἰς πενταπλάσιον ἡ προχώρησις