Περὶ τῆς Νικομάχου ἀριθμητικῆς εἰσαγωγῆς (173)

ἄλλον τινὰ ὅρον παράσχῃ, ὃς τοῦ ἐξ ἀρχῆς ἔσται πάλιν πολλαπλάσιος, ὡς ἔχει ἐπὶ τῶν ϛʹ θʹ ιβʹ. εἰ δὴ τηρήσαιμεν τοὺς ἄκρους ὅρους ἑστῶτας, ἐπειδὴ καὶ οἱ αὐτοί εἰσιν ἐν ἀμφοτέραις ταῖς μεσότησι, τὸν ϛʹ λέγω καὶ τὸν ιβʹ, τοὺς δὲ μέσους ἅμα τάξαιμεν μεταξὺ αὐτῶν, ἔσται ἡ εἰρημένη διὰ τεσσάρων ὅρων μουσικὴ ἀναλογία ἡ ϛʹ ηʹ θʹ ιβʹ. πρῶτον δ’ ἐτάξαμεν αὐτῆς τὸν ϛʹ ἀριθμόν, ἐπειδὴ τρίτου ἅμα καὶ ἡμίσους πρῶτος

ἦν ἐπιδεκτικός, ἵνα ἀπ’ αὐτοῦ τοὺς εἰρημένους λόγους ἀποστῆσαι δυνηθῶμεν, ἐπίτριτον μὲν τὸν ηʹ πρὸς τὸν ἡμιόλιον τὸν ιβʹ, ὃς διπλάσιος ἔσται τοῦ ἐξ ἀρχῆς ϛʹ, ἢ πάλιν ἡμιόλιον μὲν τὸν θʹ πρὸς τὸν ἐπίτριτον τὸν ιβʹ, ὃς πάλιν ἔσται τοῦ ἐξ ἀρχῆς διπλάσιος. καὶ αὕτη ἐστὶν ἡ προειρημένη ἐμπλοκὴ τῶν μέσων ὅρων πρὸς τοὺς ἄκρους. ὅτι δ’ ἀναγκαῖον ἦν πρῶτον τάξαι τὸν ϛʹ πρὸς τὴν τῶν λόγων ἀπόστασιν, ἐντεῦθεν ἂν μάθοιμεν· μονάδα μὲν γὰρ οὐχ οἷόν τ’ ἦν, ἐπειδὴ ἀμερὴς ὑπόκειται καὶ οὔτε ἥμισυ οὔτε τρίτον ἔχει, ἀλλ’ οὐδὲ δυάδα, διότι ἥμισυ μὲν ἔχει τρίτον δ’ οὐκ ἔχει, οὐδὲ μὴν τὴν τριάδα τρίτον μὲν ἔχουσαν ἥμισυ δ’ οὐκ ἔχουσαν, οὐδὲ τετράδα διὰ τὰ αὐτὰ τῇ δυάδι (τρίτου γὰρ καὶ αὕτη ἐστέρηται), τὴν δὲ πεντάδα διὰ τὰ αὐτὰ τῇ μονάδι οὔθ’ ἥμισυ οὔτε τρίτον ἔχουσαν. πρῶτος δὴ καὶ ἐλάχιστος ἡμῖν ὁ ϛʹ χρησιμεύσει