Περὶ τῆς Νικομάχου ἀριθμητικῆς εἰσαγωγῆς (171-175)

ἑαυτῷ δὲ τὸ διπλάσιον συντεθὲν ποιεῖ τὸ δὶς διὰ πασῶν σύμφωνον διάστημα ἐν λόγῳ ὂν τετραπλασίῳ· δὶς γὰρ ὁ διπλάσιος λόγος τετραπλάσιός ἐστι. τὰς δὲ εʹ τούτῳ μείζονας συμφωνίας συμβαίνει γίνεσθαι, προσπλεκομένων πάλιν τῇ δὶς διὰ πασῶν τῶν ἐξ ἀρχῆς ἁπλῶν διαστημάτων, ἃ νῦν παρίεμεν ἑκόντες, ὡς εὐκαιρότερον ὂν ἐν αὐτῇ τῇ Μουσικῇ εἰσαγωγῇ περὶ αὐτῶν τεχνολογεῖν. τὰς δὲ ἐπιτάσεις καὶ ἀνέσεις τῶν χορδῶν κατὰ τοὺς εἰρημένους λόγους γινομένας πρῶτον Πυθαγόραν ἱστοροῦσι συμμετρήσασθαι· παριόντα γὰρ εἴς τι χαλκοτυπεῖον, καὶ ἐκ τῆς τῶν ῥαιστήρων καταφορᾶς συμφώνου ἀπηχήσεως ἐπακούσαντα, συσταθμίσασθαι τὰ βάρη, καὶ εὑρόντα *** καὶ ἐν λόγοις τοῖς εἰρημένοις, μεγαλοφυῶς περινοῆσαι καὶ ποικίλαις ὕλαις ἐφαρμόσαι τοὺς αὐτοὺς λόγους, νῦν μὲν μήκεσι χορδῶν ἢ ἰσοπαχῶν μέν, κατὰ δὲ τὴν κολόβωσιν συμμετρηθεισῶν πρὸς ἀλλήλας, ἢ ἀνάπαλιν ἰσομηκῶν μέν, ἀναλόγως δὲ παχυνθεισῶν, νῦν δὲ κατὰ μὲν τὰ προειρημένα ἀδιαφόρων οὐσῶν κατὰ δὲ μόνην

τὴν τάσιν διαφόρως συμμετρηθεισῶν,

ἄλλον τινὰ ὅρον παράσχῃ, ὃς τοῦ ἐξ ἀρχῆς ἔσται πάλιν πολλαπλάσιος, ὡς ἔχει ἐπὶ τῶν ϛʹ θʹ ιβʹ. εἰ δὴ τηρήσαιμεν τοὺς ἄκρους ὅρους ἑστῶτας, ἐπειδὴ καὶ οἱ αὐτοί εἰσιν ἐν ἀμφοτέραις ταῖς μεσότησι, τὸν ϛʹ λέγω καὶ τὸν ιβʹ, τοὺς δὲ μέσους ἅμα τάξαιμεν μεταξὺ αὐτῶν, ἔσται ἡ εἰρημένη διὰ τεσσάρων ὅρων μουσικὴ ἀναλογία ἡ ϛʹ ηʹ θʹ ιβʹ. πρῶτον δ’ ἐτάξαμεν αὐτῆς τὸν ϛʹ ἀριθμόν, ἐπειδὴ τρίτου ἅμα καὶ ἡμίσους πρῶτος

πρὸς τὰς τῶν λόγων ἀποστάσεις, ἀποτέλεσμα ὢν τῶν δύο πρώτων ἀριθμῶν καὶ ἡμίσους καὶ τρίτου ἐπιδεκτικῶν, λέγω δὲ τοῦ βʹ καὶ γʹ. πρὸς δὴ τὸν ϛʹ ὁ μὲν ηʹ ἐπίτριτος ὢν περιέξει τὴν διὰ τεσσάρων συμφωνίαν. καὶ ἐπεὶ πρὸς τὸν ηʹ ἡμιόλιός ἐστιν ὁ ιβʹ περιέχων τὴν διὰ πέντε, πρὸς τὸν ἐξ ἀρχῆς ϛʹ ὁ αὐτὸς ιβʹ διπλάσιος ὢν 〈περιέξει τὴν διὰ πασῶν〉 συμφωνίαν σύνθετον οὖσαν ἐκ τῆς διὰ τεσσάρων καὶ διὰ πέντε. καὶ πάλιν τοῦ ϛʹ ὁ θʹ ἡμιόλιος ὢν περιέξει τὴν διὰ πέντε, πρὸς δὲ τὸν θʹ ὁ ιβʹ τὴν διὰ τεσσάρων ἐπίτριτος ὢν αὐτοῦ, πρὸς δὲ τὸν ἐξ ἀρχῆς ϛʹ πάλιν τὴν διὰ πασῶν. τὴν δὲ ὑπεροχὴν τοῦ διὰ πέντε πρὸς τὸ διὰ τεσσάρων, τὸ τονιαῖον

συμφωνίας ὁ διπλάσιος. τὸν δὲ τριπλάσιον λόγον περιέξει τῇ διὰ πασῶν καὶ διὰ πέντε συμφωνίᾳ ἡ διαφορὰ τοῦ τε θʹ καὶ ϛʹ πρὸς διαφορὰν τοῦ θʹ καὶ ηʹ, ἢ καὶ 〈ἡ〉 διαφορὰ τοῦ ιβʹ καὶ ϛʹ πρὸς διαφορὰν τοῦ ηʹ καὶ ϛʹ. τὸν δὲ τετραπλάσιον λόγον τῆς 〈δὶς〉 διὰ πασῶν συμφωνίας, ἡ τοῦ ιβʹ καὶ ηʹ [ἡ] διαφορὰ πρὸς τὴν τοῦ θʹ καὶ ηʹ διαφοράν. καὶ πλείονας δ’ ἄν τις εὕροι λόγους τῶν συμφώνων διαστημάτων πολλαπλασιάσας τοὺς ἐκκειμένους τέσσαρας ὅρους ἐπί τε αὑτοὺς ἕκαστον καὶ ἐπ’ ἀλλήλους, καὶ ἔτι ἐπὶ τὰς αὐτῶν διαφοράς, καὶ αὐτὰς τὰς διαφορὰς καθ’ ἑαυτάς τε καὶ ἐπ’ ἀλλήλας, ὡς ἔνεστι κατὰ τὸ φιλόκαλον δι’ αὑτοῦ ἕκαστον πειραθέντα κατανοῆσαι. ἔστιν οὖν πάλιν μουσικὴ μεσότης, ὅταν ἐν τέτταρσιν ὅροις ᾖ ὡς