Περὶ τῆς Νικομάχου ἀριθμητικῆς εἰσαγωγῆς (161-165)

δὲ καὶ αὕτη ἐξ ἰσότητος, πρώτως τῆς ἐν μονάσιν εἶτ’ ἐν δυάσι καὶ τριάσιν καὶ ἑξῆς ἀκολούθως· πρῶτον ἐκ πρώτου καὶ δευτέρου, δεύτερον δὲ 〈ἐκ〉 πρώτου δύο δευτέρων δύο τρίτων, τρίτον δὲ ἐξ ἅπαξ πρώτου δὶς δευτέρου τρὶς τρίτου, καὶ φύσεται ἡ ἐν τριπλασίῳ λόγῳ τοὺς ἄκρους ἔχουσα. ἵνα δὲ ἡ ἐν διπλασίῳ ἔχουσα γένηται, ποιητέον πρῶτον ἐκ πρώτου δύο δευτέρων, δεύτερον δὲ ἐκ πρώτου δύο δευτέρων δύο τρίτων, τρίτον δὲ ἐξ ἅπαξ πρώτου δὶς δευτέρου τρὶς τρίτου. αἱ μὲν οὖν εἰρημέναι πρωτότυποι φύσονται ἐκ τῆς ἀπὸ μονάδων ἰσότητος, αἱ δὲ τούτων διπλάσιαι ἐκ τῆς ἀπὸ δυάδων καὶ τριπλάσιαι ἐκ τῆς ἀπὸ τριάδων καὶ ἑξῆς ἀκολούθως. ἡ δὲ πέμπτη ὑπεναντίον μέν τι καὶ αὕτη πάσχει τῇ γεωμετρικῇ, ἁπλῶς δὲ πέμπτη εἴρηται διὰ τὸ προειλῆφθαι τῷ ὀνόματι τὴν πρὸ αὐτῆς. ἔστι δ’ οὖν τριῶν ὅρων ὡς ὁ μέσος πρὸς τὸν ἐλάχιστον, οὕτως ἡ αὐτῶν τούτων διαφορὰ πρὸς τὴν τῶν μειζόνων, οἷον βʹ δʹ εʹ. ὑπηναντίωται δὲ τῇ γεωμετρικῇ, διότι ἐπὶ μὲν ἐκείνης ἦν ἡ τῶν

ὅροι. ἴδιον δ’ ἔχει τὸ διπλάσιον ἀποτελεῖν τὸ ἀπὸ τοῦ μέσου τοῦ ὑπ’ ἐλαχίστου καὶ μέσου, καὶ ἔτι τὸ ὑπὸ τῶν μειζόνων ὅρων τοῦ ὑπὸ τῶν ἄκρων. καὶ ταύτης δὲ αἱ πολλαπλάσιαι τὰ αὐτὰ ἕξουσι παρακολουθήματα. γεννᾶται δὲ ἐκ τριῶν ἴσων ὅρων, πρῶτος ὅρος ἐκ πρώτου καὶ δευτέρου, μέσος ἐκ δύο πρώτων δύο δευτέρων, μείζων ἐκ τοῦ πρώτου δύο δευτέρων δύο τρίτων. ἡ δὲ ἕκτη, ὅταν ὡς ὁ μέγιστος τῶν τριῶν ὅρων πρὸς τὸν μέσον ἔχῃ, οὕτως καὶ ἡ τῶν ἐλαττόνων ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τῶν μειζόνων. διὰ ταὐτὰ δέ, δι’ ἅπερ καὶ ἡ πρὸ αὐτῆς, τῇ γεωμετρικῇ ἠναντίωται, οἷον αʹ δʹ ϛʹ. κἀνταῦθα δὲ πρόλογός ἐστιν ἡ τῶν ἐλαττόνων ὅρων διαφορά, τῆς γεωμετρικῆς πρόλογον ἐχούσης τὴν τῶν μειζόνων ὅρων πρὸς ἀλλήλους, καὶ συνάμφω τῶν διαφορῶν πρὸς ἀλλήλας ἡμιόλιοί εἰσι. τοιοῦτοι γενήσονται καὶ οἱ τὸ ἴδιον 〈ταύτης〉 τῆς μεσότητος ἀποδιδόντες λόγοι. τὸ γὰρ ἀπὸ τοῦ μεγίστου ϛʹ ἡμιόλιόν ἐστι τοῦ ὑπὸ τῶν μειζόνων ὅρων, καὶ αὐτὸ τοῦτο 〈τὸ〉 ἀπὸ τοῦ μέσου καὶ αὕτη δ’ ἂν γεννηθείη ἐκ τριῶν ἐν ἰσότητι ὅρων οὕτως·

πρῶτος πρώτῳ ἴσος, δεύτερος δυσὶ πρώτοις δυσὶ δευτέροις, τρίτος ἐξ ἅπαξ πρώτου δὶς δευτέρου τρὶς τρίτου. ἡ μὲν οὖν πρωτότυπος ἀπὸ μονάδων ἐστίν, αἱ δὲ ταύτης πολλαπλάσιαι ἀπὸ δυάδων καὶ τριάδων καὶ τῶν ἑξῆς ἰσοτήτων.

Εἴρηται καὶ περὶ τῶν ἑξῆς ταῖς πρώταις τριῶν μεσοτήτων, αἷς καὶ οἱ ἀπὸ Πλάτωνος μέχρις Ἐρατοσθένους ἐχρήσαντο, ἄρξαντος ὡς ἔφαμεν τῆς εὑρέσεως αὐτῶν Ἀρχύτα καὶ Ἱππάσου τῶν μαθηματικῶν. τὰς δ’ ὑπὸ τῶν μετὰ ταῦτα νεωτέρων περὶ τε Μυωνίδην καὶ Εὐφράνορα τοὺς Πυθαγορικοὺς προσφιλοτεχνηθείσας τέσσαρας οὔτε παραλείπειν ἄξιον· ἀφιλόκαλον γὰρ τὸ τοιοῦτον· οὔτε μὴν ἐπεκτείνειν τὸν περὶ αὐτῶν λόγον, διὰ τὸ μηδὲν οὕτω σεμνὸν αὐτὰς ἔχειν μηδὲ ποικίλον, ὡς τὰς πρὸ αὐτῶν. διόπερ ἐν ἐπιδρομῇ ῥητέον περὶ αὐτῶν στοχαζομένους ἅμα καὶ τῆς τοῦ βιβλίου συμμετρίας. ὠνομάσαμεν δ’ αὐτὰς ἁπλῶς οὕτως· ἑβδόμην καὶ ὀγδόην καὶ ἐνάτην καὶ δεκάτην.

καὶ ἔστιν ἡ μὲν ἑβδόμη, ὅταν ὡς ὁ μέγιστος πρὸς τὸν ἐλάχιστον ἔχῃ, οὕτως ἡ αὐτῶν διαφορὰ πρὸς τὴν τῶν ἐλαττόνων, οἷον ϛʹ ηʹ θʹ. γένεσις δὲ αὐτῆς ἐκ τῆς τετάρτης γʹ εʹ ϛʹ· τὰ γὰρ ἐκείνης ἄκρα συνθεὶς ταύτης μέγιστον τάσσω, ἐκ δὲ ἐλαχίστου καὶ μέσου τὸν ταύτης ποιῶ μέσον, τὸν δ’ ἐκείνης μέγιστον ταύτης ἐλάχιστον. παρακολουθεῖ δὲ ταύτῃ τὸ ἔχειν τὸν αὐτὸν λόγον τὸ ὑπὸ τῶν μειζόνων ὅρων πρόμηκες πρὸς τὰ ὑπὸ τῶν ἐλαττόνων, ὅνπερ καὶ ὁ μέγιστος ὅρος πρὸς τὸν ἐλάχιστον ἔχει, καὶ ἡ τῶν ἄκρων διαφορὰ πρὸς τὴν τῶν ἐλαττόνων. ἡ δὲ ὀγδόη θεωρεῖται, ὅταν ὡς ὁ μέγιστος πρὸς τὸν ἐλάχιστον ἔχῃ, οὕτως καὶ ἡ αὐτῶν

τούτων ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τοῦ μεγίστου παρὰ