Περὶ τῆς Νικομάχου ἀριθμητικῆς εἰσαγωγῆς (156-160)

ἁρμονικὴν

ὡς ἀεὶ ἀκρότητα· τὰ γὰρ ἑκατέρας ἰδιώματα ἐφ’ ἑαυτῆς ἀναμίξει. ἦν μὲν γὰρ τῆς ἁρμονικῆς ἴδιον τὸ τὸν μέσον ὅρον ὑπερέχειν τε καὶ ὑπερέχεσθαι μέρει αὐτῶν τῶν ἄκρων ποιότητι τῷ αὐτῷ, εἰ καὶ μὴ ποσότητι, οὐδέποτε δὲ τοῦ μέσου· τῆς δὲ ἀριθμητικῆς ἀνάπαλιν οὐκέτι τῶν ἄκρων, ἀλλὰ τοῦ μέσου καὶ ποσότητι τῷ αὐτῷ. ἐπὶ δὲ τῆς γεωμετρικῆς ὁ μέσος ὅρος ᾧ ὑπερέχει καὶ ὑπερέχεται μέρει, ἐκεῖνο οὔτε μόνων τῶν ἄκρων ἐστὶν οὔτε μόνου τοῦ μέσου, ἀλλὰ καὶ μέσου καὶ ἄκρων· τοῦ μὲν γὰρ ἑτέρου τῶν ἄκρων ὑπερέξει αὑτοῦ μέρει, ὑπερσχεθήσεται δὲ ὑπὸ θατέρου τοῦ ἐκείνου μέρει· τὸ δὲ αὐτὸ ἔσται ποιότητι, εἰ καὶ μὴ ποσότητι τὸ μέρος, ὡς ἐπὶ τῆς ἁρμονικῆς. πολλάκις δὲ καὶ πλείοσι μέρεσιν ὑπερέξει τε καὶ ὑπερσχεθήσεται, ἐπὶ ποιότητι πάλιν τοῖς αὐτοῖς, ὥστε καὶ κοινόν τι ἕξει πρὸς τὴν ἁρμονικὴν τὸ μόνον ποιότητι ταὐτὸν εἶναι τὸ μέρος, μηκέτι δὲ ποσότητι, καὶ κατὰ τοῦτο οὐκ ἔσται αὐτῇ ὑπεναντία ἡ ἁρμονική. πάλιν ἐν μὲν τῇ ἀριθμητικῇ κατὰ μὲν τοὺς μείζονας ὅρους οἱ ἐλάττονες λόγοι ἐφαίνοντο, κατὰ δὲ τοὺς ἐλάττονας

οἱ μείζονες· ἐν δὲ τῇ ἁρμονικῇ ὑπεναντίως μείζονες μὲν ἐν τοῖς μείζοσιν, ἐλάττονες δὲ ἐν τοῖς ἐλάττοσιν, ἐν δὲ τῇ γεωμετρικῇ ὡσανεὶ μέσῃ αὐτῶν οὔσῃ οὔτε ἐλάττονες οὔτε μείζονες, ἀλλ’ ἴσοι. διὰ δὴ ταῦτα εὐλόγως ἂν μόνῃ τῇ ἀριθμητικῇ ὑπεναντία ἡ ἁρμονικὴ λέγοιτο, οὐκέτι δὲ καὶ τῇ γεωμετρικῇ. ἴδιον δὲ ἔχει ἡ ἁρμονικὴ τὸ ὑπὸ μέσου καὶ συνάμφω τῶν ἄκρων εἶναι διπλάσιον τοῦ ὑπὸ μόνων τῶν ἄκρων γινομένου. γεννᾶται

δὲ προστάγμασι τούτοις πάλιν ἀπὸ ἰσότητος πρῶτον ἐκ μονάδων 〈εἶτα δυάδων〉 εἶτα τριάδων καὶ ἐφεξῆς· πρῶτον ἐκ πρώτου καὶ δευτέρου, δεύτερον δὲ ἐκ πρώτου δύο δευτέρων, τρίτον δὲ ἐκ πρώτου δὶς δευτέρου τρὶς τρίτου, ἵνα γένηται ἡ τὰ ἄκρα καὶ τὰς διαφορὰς ἐν τριπλασίῳ λόγῳ ἔχουσα. εἰ δὲ ᾖ ἐν διπλασίῳ, πρῶτον ἐκ πρώτου καὶ δὶς δευτέρου, δεύτερον δ’ ἐκ δὶς πρώτου καὶ δὶς δευτέρου, τρίτον δὲ ἐξ ἅπαξ πρώτου δὶς δευτέρου τρὶς τρίτου. ἀπὸ μὲν γὰρ ἰσότητος ἐν μονάσιν ἔσονται κατὰ τὰ εἰρημένα προστάγματα αἱ πυθμενικαὶ δύο μεσότητες ἡ βʹ γʹ ϛʹ καὶ ἡ γʹ δʹ ϛʹ· ἀπὸ δὲ τῆς ἐν δυάσιν 〈αἱ διπλάσιαι καὶ ἀπὸ τῆς ἐν τριάσιν〉 αἱ τριπλάσιαι καὶ ἐφεξῆς. ἀπὸ πασῶν δὲ τῶν γινομένων πλάσεων τὰ ἰδιώματα τῆς ἁρμονικῆς παρακολουθήσει.

Καθάπερ δὲ ἐπὶ τοῦ κανόνος τῶν ἐξάψεων μενουσῶν ὁ ὑπαγωγεὺς μεθιστάμενος ποικίλας

συμφωνίας ἀποτελεῖ, τὸν αὐτὸν τρόπον δυνατόν ἐστι, δύο ὅρων δοθέντων εἴτε ἀρτίων εἴτε καὶ περισσῶν καὶ τῶν αὐτῶν διαμενόντων, ἄλλην καὶ ἄλλην μεσότητα νῦν μὲν ἀριθμητικὴν ἀποτελεῖν νῦν δὲ γεωμετρικὴν νῦν δὲ τὴν τῇ ἀριθμητικῇ ὑπεναντίαν, τουτέστιν ἁρμονικήν· ἰδοὺ γὰρ ἐν μὲν ἀρτίοις ὅροις τῷ τε μʹ καὶ τῷ ιʹ ὁ μὲν κεʹ ὅρος μεσότης γενόμενος ἀριθμητικὴν ἀποτελεῖ, ᾗ καὶ τὰ ἰδιώματα πάντα παρακολουθήσει, ὁ δὲ κʹ γεωμετρικὴν σὺν τοῖς ἰδιώμασιν αὐτῆς, ὁ δὲ ιϛʹ ἁρμονικὴν μετὰ τῶν προσηκόντων συμπτωμάτων.

ἐν δὲ περισσοῖς ὅροις τῷ τε μεʹ καὶ τῷ εʹ ὁ αὐτὸς κεʹ μεσεμβοληθεὶς ὁμοίως ποιήσει τὴν ἀριθμητικήν·

αἴτιον δ’ ὅτι οἷον προσέλαβεν ὁ μείζων πρὸς 〈τὸν μέσον〉, τοσούτων ἀφῃρέθη ὁ ἐλάττων, ὥστε κατ’ ἴσην πάλιν ὑπεροχὴν τὸν μέσον ὑπερέχειν τε καὶ ὑπερέχεσθαι· τοῦτο γὰρ ἦν ἀριθμητικῆς ἴδιον. ὁ δὲ ιεʹ μεσεμβοληθεὶς γεωμετρικὴν ποιήσει, ὁ δὲ θʹ τὴν ἁρμονικήν. ἐλάττονας δὲ ἀριθμοὺς τῶν ἐκκειμένων ἄκρων κατά τε τὸ περισσὸν εἶδος καὶ τὸ ἄρτιον περιεκτικοὺς τῶν τριῶν μεσοτήτων οὐκ ἄν τις εὕροι, ἀλλ’ οὗτοι ἂν εἶεν οἱ πυθμενικοὶ καὶ ἐλάχιστοι.

Καὶ αἵδε μὲν αἱ τρεῖς μεσότητες πρὸς τῶν παλαιῶν μόναι λόγου ἠξιοῦντο, διαφοραῖς χρώμεναι πρὸς ἀλλήλας καὶ ἰδιότησι καθ’ αὑτὰς ταῖς εἰρημέναις, ἐφηρμόζοντο δὲ ὑπ’ αὐτῶν καὶ τῇ κοσμικῇ συστάσει καὶ ἁρμονίᾳ, ὡς ἐν ἄλλοις δείξομεν. αἱ δὲ ἐπὶ ταύταις τρεῖς ἀπ’ Ἀρχύτου καὶ Ἱππάσου παραδοχῆς καὶ αὐταὶ ἠξιώθησαν, ὧν ἡ πρώτη, τετάρτη δὲ συναριθμουμένη τῶν ἐξ ἀρχῆς τριῶν, ἰδίως ὑπεναντία ὡς ἔφαμεν κέκληται, διὰ τὸ ὑπεναντίον τι πάσχειν τῇ ἁρμονικῇ διὰ τοὺς ἐνοφθέντας αὐτῇ τῶν συμφωνιῶν λόγους. ἔστι δ’ οὖν ἡ τετάρτη μεσότης τοιαύτη· τριῶν ὅρων ὡς ἔχει ὁ μείζων πρὸς

τὸν ἐλάττονα, οὕτως ἕξει ἡ τῶν ἐλαττόνων ὅρων διαφορὰ πρὸς τὴν τῶν μειζόνων. ὑπεναντία δὲ τῇ ἁρμονικῇ εἴρηται, διότι ἐν ἐκείνῃ ἡ τῶν μειζόνων ὅρων διαφορὰ πρόλογος ἦν, ἐπὶ δὲ ταύτης ἡ τῶν ἐλαττόνων. τοὺς δὲ ἄκρους τοὺς

αὐτοὺς διατηροῦσιν ἀμφότεραι κατά τε τὰς πυθμενικὰς καὶ τὰς τούτων πολλαπλασίους. ὑποδείγματα δὲ ταύτης ἔσται βʹ εʹ ϛʹ, γʹ εʹ ϛʹ, ἴδιον δὲ τὸ πολλαπλάσιον ἀποτελεῖν τὸ ὑπὸ τῶν μειζόνων ὅρων τοῦ ὑπὸ τῶν ἐλαττόνων. οὔτε δὲ τῷ αὐτῷ μέρει τῶν ἄκρων αὐτῶν ὁ μέσος ὅρος ὑπερέξει τε καὶ ὑπερσχεθήσεται ὡς ἐπὶ τῆς ἁρμονικῆς, οὔτε τῷ ἑαυτοῦ μέρει ὡς ἐπὶ τῆς ἀριθμητικῆς, οὔτε ἅμα τῷ τε ἑαυτοῦ καὶ τοῦ ἑτέρου τῶν ἄκρων ὡς ἐπὶ τῆς γεωμετρικῆς, ἀλλ’ ἔσται τις ἰδιότης κατὰ τὴν ὑπεροχὴν ἑαυτῆς. γεννᾶται