Περὶ τῆς Νικομάχου ἀριθμητικῆς εἰσαγωγῆς (151-155)

ἐκθετέον κἀνταῦθα στιχηδὸν ταὐτούς τε καὶ ἑτέρους ἑκατέρους ἀπὸ τῆς οἰκείας ἀρχῆς, καὶ συναρμοστέον κατ’ ἐμπλοκὴν αὐτούς, ὥσθ’ ἑκάστην συζυγίαν τριῶν ὅρων εἶναι, καὶ κατὰ συνέχειάν γε ἀεὶ τῆς προτέρας συζυγίας τοῦ ὑστάτου ἄρχοντος τῆς μετ’ αὐτήν· κατὰ γὰρ τὴν ἀδιάζευκτον ἐκλογὴν ἕκαστοι τρεῖς ὅροι ἀπὸ μονάδος παραδείξουσι τὸ ζητούμενον.

Ἡ δὲ τρίτη μεσότης ἡ καλουμένη ἁρμονική ἐστιν, ὅταν τριῶν ὅρων ἀνίσων ὡς ἔχει ὁ μείζων ὅρος πρὸς τὸν ἐλάχιστον, οὕτως ἡ ὑπεροχὴ μειζόνων ὅρων πρὸς ὑπεροχὴν ἐλαττόνων, τουτέστιν ἡ τοῦ μείζονος παρὰ τὸν μέσον ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τοῦ μέσου παρὰ τὸν ἐλάττονα. ἑτέρα δέ ἐστιν αὕτη παρὰ τὰς πρὸ αὐτῆς,

εἰρημένοις πυθμενικοῖς ὅροις ὥσπερ ἑστῶσι καὶ πρωτοτύποις φαίνεται· ἐπὶ γὰρ τῆς ἀριθμητικῆς καὶ γεωμετρικῆς ἀπείρους συζυγίας ἔνεστι συντάττεσθαι. ἀλλ’ οὖν ἐν ἀμφοτέραις ταῖς πυθμενικαῖς οἵ τε ἄκροι ἐν διπλασίῳ καὶ τριπλασίῳ λόγῳ εἰσὶ πρὸς ἀλλήλους καὶ αἱ τῶν μειζόνων πρὸς τοὺς μέσους διαφοραὶ πρὸς τὰς τῶν μέσων πρὸς τοὺς ἐλάττονας. ἁρμονικὴ δὲ κέκληται ἡ μεσότης ὅτι σπερματικῶς τοὺς ἐν ἁρμονίᾳ λόγους ἔστιν ἐνιδεῖν αὐτῇ, οἷον ἐν τῇ γʹ δʹ ϛʹ τὸ διὰ τεσσάρων λεγόμενον σύμφωνον, ὅπερ ἐλάχιστόν ἐστι τῶν ἄλλων συμφώνων διαστημάτων, ἐν ἐπιτρίτῳ λόγῳ θεωρούμενον ἐν ὅροις ἐστὶ τοῖς ἐλάττοσι, τουτέστι τῷ δʹ πρὸς γʹ· τὸ δὲ διὰ πέντε, ὅπερ ἑξῆς μετὰ τὸ διὰ τεσσάρων ἐστὶν ἐν ἡμιολίῳ λόγῳ ὂν ἐν τοῖς μείζοσιν ὅροις, τουτέστι τῷ ϛʹ πρὸς δʹ· τὸ δὲ διὰ πασῶν σύστημα ὂν ἀμφοτέρων τῶν προειρημένων καὶ ἐν διπλασίονι λόγῳ θεωρούμενον ἐν τοῖς ἄκροις, τουτέστι τῷ ϛʹ πρὸς γʹ. καὶ ἔτι ἡ τοῦ ϛʹ διαφορὰ παρὰ τὸν δʹ πρὸς τὴν τοῦ δʹ παρὰ τὸν γʹ ὁμοίως ἐν διπλασίῳ λόγῳ ἐστί, κατὰ τὴν διὰ πασῶν συμφωνίαν.

καὶ μὴν καὶ ἡ δύναμις τῶν ἄκρων ἐπ’ ἀλλήλους γενομένων

ἐν δὲ τριπλασίῳ λόγῳ, ἵνα τὸ διὰ πασῶν καὶ διὰ πέντε συστῇ, ὁ λϛʹ πρὸς τὸν ιβʹ, ἐν δὲ τετραπλασίῳ, ἵνα τὸ δὶς διὰ πασῶν φανῇ, ὁ λϛʹ πρὸς θʹ, ἐν δὲ ἐπογδόῳ πρὸς τὴν τοῦ τονιαίου διαστήματος ἔμφασιν τὰ ιηʹ τοῦ ιϛʹ, ὡς προερρήθη. καὶ ἡ ἑτέρα δὲ πυθμενικὴ μεσότης ἡ βʹ γʹ ϛʹ αὐτόθεν μὲν ἔχει τὸν τριπλάσιον λόγον ἔν τε τοῖς ἄκροις πρὸς ἀλλήλους καὶ τὰς διαφορὰς πάλιν πρὸς ἀλλήλας, ἐν ᾧ λόγῳ ἐστὶν ἡ

τὸ Πλατωνικόν· ἁρμονικὴ γάρ ἐστιν ἡ μεσότης ἡ ταὐτῷ μέρει τῶν ἄκρων αὐτῶν ὑπερέχουσά τε καὶ ὑπερεχομένη, ὅπερ ἄλλῃ οὐ συμβέβηκεν· ἐπί τε γὰρ τῆς βʹ γʹ ϛʹ [τῷ αὐτῷ μέρει] ὁ μέσος ὅρος τῷ αὐτῷ μέρει τῶν ἄκρων, τουτέστιν ἡμίσει, ὑπερέχει τε καὶ ὑπερέχεται· ὑπερέχει μὲν τοῦ ἐλάττονος, ὑπερέχεται δὲ ὑπὸ τοῦ μείζονος· ἐπί τε τῆς γʹ δʹ ϛʹ πάλιν ὁ μέσος ὅρος τῷ αὐτῷ μέρει τρίτῳ, τῶν ἄκρων ὑπερέχει μὲν τοῦ γʹ, ὑπερέχεται δὲ ὑπὸ τοῦ ϛʹ· μονάδι γὰρ καὶ δυάδι. ὑπεναντία δὲ τῇ ἀριθμητικῇ μεσότητι αὕτη ἐνομίσθη ὑπὸ τῶν περὶ Πυθαγόραν, διότι ἐκείνη τὸν μέσον ὑπερεχόμενόν τε καὶ ὑπερέχοντα εἶχεν ἰδίῳ αὑτοῦ μέρει οὐκέτι τῶν ἄκρων καὶ τῷ αὐτῷ· ἴσῳ γὰρ ὑπερέχει καὶ ὑπερέχεται ἀριθμῷ ἢ μονάδι, ἐπὶ δὲ τῆς ἁρμονικῆς οὐκ ἴσῳ. ἐπεὶ δὲ βούλονταί τινες ὑπεναντίαν ἀμφοτέραις ἀριθμητικῇ τε καὶ γεωμετρικῇ ταύτην ἐκδέχεσθαι, ἔφαμεν δὲ ἡμεῖς τῇ ἀριθμητικῇ μόνῃ ὑπεναντίον τι πάσχειν, συλλήψεται ἡμῖν κἀκεῖνο· ἐφέξει γὰρ τὸ μικτόν τι παθοῦσαν φαίνεσθαι τὴν γεωμετρικὴν καὶ μεσότητος λόγον ἔχειν πρός τε ἀριθμητικὴν καὶ