Sectio canonis [Sp.] (pr-4)

Κατατομὴ κανόνος.

Εἰ ἡσυχία εἴη καὶ ἀκινησία, σιωπὴ ἂν εἴη· σιωπῆς δὲ οὔσης καὶ μηδενὸς κινουμένου οὐδὲν ἂν ἀκούοιτο· εἰ ἄρα μέλλει τι ἀκουσθήσεσθαι, πληγὴν καὶ κίνησιν
πρότερον δεῖ γενέσθαι. ὥστε ἐπειδὴ πάντες οἱ φθόγγοι γίνονται πληγῆς τινος γινομένης, πληγὴν δὲ ἀμήχανον γενέσθαι μὴ οὐχὶ κινήσεως πρότερον γενομένης, — τῶν δὲ κινήσεων αἱ μὲν πυκνότεραί εἰσιν, αἱ δὲ ἀραιότεραι, καὶ αἱ μὲν πυκνότεραι ὀξυτέρους ποιοῦσι
τοὺς φθόγγους, αἱ δὲ ἀραιότεραι βαρυτέρους, — ἀναγκαῖον τοὺς μὲν ὀξυτέρους εἶναι, ἐπείπερ ἐκ πυκνοτέρων [*] [*] [*]

καὶ πλειόνων σύγκεινται κινήσεων, τοὺς δὲ βαρυτέρους ἐπείπερ ἐξ ἀραιοτέρων καὶ ἐλασσόνων σύγκεινται κινήσεων. ὥστε τοὺς μὲν ὀξυτέρους τοῦ δέοντος ἀνιεμένους ἀφαιρέσει κινήσεως τυγχάνειν τοῦ δέοντος, τοὺς δὲ
βαρυτέρους ἐπιτεινομένους προσθέσει κινήσεως τυγχά- νειν τοῦ δέοντος. διόπερ ἐκ μορίων τοὺς φθόγγους συγκεῖσθαι φατέον, ἐπειδὴ προσθέσει καὶ ἀφαιρέσει τυγχάνουσι τοῦ δέοντος. πάντα δὲ τὰ ἐκ μορίων συγκείμενα ἀριθμοῦ λόγῳ λέγεται πρὸς ἄλληλα, ὥστε καὶ
τοὺς φθόγγους ἀναγκαῖον ἐν ἀριθμοῦ λόγῳ λέγεσθαι πρὸς ἀλλήλους· τῶν δὲ ἀριθμῶν οἱ μὲν (p. 24 Meib) ἐν πολλαπλασίῳ λόγῳ λέγονται, οἱ δὲ ἐν ἐπιμορίῳ, οἱ δὲ ἐν ἐπιμερεῖ, ὥστε καὶ τοὺς φθόγγους ἀναγκαῖον ἐν τοῖς τοιούτοις λόγοις λέγεσθαι πρὸς ἀλλήλους. τούτων
δὲ οἱ μὲν πολλαπλάσιοι καὶ ἐπιμόριοι ἑνὶ ὀνόματι λέ- γονται πρὸς ἀλλήλους.

Γινώσκομεν δὲ καὶ τῶν φθόγγων τοὺς μὲν συμφώνους ὄντας, τοὺς δὲ διαφώνους, καὶ τοὺς μὲν συμφώνους μίαν κρᾶσιν τὴν ἐξ ἀμφοῖν ποιοῦντας, τοὺς
δὲ διαφώνους οὔ. τούτων οὕτως ἐχόντων εἰκὸς τοὺς συμφώνους φθόγγους, ἐπειδὴ μίαν τὴν ἐξ ἀμφοῖν ποιοῦνται κρᾶσιν τῆς φωνῆς, εἶναι τῶν ἐν ἑνὶ ὀνόματι πρὸς ἀλλήλους λεγομένων ἀριθμῶν, ἤτοι πολλαπλασίους ὄντας ἢ ἐπιμορίους.

[*]

Ἐὰν διάστημα πολλαπλάσιον δὶς συντεθὲν ποιῇ τι διάστημα, καὶ αὐτὸ πολλαπλάσιον ἔσται.

Ἔστω διάστημα τὸ βγ, καὶ ἔστω πολλαπλάσιος ὁ β τοῦ γ, καὶ γεγενήσθω ὡς ὁ γ
πρὸς τὸν β ὁ β πρὸς τὸν δ. φημὶ δὴ τὸν δ τοῦ γ πολλαπλάσιον εἶναι. ἐπεὶ γὰρ ὁ β τοῦ πολλαπλάσιός ἐστι, μετρεῖ ἄρα ὁ τὸν β. ἦν δὲ καὶ ὡς ὁ (p. 25) πρὸς (η) (δ) (β) τὸν β ὁ β πρὸς τὸν δ, ὥστε μετρεῖ ὁ
γ καὶ τὸν δ. πολλαπλάσιος ἄρα ἐστὶν ὁ δ τοῦ γ.

[*][*][*][*]

Ἐὰν διάστημα δὶς συντεθὲν τὸ ὅλον ποιῇ πολλαπλάσιον, καὶ αὐτὸ ἔσται πολλαπλάσιον. γ β δ σ ιβ κδ

Ἔστω διάστημα τὸ βγ καὶ γεγενήσθω ὡς ὁ πρὸς τὸν β οὕτως ὁ β πρὸς τὸν δ, καὶ ἔστω ὁ δ τοῦ γ πολλαπλάσιος. φημὶ καὶ τὸν β τοῦ εἶναι πολλαπλάσιον. ἐπεὶ γὰρ ὁ δ τοῦ πολλαπλάσιός ἐστι, μετρεῖ ἄρα ὁ τὸν δ. ἐμάθομεν δὲ ὅτι, ἐὰν ὦσιν
ἀριθμοὶ ἀνάλογον ὁποσοιοῦν, ὁ δὲ πρῶτος τὸν ἔσχατον μετρῇ, καὶ τοὺς μεταξὺ μετρήσει. μετρεῖ ἄρα ὁ γ τὸν β, πολλαπλάσιος ἄρα ὁ β τοῦ γ.

[*][*]

Ἐπιμορίου διαστήματος οὐδεὶς μέσος, οὔτε εἷς οὔτε πλείους ἀνάλογον ἐμπεσεῖται ἀριθμός. (p. 26.)

Ἔστω γὰρ ἐπιμόριον διάστημα τὸ βγ· ἐλάχιστοι δὲ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ
τοῖς βγ ἔστωσαν οἱ δζ θ. οὗτοι οὖν ὑπὸ μονάδος μόνης μετροῦνται κοινοῦ μέτρου. ἄφελε ἶσον τῷ θ τὸν ηζ. καὶ ἐπεὶ ἐπιμόριός ἐστιν ὁ δζ τοῦ θ, ἡ ὑπεροχὴ ὁ δη κοινὸν μέτρον τοῦ
τε δζ καὶ τοῦ θ ἐστι· μονὰς ἄρα ὁ δη· οὐκ ἄρα ἐμπεσεῖται εἰς τοὺς δζ θ μέσος οὐδείς. ἔσται γὰρ ὁ ἐμπίπτων τοῦ δζ ἐλάττων, τοῦ δὲ θ μείζων, ὥστε τὴν μονάδα διαιρεῖσθαι,
ὅπερ ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἐμπεσεῖται εἰς τοὺς δζ θ τις. [*] [*]

ὅσοι δὲ εἰς τοὺς ἐλαχίστους μέσοι ἀνάλογον ἐμπίπτουσι, τοσοῦτοι καὶ εἰς τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας ἀνάλογον μπεσοῦνται. οὐδεὶς δὲ εἰς τοὺς δζ θ ἐμπεσεῖται, οὐδὲ εἰς τοὺς β ἐμπεσεῖται.

Ἐὰν διάστημα μὴ πολλαπλάσιον δὶς συντεθῇ, τὸ ὅλον οὔτε πολλαπλάσιον ἔσται, οὔτε ἐπιμόριον.

Ἔστω γὰρ διάστημα μὴ πολλαπλάσιον, τὸ βγ, καὶ γεγενήσθω ὡς ὁ (p. 27) πρὸς τὸν
β ὁ β πρὸς τὸν δ. λέγω ὅτι ὁ δ τοῦ γ οὔτε πολλαπλάσιος οὔτε ἐπιμόριός ἐστιν. Ἔστω γὰρ πρῶτον ὁ δ τοῦ γ πολλαπλάσιος. οὐκοῦν ἐμάθομεν, ὅτι ἐὰν διάστημα δὶς συντεθὲν τὸ ὅλον ποιῇ πολλαπλάσιον, καὶ αὐτὸ πολλαπλάσιόν
ἐστιν. ἔσται ἄρα ὁ β τοῦ πολλαπλάσιος. οὐκ ἦν δέ. ἀδύνατον ἄρα τὸν τοῦ εἶναι πολλαπλάσιον. [*] [*] [*]

ἀλλὰ μὴν οὐδʼ ἐπιμόριον. ἐπιμορίου γὰρ διαστήματος μέσος οὐδεὶς ἀνάλογον ἐμπίπτει. εἰς δὲ τοὺς δγ ἐμπίπτει ὁ β. ἀδύνατον ἄρα τὸν δ τοῦ γ ἢ πολλαπλάσιον ἢ ἐπιμόριον εἶναι.