ΕΥΚΛΕΙΔΟΥ

Κατατομὴ κανόνος.

Εἰ ἡσυχία εἴη καὶ ἀκινησία, σιωπὴ ἂν εἴη· σιωπῆς δὲ οὔσης καὶ μηδενὸς κινουμένου οὐδὲν ἂν ἀκούοιτο· εἰ ἄρα μέλλει τι ἀκουσθήσεσθαι, πληγὴν καὶ κίνησιν πρότερον δεῖ γενέσθαι. ὥστε ἐπειδὴ πάντες οἱ φθόγγοι γίνονται πληγῆς τινος γινομένης, πληγὴν δὲ ἀμήχανον γενέσθαι μὴ οὐχὶ κινήσεως πρότερον γενομένης, — τῶν δὲ κινήσεων αἱ μὲν πυκνότεραί εἰσιν, αἱ δὲ ἀραιότεραι, καὶ αἱ μὲν πυκνότεραι ὀξυτέρους ποιοῦσι τοὺς φθόγγους, αἱ δὲ ἀραιότεραι βαρυτέρους, — ἀναγκαῖον τοὺς μὲν ὀξυτέρους εἶναι, ἐπείπερ ἐκ πυκνοτέρων Variae lectiones. Εἰςαγωγὴ ἁρμονικὴ Εὐκλείδου sub- scriptum Cleonidis introductioni M. Εὐκλείδου κατατομὴ κανό- νος huius libelli titulus in MU. nullus tit. in VW. περὶ φθόγγων NB, repetit foliorum tit. Κλεονείδου εἰςαγωγὴ ἁρ- μονική B. 3 ἡσυχίας οὔσης καὶ ἀκινησίας W. 4 οὐδὲ N. 5 πλη- γὴν ἄρα καὶ W. 6 ὥστε ἐπει] οἵ γε W. Ad prooemium cf. commentarium Ps. -Porphyri in Ptole- maei harmonica p. 266 et Adrastum apud Theonem de musica c. 6 (p. 50). καὶ πλειόνων σύγκεινται κινήσεων, τοὺς δὲ βαρυτέρους ἐπείπερ ἐξ ἀραιοτέρων καὶ ἐλασσόνων σύγκεινται κινήσεων. ὥστε τοὺς μὲν ὀξυτέρους τοῦ δέοντος ἀνιεμένους ἀφαιρέσει κινήσεως τυγχάνειν τοῦ δέοντος, τοὺς δὲ βαρυτέρους ἐπιτεινομένους προσθέσει κινήσεως τυγχά- νειν τοῦ δέοντος. διόπερ ἐκ μορίων τοὺς φθόγγους συγκεῖσθαι φατέον, ἐπειδὴ προσθέσει καὶ ἀφαιρέσει τυγχάνουσι τοῦ δέοντος. πάντα δὲ τὰ ἐκ μορίων συγκείμενα ἀριθμοῦ λόγῳ λέγεται πρὸς ἄλληλα, ὥστε καὶ τοὺς φθόγγους ἀναγκαῖον ἐν ἀριθμοῦ λόγῳ λέγεσθαι πρὸς ἀλλήλους· τῶν δὲ ἀριθμῶν οἱ μὲν (p. 24 Meib) ἐν πολλαπλασίῳ λόγῳ λέγονται, οἱ δὲ ἐν ἐπιμορίῳ, οἱ δὲ ἐν ἐπιμερεῖ, ὥστε καὶ τοὺς φθόγγους ἀναγκαῖον ἐν τοῖς τοιούτοις λόγοις λέγεσθαι πρὸς ἀλλήλους. τούτων δὲ οἱ μὲν πολλαπλάσιοι καὶ ἐπιμόριοι ἑνὶ ὀνόματι λέ- γονται πρὸς ἀλλήλους.

Γινώσκομεν δὲ καὶ τῶν φθόγγων τοὺς μὲν συμφώνους ὄντας, τοὺς δὲ διαφώνους, καὶ τοὺς μὲν συμφώνους μίαν κρᾶσιν τὴν ἐξ ἀμφοῖν ποιοῦντας, τοὺς δὲ διαφώνους οὔ. τούτων οὕτως ἐχόντων εἰκὸς τοὺς συμφώνους φθόγγους, ἐπειδὴ μίαν τὴν ἐξ ἀμφοῖν ποιοῦνται κρᾶσιν τῆς φωνῆς, εἶναι τῶν ἐν ἑνὶ ὀνόματι πρὸς ἀλλήλους λεγομένων ἀριθμῶν, ἤτοι πολλαπλασίους ὄντας ἢ ἐπιμορίους.

1 a κινήσεων ad l. 2 κινήσεων aberravit M1. addit mg. M2. 3 ἀνειμένους W. 4 κινήσεων libb., sed cf. l. 5. 5 προθέσει M1N, item lin. 7. 10 ἐν] ἐπʼ N 12 π. πλασίῳ W, π.πλασίονι MN. 14 λόγοις M2 supra lin. 18 post συμφώνους addit συμφώνου W, simile quid habe- bat M1. 19 κρᾶσιν] πράξιν W. 20 οὔ M2 in ras. 22 ποιοῦντα N.

Ἐὰν διάστημα πολλαπλάσιον δὶς συντεθὲν ποιῇ τι διάστημα, καὶ αὐτὸ πολλαπλάσιον ἔσται.

Ἔστω διάστημα τὸ βγ, καὶ ἔστω πολλαπλάσιος ὁ β τοῦ γ, καὶ γεγενήσθω ὡς ὁ γ πρὸς τὸν β ὁ β πρὸς τὸν δ. φημὶ δὴ τὸν δ τοῦ γ πολλαπλάσιον εἶναι. ἐπεὶ γὰρ ὁ β τοῦ πολλαπλάσιός ἐστι, μετρεῖ ἄρα ὁ τὸν β. ἦν δὲ καὶ ὡς ὁ (p. 25) πρὸς (η) (δ) (β) τὸν β ὁ β πρὸς τὸν δ, ὥστε μετρεῖ ὁ γ καὶ τὸν δ. πολλαπλάσιος ἄρα ἐστὶν ὁ δ τοῦ γ.

1 Hinc quae sequuntur ad p. 161, 14. 15 leguntur etiam apud Porphyrium vel potius auctorem commentarii ad Ptolemaei harmonica (Prol. p. 116 ann. 1) p. 272 ss.Numeros quibus singulae protases distinguantur omit- tunt M1 W, asteriscis et numeris Graecis αβ notant M2V, Arabum numeros 1 2 ascribit N.Diagrammatum veterum lineis ad horizontem directis neglegenter pictorum (qua alia vides ad prot. 2) exigua exstant vestigia in MW p. 151, 1—3. 152, 7. 11. 153, 5. 154, 7. 158, 7 quae reiecta esse solent ad posteriores protases. — Novas ascripsit figuras marg., quorum lineae ad perpendiculum sunt directae (v. fig. 1. 3 sqq). neglecta tamen M2 vera longitudine lineas omnes exaequaverunt. diligentius veram linearum mensuram observant et Par. 2535, diligentius etiam Barb. II 86, id quod Euclidis sententia intellecta fieri facile potuit. recta haec linearum mensura cum ad volun- tatem Euclidis cognoscendam videretur necessaria, ego in illis delineandis recentiorum codicum rationem amplexus sum; si quid praeter longitudinem in M2 discrepabat. semper notavi. rettulit autem diagrammata in locos iusto superiores, ut fig. 15 inveniatur apud prot. 8. — Exstat hoc diagramma suo loco in M2 mg., V U, (de NPB qui ad duas protases demon- strandas uno utuntur diagrammate vide infra). aliud habent diagramma una linea ad horizontem porrecta numerisque 4 8 16 signata M1W inter verba prot. 2. quo enim quaeque sit revo- canda figura, clare elucet e quattuor lineis diagrammatis 3.4 π.πλάσιος ὁ Porph. (scil. ἀριθμός), π π.πλάσιον τὸ libri Eucl. 6 πρὸς τὸ β MN. τὸ δ WNU. 8 π.πτλάσιον M μετρεῖ] καὶ add. libri. καὶ τὸν Porph, γ πρὸς τὸν WV, γ///τὸν τὸν M. γ τὸν rel.

Ἐὰν διάστημα δὶς συντεθὲν τὸ ὅλον ποιῇ πολλαπλάσιον, καὶ αὐτὸ ἔσται πολλαπλάσιον. γ β δ σ ιβ κδ

Ἔστω διάστημα τὸ βγ καὶ γεγενήσθω ὡς ὁ πρὸς τὸν β οὕτως ὁ β πρὸς τὸν δ, καὶ ἔστω ὁ δ τοῦ γ πολλαπλάσιος. φημὶ καὶ τὸν β τοῦ εἶναι πολλαπλάσιον. ἐπεὶ γὰρ ὁ δ τοῦ πολλαπλάσιός ἐστι, μετρεῖ ἄρα ὁ τὸν δ. ἐμάθομεν δὲ ὅτι, ἐὰν ὦσιν ἀριθμοὶ ἀνάλογον ὁποσοιοῦν, ὁ δὲ πρῶτος τὸν ἔσχατον μετρῇ, καὶ τοὺς μεταξὺ μετρήσει. μετρεῖ ἄρα ὁ γ τὸν β, πολλαπλάσιος ἄρα ὁ β τοῦ γ.

1 συντεθὲν τὸ M2, συντεθῆ γ β δ ὅθεν τὸ W M1. ποιεῖ W. 2 ποιῆ πολλα δ η ιϚ πλάσιον M. ean- dem figurae partem W post ὡς ὁ lin. 5. 2 καὶ αὐτὸ ἔσται π. πλάσιον om. W N1, add. καὶ αὐτῶ ἐ. ππ. 3 hanc habent figuram M1W in protasi 3. (exstat enim p. 152, 12 post μέσοι in M, post διαστήματος in W linea tripartita cum litteris γ β δ et leguntur super οὔτε πλείους in W numeri Ϛ ιβ et post πλείους num. κδ, eosdem inserunt numeros post πλείους VU. in M μέσοι in ras., post πλείους rasura. ad illam autem protasin longe alia opus erat figura.) simile dia gramma atque ad prot. 1 M2. numeri tamen ιϚ η δ. hanc figuran cum numeris δ η ιϚ ad prot. 1 rettulerunt NPB, qui ad 2 dant fig. 3. 7 φημὶ δὴ M4. 8 ππ. φημί ἐστιν N1. delet φημί 9 ὁ γ] ὁ β W. ἐμάθομεν W et Porph, ἔμαθον rel. 10 post ἀριθμοὶ add. ἐφεξῆς M5 mg. πρῶτος corr. M, πρὸς V N. 11 μετρῇ B, μετρεῖ rel. μετρεῖ καὶ τοὺς μεταξὺ μετρήσει N2 mg.9 ἐμάθομεν haec quidem verba in Euclidis elementis non inveniuntur (cf. Heiberg, litterargesch. Studien ber Euklid. S. 53). Habes tamen in El. 8, 7 haec: ἐὰν ὦσιν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ [ἑξῆς] ἀνάλογον, ὁ δὲ πρῶτος τὸν ἔσχατον μετρῇ, καὶ τὸν δεύτερον μετρήσει. ex quibus etiam quae hoc loco demon- straturus est Euclides facillime sequuntur.

Ἐπιμορίου διαστήματος οὐδεὶς μέσος, οὔτε εἷς οὔτε πλείους ἀνάλογον ἐμπεσεῖται ἀριθμός. (p. 26.)

Ἔστω γὰρ ἐπιμόριον διάστημα τὸ βγ· ἐλάχιστοι δὲ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ τοῖς βγ ἔστωσαν οἱ δζ θ. οὗτοι οὖν ὑπὸ μονάδος μόνης μετροῦνται κοινοῦ μέτρου. ἄφελε ἶσον τῷ θ τὸν ηζ. καὶ ἐπεὶ ἐπιμόριός ἐστιν ὁ δζ τοῦ θ, ἡ ὑπεροχὴ ὁ δη κοινὸν μέτρον τοῦ τε δζ καὶ τοῦ θ ἐστι· μονὰς ἄρα ὁ δη· οὐκ ἄρα ἐμπεσεῖται εἰς τοὺς δζ θ μέσος οὐδείς. ἔσται γὰρ ὁ ἐμπίπτων τοῦ δζ ἐλάττων, τοῦ δὲ θ μείζων, ὥστε τὴν μονάδα διαιρεῖσθαι, ὅπερ ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἐμπεσεῖται εἰς τοὺς δζ θ τις. 1 de diagrammatis 2. partibus huc insertis v. supa. οὐδεὶς μέσος W, μέσος οὐδείς V, post μέσοι add. supra lin. οὐδείς N, sed delet, om. οὐδείς, sed hebet μέσοι οὔτε im ras. M. μέσοι U. (μέσος Wallis, μέσοι codd.) 3 ἐμπεσεῖται W et Porph. ἐμπεσοῦνται rel. ἀριθμοί Porph., ἀριθμός libri Eucl. Appicta est haec figura ad protasin 2 in N. similis (sed in duas partes discerpta) ad prot. 3 in M2, exigua exstant figurae vestigia in M1 W (vide ad lin. 7 et 11). addit autem N lineis δζ θ rationes δ γ et parti δ numerum α, lineas β γ idem signat numeris η Ϛ etiam M habet illas numerorum rationes, nisi quod ponit lin. β : = ιβ : θ, et lineae η dat numerum γ. hi tamen omnes numeri cum prohibeant quominus linearum rationes celeriter perspiciantur, noli litteris Graecis eos signare. 5 β Porph, β τοῦ γ libb. Eucl. ἐν VN Porph. 1 cf. Elem. 8, 8: ἐὰν δύο ἀριθμῶν μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπίπτωσιν ἀριθμοί, ὅσοι εἰς αὐτοὺς μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν ἀριθμοί, τοσοῦτοι καὶ εἰς τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας αὐτοῖς] μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνά- λογον ἐμπεσοῦνται. ὅσοι δὲ εἰς τοὺς ἐλαχίστους μέσοι ἀνάλογον ἐμπίπτουσι, τοσοῦτοι καὶ εἰς τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας ἀνάλογον μπεσοῦνται. οὐδεὶς δὲ εἰς τοὺς δζ θ ἐμπεσεῖται, οὐδὲ εἰς τοὺς β ἐμπεσεῖται.

Ἐὰν διάστημα μὴ πολλαπλάσιον δὶς συντεθῇ, τὸ ὅλον οὔτε πολλαπλάσιον ἔσται, οὔτε ἐπιμόριον.

Ἔστω γὰρ διάστημα μὴ πολλαπλάσιον, τὸ βγ, καὶ γεγενήσθω ὡς ὁ (p. 27) πρὸς τὸν β ὁ β πρὸς τὸν δ. λέγω ὅτι ὁ δ τοῦ γ οὔτε πολλαπλάσιος οὔτε ἐπιμόριός ἐστιν. Ἔστω γὰρ πρῶτον ὁ δ τοῦ γ πολλαπλάσιος. οὐκοῦν ἐμάθομεν, ὅτι ἐὰν διάστημα δὶς συντεθὲν τὸ ὅλον ποιῇ πολλαπλάσιον, καὶ αὐτὸ πολλαπλάσιόν ἐστιν. ἔσται ἄρα ὁ β τοῦ πολλαπλάσιος. οὐκ ἦν δέ. ἀδύνατον ἄρα τὸν τοῦ εἶναι πολλαπλάσιον. ἐπὶ W, perfossum im M. P. 152, 7 ὑπὸ] ἀπὸ N. ιβ ιγ (reliquiae figurae) post μόνης M1, post μέτρου (lin. 8) WU. 8 τὸν ηζ] τὸν ζ W, τὸν δʼ ηζ V. 9 καὶ ἐπεὶ W, om. rel., λοιπὸν μόνον VN. post τὸν (8) rasura et ηζ καὶ ἐπίλοιπον μον ν i. e. μονάς M3. post ἐστιν addunt ἄρα M2N. 10 ὁ δη] ὁ δ W. 11 post καὶ inserit ιδ ιζ ιθ ex fig. W. 12 ὁ δη] N, ἡ δη M, ἡ δ W. 16 δζ θ] δ θζ W. 1 post ὅσοι δὲ lacuna 7 litt. W. 4 οὐδὲ εἰς τοὺς β ἐμπεσεῖται om. W. 5 μὴ supra l. M2. μὴ πολλαπλάσιον om. W. post οὔτε habet πολλαπλα supra lin. M. post δὶς συντεθῇ M1 hanc habet figuram falsis numeris ornatam cui addit M2 in margine figuram veriorem ex aequalibus lineis et ipsam compositam, veris tamen numeris instructam. a W deest digura (tnanslata ad prot. 5). 14 ποιεῖ W. 16 τὸν] τὸ libb. 13. ἐμάθομεν in prot. 2. ἀλλὰ μὴν οὐδʼ ἐπιμόριον. ἐπιμορίου γὰρ διαστήματος μέσος οὐδεὶς ἀνάλογον ἐμπίπτει. εἰς δὲ τοὺς δγ ἐμπίπτει ὁ β. ἀδύνατον ἄρα τὸν δ τοῦ γ ἢ πολλαπλάσιον ἢ ἐπιμόριον εἶναι.