Sectio canonis [Sp.] (5-10)

Ἐὰν διάστημα δὶς συντεθὲν τὸ ὅλον
μὴ ποιῇ πολλαπλάσιον, οὐδʼ αὐτὸ ἔσται πολλαπλάσιον.

Ἔστω γὰρ διάστημα τὸ βγ, καὶ γεγενήσθω ὡς ὁ πρὸς τὸν β ὁ β πρὸς τὸν δ, καὶ μὴ ἔστω ὁ δ τοῦ πολλαπλάσιος. λέγω, ὅτι
οὐδὲ ὁ β τοῦ γ ἔσται πολλαπλάσιος. εἰ γάρ ἔστιν ὁ β τοῦ (p. 28) πολλαπλάσιος, ἔσται ἄρα ὁ δ τοῦ γ πολλαπλάσιος. οὐκ ἔστι θ ϛ δ δέ. οὐκ ἄρα ὁ β τοῦ ἔσται πολλαπλάσιος.

Ϛ. Τὸ διπλάσιον διάστημα ἐκ δύο τῶν μεγίστων
ἐπιμορίων συνέστηκεν, ἔκ τε τοῦ ἡμιολίου καὶ ἐκ τοῦ ἐπιτρίτου.

Ἔστω γὰρ ὁ μὲν β τοῦ δζ ἡμιόλιος, ὁ δὲ δζ τοῦ θ ἐπίτριτος. φημὶ τὸν β τοῦ θ διπλάσιον εἶναι. ἀφεῖλον γὰρ ἶσον τῷ θ τὸν ζκ καὶ τῷ δζ τὸν γλ.
[*] [*]

οὐκοῦν ἐπεὶ ὁ βγ τοῦ δζ ἡμιόλιος, ὁ βλ ἄρα β τοῦ βγ τρίτον μέρος ἐστὶν, τοῦ δὲ δζ ἥμισυ. πάλιν ἐπεὶ ὁ δζ τοῦ θ ἐπίτριτός ἐστιν, ὁ δκ δ τοῦ μὲν δζ τεταρτημόριον, τοῦ δὲ θ τριτημόριον.
οὐκοῦν ἐπεὶ ὁ δκ τοῦ δζ ἐστι τεταρτημόριον, ὁ δὲ βλ τοῦ δζ ἥμισυ, τοῦ ἄρα βλ ἥμισυ ἔσται ὁ δκ. ἦν δὲ ὁ βλ τοῦ βγ τρίτον μέρος· ὁ ἄρα δκ τοῦ βγ ἕκτον γ ζ μέρος ἐστίν. ἦν δὲ ὁ δκ τοῦ θ τρίτον μέρος· ιβ η Ϛ
ὁ ἄρα β τοῦ θ διπλάσιός ἐστιν.

Ἄλλως. Ἔστω γὰρ ὁ μὲν α τοῦ β ἡμιόλιος, ὁ δὲ β τοῦ ἐπίτριτος. λέγω ὅτι (p. 29) ὁ α τοῦ γ ἐστι διπλάσιος.

Ἐπεὶ γὰρ ἡμιόλιός ἐστιν ὁ α τοῦ β, ὁ α
ἄρα ἔχει τὸν β καὶ τὸ ἥμισυ αὐτοῦ. δύο β ἄρα οἱ α ἶσοί εἰσι τρισὶ τοῖς β. πάλιν ἐπεὶ ὁ β τοῦ γ ἐστιν ἐπίτριτος, ὁ β ἄρα ἔχει τὸν γ καὶ τὸ τρίτον αὐτοῦ. τρεῖς ἄρα οἱ β ἶσοί εἰσι τέτταρσι τοῖς γ. τρεῖς δὲ οἱ ν ἶσοί εἰσι
δυσὶ τοῖς α. δύο ἄρα οἱ α ἶσοί εἰσι τέτταρσι ιβ η Ϛ τοῖς γ. ἄρα ὁ α ἶσός ἐστι δυσὶ τοῖς γ· διπλάσιος ἄρα ἐστὶν ὁ α τοῦ γ.

[*]

Ἐκ τοῦ διπλασίου διαστήματος καὶ ἡμιολίου τριπλάσιον διάστημα γίνεται.

Ἔστω γὰρ ὁ μὲν α τοῦ β διπλάσιος, ὁ δὲ β τοῦ γ ἡμιόλιος. λέγω ὅτι ὁ α τοῦ γ ἐστι τριπλάσιος.

Ἐπεὶ γὰρ ὁ α τοῦ β ἐστι διπλάσιος, ὁ α ἄρα ἶσός ἐστι δυσὶ τοῖς β. πάλιν ἐπεὶ ὁ β ιβ Ϛ δ τοῦ γ ἐστιν ἡμιόλιος, ἄρα ὁ ἔχει τὸν γ καὶ τὸ ἥμισυ αὐτοῦ. δύο ἄρα οἱ β ἶσοί εἰσι τρισὶ τοῖς γ. δύο δὲ οἱ β ἶσοί εἰσι τῷ α. καὶ ὁ α ἄρα ἶσός
ἐστι τρισὶ τοῖς γ. τριπλάσιος ἄρα ἐστὶν ὁ α τοῦ γ (p. 30).

Ἐὰν ἀπὸ ἡμιολίου διαστήματος ἐπίτριτον διάστημα ἀφαιρεθῇ, τὸ λοιπὸν καταλείπεται ἐπόγδοον.

Ἔστω γὰρ ὁ μὲν α τοῦ β ἡμιόλιος, ὁ δὲ
γ τοῦ β ἐπίτριτος. λέγω ὅτι ὁ α τοῦ ἐστὶν ἐπόγδοος.

Ἐπεὶ γὰρ ὁ α τοῦ β ἐστὶν ἡμιόλιος, ὁ α ἄρα ἔχει τὸν β καὶ τὸ ἥμισυ αὐτοῦ. ὀκτὼ ἄρα οἱ α ἶσοί εἰσι δώδεκα τοῖς β. πάλιν
ἐπεὶ ὁ τοῦ ἐστὶν ἐπίτριτος, ὁ γ ἄρα ἔχει θ Ϛ η τὸν β καὶ τὸ τρίτον αὐτοῦ. ἐννέα ἄρα [*] [*]

οἱ γ ἶσοί εἰσι δώδεκα τοῖς β. δώδεκα δὲ οἱ β ἶσοί εἰσιν ὀκτὼ τοῖς α· ὀκτὼ ἄρα οἱ α ἶσοί εἰσιν ἐννέα τοῖς γ. ὁ α ἄρα ἶσός ἐστι τῷ γ καὶ τῷ ὀγδόῳ αὐτοῦ, ἄρα ὁ α τοῦ ἐστὶν ἐπόγδοος.

Τὰ ἓξ ἐπόγδοα διαστήματα μείζονά ἐστι διαστήματος ἑνὸς διπλασίου.

Ἐστω γὰρ εἶς ἀριθμὸς ὁ α. καὶ τοῦ μὲν α ἐπόγδοος ἔστω ὁ β, τοῦ δὲ β (p. 31) ἐπόγδοος ὁ γ, τοῦ δὲ ἐπόγδοος ὁ δ, τοῦ δὲ δ ἐπόγδοος ὁ ε, τοῦ ε
ἐπόγδοος ὁ ζ, τοῦ ζ ἐπόγδοος ὁ η. λέγω, ὅτι ὁ η τοῦ α μείζων ἐστὶν ἢ διπλάσιος.

Ἐπεὶ ἐμάθομεν εὑρεῖν ἑπτὰ ἀριθμοὺς ἐπογδόους ἀλλήλων, εὑρήσθωσαν οἱ α β γ δ ε ζ η, καὶ γίνεται ὁ μὲν α κϚ μύρια βρμδ,

[*][*][*]

ὁ δὲ β κθ μύρια δϠιβ,

ὁ δὲ γ λγ μύρια αψοϚ

ὁ δὲ δ λζ μύρια γϲμη,

ὁ δὲ ε μα μύρια θϠδ,

ὁ δὲ ζ μζ μύρια βτ Ϟβ,

ὁ δὲ η νγ μύρια αυμα καὶ ἔστιν ὁ η τοῦ α μείζων ἢ διπλάσιος.

Τὸ διὰ πασῶν διάστημά ἐστι πολλαπλάσιον.

Ἔστω γὰρ νήτη μὲν ὑπερβολαίων (p. 32) ὁ α, μέση γ δὲ ὁ β, προσλαμβανόμενος δὲ ὁ γ. τὸ ἄρα
α γ διάστημα δὶς διὰ πασῶν ὂν ἐστὶ σύμφωνον. ἤτοι οὖν ἐπιμόριόν ἐστιν, ἢ πολλαπλασιον. ἐπιμόριον μὲν οὐκ ἔστιν· ἐπιμορίου γὰρ διαστήματος μέσος οὐδεὶς ἀνάλογον ἐμπίπτει. πολλαπλάσιον ἄρα ἐστίν.
ἐπεὶ οὖν δύο ἶσα διαστήματα τὰ αβ βγ συντεθέντα ποιεῖ πολλαπλάσιον τὸ ὅλον, καὶ τὸ αβ ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον.