Scaife ATLAS

CTS Library / De utilitate mathematicae

De utilitate mathematicae (26-30)

urn:cts:greekLit:tlg1724.tlg001.1st1K-grc1:26-30
Refs {'start': {'reference': '26', 'human_reference': 'Paragraph 26'}, 'end': {'reference': '30', 'human_reference': 'Paragraph 30'}}
Ancestors []
Children []
prev
plain textXML
next

προμήκης δέ ἐστιν ἀριθμὸς ὑπὸ δύο ἀνίσων ἀριθμῶν ἀποτελούμενος ὡντινωνοῦν, μονάδι δυάδι
καὶ πλείονι τοῦ ἑτέρου τὸν ἕτερον ὑπερέχοντος, ὡς κδʹ, ἔστι γὰρ ἑξάκις δʹ, καὶ οἱ τοιοῦτοι. ἔστι δὲ τρία μέρη τῶν προμηκων. καὶ γὰρ πᾶς ἑτερομήκης προμή- κης, καθὸ μείζονα τὴν ἑτέραν πλευρὰν τῆς ἑτέρας ἔχει. ὥστε εἰ μέν τις ἑτερομήκης, οὗτος καὶ προμήκης· οὐ
μὴν ἀνάπαλιν· γὰρ μείζονα πλέον μονάδι τὴν ἑτέ- ραν ἔχων πλευρὰν προμήκης μέν, οὐ μὴν ἑτερομήκης· ἦν γὰρ ἑτερομήκης μονάδι μείζονα τὴν ἑτέραν ἔχων πλευράν, ὡς ϛʹ· ἔστι γὰρ δὶς γʹ ϛʹ. ἔτι προμήκης καὶ κατὰ διαφορὰν πολλαπλασιασμοῦ ποτὲ μὲν μονάδι
μείζονα τὴν ἑτέραν πλευρὰν ἔχων〉, ποτὲ δὲ πλεῖον μονάδι· ὡς ιβ· ἔστι γὰρ καὶ τρὶς δʹ καὶ δὶς ϛʹ, ὥστε κατὰ μὲν τὸ τρὶς δʹ εἴη ἂν ἑτερομήκης, κατὰ δὲ τὸ δὶς ϛ προμήκης. ἔτι προμήκης ἐστὶν κατὰ πάσας τὰς σχέσεις τῶν πολλαπλασιασμῶν πλέον μονάδι μείζονα
τὴν ἑτέραν ἔχων πλευράν· ὡς μʹ· καὶ γὰρ τετράκις ιʹ [*]

31
καὶ πεντάκις η καὶ δὶς κʹ· ὅστις καὶ μόνος ἂν εἴη προ- μήκης. ἑτερομήκης γάρ ἐστιν ἐκ τῶν ἴσων ἀριθμῶν τὴν πρώτην λαμβάνων ἑτερότητα· δὲ τῆς μονάδος τῷ ἑτέρᾳ ἀριθμῷ προσθήκη πρώτην ποιεῖ ἑτερότητα· διὸ οἱ ἐκ τούτων κυρίως ἀπὸ τῆς πρώτης τῶν πλευρῶν
ἑτερότητος ἑτερομήκεις. οἱ δὲ πλέον μονάδι τὴν ἑτέ- ραν πλευρὰν μείζονα ἔχοντες διὰ τὸν ἐπὶ πλέον προ- βιβασμὸν τοῦ μήκους προμήκεις κέκληνται.

εἰσὶ δὲ τῶν ἀριθμῶν οἱ μὲν ἐπίπεδοι, ὅσοι ὑπὸ δύο ἀριθμῶν πολλαπλασιάζονται, οἷον μήκους καὶ πλά-
τους, τούτων δὲ οἱ μὲν τρίγωνοι, οἱ δὲ τετράγωνοι, οἱ δὲ πεντάγωνοι καὶ κατὰ τὸ ἑξῆς πολύγωνοι.

γεννῶνται δὲ οἱ τρίγωνοι τὸν τρόπον τοῦτον. ὥσπερ] οἱ ἐφεξῆς ἄρτιοι ἀλλήλοις ἐπισυντιθέμενοι κατὰ τὸ ἑξῆς ἑτερομήκεις ἀριθμοὺς ποιοῦσιν. οἷον
βʹ πρῶτος ἄρτιος· καὶ ἔστιν ἑτερομήκης· ἔστι γὰρ ἅπαξ β. εἶτα τοῖς βʹ ἂν προσθῇς δʹ, γίνεται ϛʹ, ὃς καὶ αὐτὸς ἑτερομήκης· ἔστι γὰρ δὶς γ. καὶ μέχρις ἀπείρου αὐτὸς λόγος. ἐναργέστερον δέ, ὥστε πᾶσιν εὐσύνοπτον εἶναι τὸ λεγόμενον, δείκνυται καὶ τῇδε. πρώτη δυὰς
ἔστω ἄλφα ἐκκείμενα δύο τάδε· α α τὸ σχῆμα αὐτῶν ἔσται ἑτερόμκες· κατὰ μὲν γὰρ τὸ μῆκός ἐστιν ἐπὶ δύο, κατὰ δὲ τὸ πλάτος ἐφʼ ἕν. μετὰ τὰ δύο ἐστὶν ἄρτιος δʹ ἐὰν προσθῶμεν τοῖς πρώτοις
[*]

32
δύο ἄλφα [α α] καὶ περιθῶμεν τὰ δ τοῖς β, γίνεται ἑτερόμηκες τὸ τῶν Ϛ σχῆμα· κατὰ μὲν γὰρ τὸ μῆκος γίνεται ἐπὶ τρία, κατὰ δὲ τὸ πλάτος ἐπὶ β. ἑξῆς ἐστιν ἄρτιος μετὰ δ Ϛ· ἂν προσθῇς ταῦτα τοῖς πρώτοις Ϛ,
γίνεται ιβ, κἂν περιθῇς αὐτὰ τοῖς πρώτοις, ἔσται σχῆμα ἑτερόμηκες· ὡς ἔχειν ταῦτα κατὰ τὸ μῆκος μὲν δ, κατὰ πλάτος δὲ γ. καὶ μέχρις ἀπείρου αὐτὸς λόγος κατὰ τὴν τῶν ἀρτίων ἐπισύνθεσιν.

ααα αααα ααα αααα αααα

πάλιν δὲ οἱ ἑξῆς περισσοὶ ἀλλήλοις ἐπισυντιθέμενοι
τετραγώνους ποιοῦσιν ἀριθμούς. εἰσὶ δὲ οἱ ἐφεξῆς περισσοὶ α γ ε ζ θ ια. ταῦτα δὲ ἐφεξῆς συντιθεὶς ποιήσεις τετραγώνους ἀριθμούς. οἷον τὸ ἓν πρῶτον τετράγωνον· ἔστι γὰρ ἅπαξ ἓν ἕν. εἶτα περισσὸς γ· τοῦτον ἂν προσθῇς τὸν γνώμονα τῷ ἑνί, ποιήσεις
τετράγωνον ἰσάκις ἴσον· ἔσται γὰρ κατὰ μῆκος β καὶ κατὰ πλάτος β. ἐφεξῆς περισσὸς ε· τοῦτον ἂν περι- θῇς τὸν γνώμονα τῷ δ τετραγώνῳ, γενήσεται πάλιν τετράγωνος θ, καὶ κατὰ μῆκος ἔχων γ καὶ κατὰ πλάτος γ. ἐφεξῆς περισσὸς ζ· τοῦτον ἂν προσθῇς
τῷ θ, ποιεῖς τὸν ιϛ, καὶ κατὰ μῆκος δ καὶ κατὰ πλά- τος δ. δὲ αὐτὸς λογος μέχρις ἀπείρου.

Tokens

προμήκης 1 w 8
δέ 1 w 10
ἐστιν 1 w 15
ἀριθμὸς 1 w 22
1 w 23
ὑπὸ 1 w 26
δύο 1 w 29
ἀνίσων 1 w 35
ἀριθμῶν 1 w 42
ἀποτελούμενος 1 w 55
ὡντινωνοῦν 1 w 65
1 w 67
μονάδι 1 w 73
2 w 74
δυάδι 1 w 79
3 w 80
καὶ 1 w 83
πλείονι 1 w 90
τοῦ 1 w 93
ἑτέρου 1 w 99
τὸν 1 w 102
ἕτερον 1 w 108
ὑπερέχοντος 1 w 119
ὡς 1 w 122
2 w 123
κδʹ 1 w 126
ἔστι 1 w 131
γὰρ 1 w 134
ἑξάκις 1 w 140
δʹ 2 w 142
καὶ 2 w 146
οἱ 1 w 148
τοιοῦτοι 1 w 156
ἔστι 2 w 161
δὲ 1 w 163
τρία 1 w 167
μέρη 1 w 171
τῶν 1 w 174
προμηκων 1 w 182
καὶ 3 w 186
γὰρ 2 w 189
πᾶς 1 w 192
ἑτερομήκης 1 w 202
προμή- 1 w 208
κης 3 w 211
καθὸ 1 w 216
μείζονα 1 w 223
τὴν 1 w 226
ἑτέραν 1 w 232
πλευρὰν 1 w 239
τῆς 1 w 242
ἑτέρας 1 w 248
ἔχει 1 w 252
ὥστε 1 w 257
εἰ 1 w 259
μέν 1 w 262
τις 1 w 265
ἑτερομήκης 2 w 275
οὗτος 1 w 281
καὶ 4 w 284
προμήκης 2 w 292
οὐ 1 w 295
μὴν 1 w 298
ἀνάπαλιν 1 w 306
3 w 308
γὰρ 3 w 311
μείζονα 2 w 318
πλέον 1 w 323
4 w 324
μονάδι 2 w 330
τὴν 2 w 333
ἑτέ- 1 w 337
ραν 2 w 340
ἔχων 1 w 344
πλευρὰν 2 w 351
προμήκης 3 w 359
μέν 2 w 362
οὐ 2 w 365
μὴν 2 w 368
ἑτερομήκης 3 w 378
ἦν 1 w 381
γὰρ 4 w 384
ἑτερομήκης 4 w 394
4 w 395
μονάδι 3 w 401
μείζονα 3 w 408
τὴν 3 w 411
ἑτέραν 2 w 417
ἔχων 2 w 421
πλευράν 1 w 428
ὡς 2 w 431
5 w 432
ϛʹ 1 w 434
ἔστι 3 w 439
γὰρ 5 w 442
δὶς 1 w 445
γʹ 1 w 447
ϛʹ 2 w 449
ἔτι 1 w 453
προμήκης 4 w 461
καὶ 5 w 464
6 w 465
κατὰ 1 w 469
διαφορὰν 1 w 477
πολλαπλασιασμοῦ 1 w 492
ποτὲ 1 w 496
μὲν 1 w 499
μονάδι 4 w 505
μείζονα 4 w 512
τὴν 4 w 515
ἑτέραν 3 w 521
πλευρὰν 3 w 528
ἔχων 3 w 533
ποτὲ 2 w 539
δὲ 2 w 541
πλεῖον 1 w 547
5 w 548
μονάδι 5 w 554
ὡς 3 w 557
7 w 558
ιβ 1 w 560
ἔστι 4 w 565
γὰρ 6 w 568
καὶ 6 w 571
τρὶς 1 w 575
δʹ 3 w 577
καὶ 7 w 580
δὶς 2 w 583
ϛʹ 3 w 585
ὥστε 2 w 590
κατὰ 2 w 594
μὲν 2 w 597
τὸ 2 w 599
τρὶς 2 w 603
δʹ 4 w 605
εἴη 1 w 608
ἂν 1 w 610
ἑτερομήκης 5 w 620
κατὰ 3 w 625
δὲ 3 w 627
τὸ 3 w 629
δὶς 3 w 632
ϛ 4 w 633
προμήκης 5 w 641
ἔτι 2 w 645
προμήκης 6 w 653
ἐστὶν 1 w 658
8 w 659
κατὰ 4 w 663
πάσας 1 w 668
τὰς 1 w 671
σχέσεις 1 w 678
τῶν 2 w 681
πολλαπλασιασμῶν 1 w 696
πλέον 2 w 701
6 w 702
μονάδι 6 w 708
μείζονα 5 w 715
τὴν 5 w 718
ἑτέραν 4 w 724
ἔχων 4 w 728
πλευράν 2 w 735
ὡς 4 w 738
9 w 739
μʹ 1 w 741
καὶ 8 w 745
γὰρ 7 w 748
τετράκις 1 w 756
ιʹ 1 w 758
3 1 w 759
τὸ 4 w 761
τρίτον 1 w 767
apogr 1 w 772
τὸν 2 w 777
τρίτον 2 w 783
Α 1 w 784
6 1 w 786
ϛʹ 4 w 788
θʹ 1 w 790
ιβʹ 1 w 793
fort 1 w 797
del 1 w 801
8 1 w 803
inser 1 w 808
περὶ 1 w 813
προμηκῶν 1 w 821
corr 1 w 826
ex 1 w 829
προμήκῶν 1 w 837
ἀριθμιῶν 1 w 846
Α 2 w 847
ιη 1 w 850
in 2 w 852
mg 1 w 854
9 1 w 856
δυάδι 2 w 861
apogr 2 w 866
δια 2 w 871
Α 3 w 872
12 1 w 874
μέρη 2 w 878
γένη 1 w 883
14 1 w 885
οὗτος 2 w 891
corr 2 w 895
ex 2 w 898
οὕτως 1 w 903
Α 4 w 904
19 1 w 906
πολλαπλασιασμός 1 w 921
Α 5 w 922
κατὰ 5 w 927
διάφορον 1 w 935
πολλαπλασιασμὸν 1 w 950
Bull 1 w 954
20 1 w 957
ἔχων 5 w 961
add 1 w 964
apogr 3 w 970
25 1 w 973
τετράκι 2 w 980
Α 6 w 981
em 1 w 984
apogr 4 w 990
καὶ 9 w 994
πεντάκις 1 w 1002
η 20 w 1003
καὶ 10 w 1006
δὶς 4 w 1009
κʹ 1 w 1011
ὅστις 1 w 1017
καὶ 11 w 1020
μόνος 1 w 1025
ἂν 2 w 1027
εἴη 2 w 1030
προ- 1 w 1034
μήκης 12 w 1039
ἑτερομήκης 6 w 1050
γάρ 1 w 1053
ἐστιν 2 w 1058
10 w 1059
ἐκ 1 w 1061
τῶν 3 w 1064
ἴσων 1 w 1068
ἀριθμῶν 2 w 1075
τὴν 6 w 1078
πρώτην 1 w 1084
λαμβάνων 1 w 1092
ἑτερότητα 1 w 1101
1 w 1103
δὲ 4 w 1105
τῆς 2 w 1108
μονάδος 1 w 1115
τῷ 1 w 1117
ἑτέρᾳ 1 w 1122
ἀριθμῷ 1 w 1128
προσθήκη 1 w 1136
πρώτην 2 w 1142
ποιεῖ 1 w 1147
ἑτερότητα 2 w 1156
διὸ 1 w 1160
οἱ 2 w 1162
ἐκ 2 w 1164
τούτων 1 w 1170
κυρίως 1 w 1176
ἀπὸ 1 w 1179
τῆς 3 w 1182
πρώτης 1 w 1188
τῶν 4 w 1191
πλευρῶν 1 w 1198
ἑτερότητος 1 w 1208
ἑτερομήκεις 1 w 1219
οἱ 3 w 1222
δὲ 5 w 1224
πλέον 3 w 1229
7 w 1230
μονάδι 7 w 1236
τὴν 7 w 1239
ἑτέ- 2 w 1243
ραν 6 w 1246
πλευρὰν 4 w 1253
μείζονα 6 w 1260
ἔχοντες 1 w 1267
διὰ 1 w 1270
τὸν 3 w 1273
ἐπὶ 1 w 1276
πλέον 4 w 1281
προ- 2 w 1285
βιβασμὸν 1 w 1293
τοῦ 2 w 1296
μήκους 1 w 1302
προμήκεις 1 w 1311
κέκληνται 1 w 1320
εἰσὶ 1 w 1325
δὲ 6 w 1327
τῶν 5 w 1330
ἀριθμῶν 3 w 1337
οἱ 4 w 1339
μὲν 3 w 1342
ἐπίπεδοι 1 w 1350
ὅσοι 1 w 1355
ὑπὸ 2 w 1358
δύο 2 w 1361
ἀριθμῶν 4 w 1368
πολλαπλασιάζονται 1 w 1385
οἷον 1 w 1390
μήκους 2 w 1396
καὶ 12 w 1399
πλά- 1 w 1403
τους 1 w 1407
τούτων 2 w 1414
δὲ 7 w 1416
οἱ 5 w 1418
μὲν 4 w 1421
τρίγωνοι 1 w 1429
οἱ 6 w 1432
δὲ 8 w 1434
τετράγωνοι 1 w 1444
οἱ 7 w 1447
δὲ 9 w 1449
πεντάγωνοι 1 w 1459
καὶ 13 w 1462
κατὰ 6 w 1466
τὸ 7 w 1468
ἑξῆς 1 w 1472
πολύγωνοι 1 w 1481
γεννῶνται 1 w 1491
δὲ 10 w 1493
οἱ 8 w 1495
τρίγωνοι 2 w 1503
τὸν 4 w 1506
τρόπον 1 w 1512
τοῦτον 1 w 1518
ὥσπερ 1 w 1524
οἱ 9 w 1527
ἐφεξῆς 1 w 1533
ἄρτιοι 1 w 1539
ἀλλήλοις 1 w 1547
ἐπισυντιθέμενοι 1 w 1562
κατὰ 7 w 1566
τὸ 9 w 1568
ἑξῆς 2 w 1572
ἑτερομήκεις 2 w 1583
ἀριθμοὺς 1 w 1591
ποιοῦσιν 1 w 1599
οἷον 2 w 1604
11 w 1605
βʹ 2 w 1607
πρῶτος 1 w 1613
ἄρτιος 1 w 1619
καὶ 14 w 1623
ἔστιν 1 w 1628
ἑτερομήκης 7 w 1638
ἔστι 6 w 1643
γὰρ 8 w 1646
ἅπαξ 1 w 1650
β 7 w 1651
εἶτα 1 w 1656
τοῖς 1 w 1660
βʹ 3 w 1662
ἂν 3 w 1664
προσθῇς 1 w 1671
δʹ 5 w 1673
γίνεται 1 w 1681
ϛʹ 5 w 1683
ὃς 1 w 1686
καὶ 15 w 1689
αὐτὸς 1 w 1694
ἑτερομήκης 8 w 1704
ἔστι 7 w 1709
γὰρ 9 w 1712
δὶς 5 w 1715
γ 20 w 1716
καὶ 16 w 1720
μέχρις 1 w 1726
ἀπείρου 1 w 1733
12 w 1734
αὐτὸς 2 w 1739
λόγος 1 w 1744
ἐναργέστερον 1 w 1757
δέ 2 w 1759
ὥστε 3 w 1764
πᾶσιν 1 w 1769
εὐσύνοπτον 1 w 1779
εἶναι 1 w 1784
τὸ 12 w 1786
λεγόμενον 1 w 1795
δείκνυται 1 w 1805
καὶ 17 w 1808
τῇδε 1 w 1812
πρώτη 4 w 1818
δυὰς 1 w 1822
ἔστω 1 w 1826
ἄλφα 1 w 1830
ἐκκείμενα 1 w 1839
δύο 3 w 1842
τάδε 1 w 1846
α 75 w 1848
α 76 w 1849
τὸ 13 w 1851
σχῆμα 1 w 1856
αὐτῶν 1 w 1861
ἔσται 1 w 1866
ἑτερόμκες 1 w 1875
κατὰ 8 w 1880
μὲν 5 w 1883
γὰρ 10 w 1886
τὸ 14 w 1888
μῆκός 1 w 1893
ἐστιν 3 w 1898
ἐπὶ 2 w 1901
δύο 4 w 1904
κατὰ 9 w 1909
δὲ 11 w 1911
τὸ 15 w 1913
πλάτος 1 w 1919
ἐφʼ 1 w 1922
ἕν 1 w 1924
μετὰ 1 w 1929
τὰ 12 w 1931
δύο 5 w 1934
ἐστὶν 2 w 1939
ἄρτιος 2 w 1945
13 w 1946
δʹ 6 w 1948
1 w 1949
ἐὰν 1 w 1952
προσθῶμεν 1 w 1961
τοῖς 2 w 1965
πρώτοις 1 w 1972
1 4 w 1973
μόνον 1 w 1978
3 2 w 1980
λαμβάνον 1 w 1988
Α 7 w 1989
em 2 w 1993
apogr 5 w 1999
4 2 w 2001
πρώτην 3 w 2007
corr 3 w 2011
ex 3 w 2014
πρῶτον 1 w 2020
ut 1 w 2022
vid 1 w 2025
antea 1 w 2032
una 1 w 2035
litt 1 w 2039
erasa 1 w 2045
Α 8 w 2046
9 3 w 2047
inscr 1 w 2052
περὶ 2 w 2057
ἐπιπέδων 1 w 2065
ἀριθμῶν 5 w 2072
Α 9 w 2073
ιθ 11 w 2076
in 4 w 2078
mg 2 w 2080
13 1 w 2082
inscr 2 w 2087
περὶ 3 w 2092
τρι- 1 w 2096
γώ 1 w 2098
νων 3 w 2101
ἀριθμῶν 6 w 2108
π 81 w 2109
ῶς 1 w 2111
γεννῶνται 2 w 2120
καὶ 18 w 2123
περὶ 4 w 2127
τῶν 7 w 2130
ἑξῆς 3 w 2134
πολυγώνων 1 w 2143
Α 10 w 2144
κ 70 w 2146
in 6 w 2148
mg 3 w 2150
23 1 w 2153
post 1 w 2157
ἔσται 2 w 2162
compendium 1 w 2172
eius- 1 w 2177
dem 1 w 2180
voculae 1 w 2187
erasum 1 w 2193
in 7 w 2195
Α 11 w 2196
24 1 w 2198
ἐφ 3 w 2200
ὑφʼ 1 w 2204
Α 12 w 2205
25 2 w 2207
ἢν 1 w 2209
Α 13 w 2210
δύο 6 w 2214
ἄλφα 2 w 2218
α 87 w 2220
α 88 w 2221
καὶ 19 w 2225
περιθῶμεν 1 w 2234
τὰ 13 w 2236
δ 54 w 2237
τοῖς 3 w 2241
β 10 w 2242
γίνεται 2 w 2250
ἑτερόμηκες 1 w 2260
τὸ 16 w 2262
τῶν 8 w 2265
Ϛ 1 w 2266
σχῆμα 2 w 2271
κατὰ 10 w 2276
μὲν 6 w 2279
γὰρ 11 w 2282
τὸ 17 w 2284
μῆκος 1 w 2289
γίνεται 3 w 2296
ἐπὶ 3 w 2299
τρία 2 w 2303
κατὰ 11 w 2308
δὲ 12 w 2310
τὸ 18 w 2312
πλάτος 2 w 2318
ἐπὶ 4 w 2321
β 11 w 2322
ἑξῆς 4 w 2327
ἐστιν 4 w 2332
ἄρτιος 3 w 2338
μετὰ 2 w 2342
δ 56 w 2343
14 w 2344
Ϛ 2 w 2345
ἂν 4 w 2348
προσθῇς 2 w 2355
ταῦτα 1 w 2360
τοῖς 4 w 2364
πρώτοις 2 w 2371
Ϛ 3 w 2372
γίνεται 4 w 2380
15 w 2381
ιβ 4 w 2383
κἂν 1 w 2387
περιθῇς 1 w 2394
αὐτὰ 1 w 2398
τοῖς 5 w 2402
πρώτοις 3 w 2409
ἔσται 3 w 2415
σχῆμα 3 w 2420
ἑτερόμηκες 2 w 2430
ὡς 5 w 2433
ἔχειν 1 w 2438
ταῦτα 2 w 2443
κατὰ 12 w 2447
τὸ 19 w 2449
μῆκος 2 w 2454
μὲν 7 w 2457
δ 57 w 2458
κατὰ 13 w 2463
πλάτος 3 w 2469
δὲ 13 w 2471
γ 32 w 2472
καὶ 20 w 2476
μέχρις 2 w 2482
ἀπείρου 2 w 2489
16 w 2490
αὐτὸς 3 w 2495
λόγος 2 w 2500
κατὰ 14 w 2504
τὴν 8 w 2507
τῶν 9 w 2510
ἀρτίων 1 w 2516
ἐπισύνθεσιν 1 w 2527
ααα 1 w 2531
αααα 1 w 2535
ααα 4 w 2538
αααα 2 w 2542
αααα 3 w 2546
πάλιν 1 w 2551
δὲ 14 w 2553
οἱ 10 w 2555
ἑξῆς 5 w 2559
περισσοὶ 1 w 2567
ἀλλήλοις 2 w 2575
ἐπισυντιθέμενοι 2 w 2590
τετραγώνους 1 w 2601
ποιοῦσιν 2 w 2609
ἀριθμούς 1 w 2617
εἰσὶ 2 w 2622
δὲ 15 w 2624
οἱ 11 w 2626
ἐφεξῆς 2 w 2632
περισσοὶ 2 w 2640
α 128 w 2641
γ 35 w 2642
ε 99 w 2643
ζ 8 w 2644
θ 24 w 2645
ια 7 w 2647
ταῦτα 3 w 2653
δὲ 16 w 2655
ἐφεξῆς 3 w 2661
συντιθεὶς 1 w 2670
ποιήσεις 1 w 2678
τετραγώνους 2 w 2689
ἀριθμούς 2 w 2697
οἷον 3 w 2702
τὸ 21 w 2704
ἓν 1 w 2706
πρῶτον 2 w 2712
τετράγωνον 1 w 2722
ἔστι 8 w 2727
γὰρ 12 w 2730
ἅπαξ 2 w 2734
ἓν 2 w 2736
ἕν 2 w 2738
εἶτα 2 w 2743
περισσὸς 1 w 2751
17 w 2752
γ 39 w 2753
τοῦτον 2 w 2760
ἂν 6 w 2762
προσθῇς 3 w 2769
τὸν 5 w 2772
γνώμονα 1 w 2779
τῷ 2 w 2781
ἑνί 1 w 2784
ποιήσεις 2 w 2793
τετράγωνον 2 w 2803
ἰσάκις 1 w 2809
ἴσον 1 w 2813
ἔσται 4 w 2819
γὰρ 13 w 2822
κατὰ 15 w 2826
μῆκος 3 w 2831
β 13 w 2832
καὶ 21 w 2835
κατὰ 16 w 2839
πλάτος 4 w 2845
β 14 w 2846
ἐφεξῆς 4 w 2853
περισσὸς 2 w 2861
18 w 2862
ε 111 w 2863
τοῦτον 3 w 2870
ἂν 7 w 2872
περι- 1 w 2877
θῇς 5 w 2880
τὸν 6 w 2883
γνώμονα 2 w 2890
τῷ 3 w 2892
δ 62 w 2893
τετραγώνῳ 1 w 2902
γενήσεται 1 w 2912
πάλιν 2 w 2917
τετράγωνος 1 w 2927
19 w 2928
θ 29 w 2929
καὶ 22 w 2933
κατὰ 17 w 2937
μῆκος 4 w 2942
ἔχων 6 w 2946
γ 47 w 2947
καὶ 23 w 2950
κατὰ 18 w 2954
πλάτος 5 w 2960
γ 48 w 2961
ἐφεξῆς 5 w 2968
περισσὸς 3 w 2976
20 w 2977
ζ 9 w 2978
τοῦτον 4 w 2985
ἂν 8 w 2987
προσθῇς 4 w 2994
τῷ 4 w 2996
θ 31 w 2997
ποιεῖς 1 w 3004
τὸν 7 w 3007
ιϛ 1 w 3009
καὶ 24 w 3013
κατὰ 19 w 3017
μῆκος 5 w 3022
δ 63 w 3023
καὶ 25 w 3026
κατὰ 20 w 3030
πλά- 2 w 3034
τος 11 w 3037
δ 64 w 3038
21 w 3040
δὲ 17 w 3042
αὐτὸς 4 w 3047
λογος 1 w 3052
μέχρις 3 w 3058
ἀπείρου 3 w 3065