προμήκης δέ ἐστιν ἀριθμὸς ὁ ὑπὸ δύο ἀνίσων ἀριθμῶν ἀποτελούμενος ὡντινωνοῦν, ἢ μονάδι ἢ δυάδι ἢ καὶ πλείονι τοῦ ἑτέρου τὸν ἕτερον ὑπερέχοντος, ὡς ὁ κδʹ, ἔστι γὰρ ἑξάκις δʹ, καὶ οἱ τοιοῦτοι. ἔστι δὲ τρία μέρη τῶν προμηκων. καὶ γὰρ πᾶς ἑτερομήκης προμή- κης, καθὸ μείζονα τὴν ἑτέραν πλευρὰν τῆς ἑτέρας ἔχει. ὥστε εἰ μέν τις ἑτερομήκης, οὗτος καὶ προμήκης· οὐ μὴν ἀνάπαλιν· ὁ γὰρ μείζονα πλέον ἢ μονάδι τὴν ἑτέ- ραν ἔχων πλευρὰν προμήκης μέν, οὐ μὴν ἑτερομήκης· ἦν γὰρ ἑτερομήκης ὁ μονάδι μείζονα τὴν ἑτέραν ἔχων πλευράν, ὡς ὁ ϛʹ· ἔστι γὰρ δὶς γʹ ϛʹ. ἔτι προμήκης καὶ ὁ κατὰ διαφορὰν πολλαπλασιασμοῦ ποτὲ μὲν μονάδι μείζονα τὴν ἑτέραν πλευρὰν 〈ἔχων〉, ποτὲ δὲ πλεῖον ἢ μονάδι· ὡς ὁ ιβ΄· ἔστι γὰρ καὶ τρὶς δʹ καὶ δὶς ϛʹ, ὥστε κατὰ μὲν τὸ τρὶς δʹ εἴη ἂν ἑτερομήκης, κατὰ δὲ τὸ δὶς ϛ΄ προμήκης. ἔτι προμήκης ἐστὶν ὁ κατὰ πάσας τὰς σχέσεις τῶν πολλαπλασιασμῶν πλέον ἢ μονάδι μείζονα τὴν ἑτέραν ἔχων πλευράν· ὡς ὁ μʹ· καὶ γὰρ τετράκις ιʹ 3 τὸ τρίτον apogr.] τὸν τρίτον Α. 6 ϛʹ θʹ ιβʹ fort. del. 8 inser. περὶ προμηκῶν (corr. ex προμήκῶν) ἀριθμιῶν Α, ιη in mg. 9 δυάδι apogr.) δια΄ Α 12 μέρη] γένη 14. οὗτος corr. ex οὕτως Α 19 πολλαπλασιασμός Α, κατὰ διάφορον πολλαπλασιασμὸν Bull. 20 ἔχων add. apogr. 25 τετράκι Α, em. apogr. καὶ πεντάκις η΄ καὶ δὶς κʹ· ὅστις καὶ μόνος ἂν εἴη προ- μήκης. ἑτερομήκης γάρ ἐστιν ὁ ἐκ τῶν ἴσων ἀριθμῶν τὴν πρώτην λαμβάνων ἑτερότητα· ἡ δὲ τῆς μονάδος τῷ ἑτέρᾳ ἀριθμῷ προσθήκη πρώτην ποιεῖ ἑτερότητα· διὸ οἱ ἐκ τούτων κυρίως ἀπὸ τῆς πρώτης τῶν πλευρῶν ἑτερότητος ἑτερομήκεις. οἱ δὲ πλέον ἢ μονάδι τὴν ἑτέ- ραν πλευρὰν μείζονα ἔχοντες διὰ τὸν ἐπὶ πλέον προ- βιβασμὸν τοῦ μήκους προμήκεις κέκληνται.

εἰσὶ δὲ τῶν ἀριθμῶν οἱ μὲν ἐπίπεδοι, ὅσοι ὑπὸ δύο ἀριθμῶν πολλαπλασιάζονται, οἷον μήκους καὶ πλά- τους, τούτων δὲ οἱ μὲν τρίγωνοι, οἱ δὲ τετράγωνοι, οἱ δὲ πεντάγωνοι καὶ κατὰ τὸ ἑξῆς πολύγωνοι.

γεννῶνται δὲ οἱ τρίγωνοι τὸν τρόπον τοῦτον. ὥσπερ] οἱ ἐφεξῆς ἄρτιοι ἀλλήλοις ἐπισυντιθέμενοι κατὰ τὸ ἑξῆς ἑτερομήκεις ἀριθμοὺς ποιοῦσιν. οἷον ὁ βʹ πρῶτος ἄρτιος· καὶ ἔστιν ἑτερομήκης· ἔστι γὰρ ἅπαξ β΄. εἶτα τοῖς βʹ ἂν προσθῇς δʹ, γίνεται ϛʹ, ὃς καὶ αὐτὸς ἑτερομήκης· ἔστι γὰρ δὶς γ΄. καὶ μέχρις ἀπείρου ὁ αὐτὸς λόγος. ἐναργέστερον δέ, ὥστε πᾶσιν εὐσύνοπτον εἶναι τὸ λεγόμενον, δείκνυται καὶ τῇδε. πρώτη δυὰς ἔστω ἄλφα ἐκκείμενα δύο τάδε· α α τὸ σχῆμα αὐτῶν ἔσται ἑτερόμκες· κατὰ μὲν γὰρ τὸ μῆκός ἐστιν ἐπὶ δύο, κατὰ δὲ τὸ πλάτος ἐφʼ ἕν. μετὰ τὰ δύο ἐστὶν ἄρτιος ὁ δʹ ἃ ἐὰν προσθῶμεν τοῖς πρώτοις 1 μόνον? 3 λαμβάνον Α., em. apogr. 4 πρώτην corr. ex πρῶτον ut vid., antea una litt. erasa Α 9 inscr. περὶ ἐπιπέδων ἀριθμῶν Α, ιθ in mg 13 inscr. περὶ τρι- γώ νων ἀριθμῶν π ῶς γεννῶνται καὶ περὶ τῶν ἑξῆς πολυγώνων Α, κ in mg. 23 post ἔσται compendium eius- dem voculae erasum in Α 24 ἐφ᾿] ὑφʼ Α 25 ἢν Α. δύο ἄλφα [α΄ α΄] καὶ περιθῶμεν τὰ δ΄ τοῖς β΄, γίνεται ἑτερόμηκες τὸ τῶν Ϛ΄ σχῆμα· κατὰ μὲν γὰρ τὸ μῆκος γίνεται ἐπὶ τρία, κατὰ δὲ τὸ πλάτος ἐπὶ β΄. ἑξῆς ἐστιν ἄρτιος μετὰ δ΄ ὁ Ϛ΄· ἂν προσθῇς ταῦτα τοῖς πρώτοις Ϛ΄, γίνεται ὁ ιβ΄, κἂν περιθῇς αὐτὰ τοῖς πρώτοις, ἔσται σχῆμα ἑτερόμηκες· ὡς ἔχειν ταῦτα κατὰ τὸ μῆκος μὲν δ΄, κατὰ πλάτος δὲ γ΄. καὶ μέχρις ἀπείρου ὁ αὐτὸς λόγος κατὰ τὴν τῶν ἀρτίων ἐπισύνθεσιν.

ααα αααα ααα αααα αααα

πάλιν δὲ οἱ ἑξῆς περισσοὶ ἀλλήλοις ἐπισυντιθέμενοι τετραγώνους ποιοῦσιν ἀριθμούς. εἰσὶ δὲ οἱ ἐφεξῆς περισσοὶ α΄ γ΄ ε΄ ζ θ΄ ια΄. ταῦτα δὲ ἐφεξῆς συντιθεὶς ποιήσεις τετραγώνους ἀριθμούς. οἷον τὸ ἓν πρῶτον τετράγωνον· ἔστι γὰρ ἅπαξ ἓν ἕν. εἶτα περισσὸς ὁ γ΄· τοῦτον ἂν προσθῇς τὸν γνώμονα τῷ ἑνί, ποιήσεις τετράγωνον ἰσάκις ἴσον· ἔσται γὰρ κατὰ μῆκος β΄ καὶ κατὰ πλάτος β΄. ἐφεξῆς περισσὸς ὁ ε΄· τοῦτον ἂν περι- θῇς τὸν γνώμονα τῷ δ΄ τετραγώνῳ, γενήσεται πάλιν τετράγωνος ὁ θ΄, καὶ κατὰ μῆκος ἔχων γ΄ καὶ κατὰ πλάτος γ΄. ἐφεξῆς περισσὸς ὁ ζ΄· τοῦτον ἂν προσθῇς τῷ θ΄, ποιεῖς τὸν ιϛ΄, καὶ κατὰ μῆκος δ΄ καὶ κατὰ πλά- τος δ΄. ὁ δὲ αὐτὸς λογος μέχρις ἀπείρου.