Sphaerica (3.2.1)

Ἐὰν εἰς κύκλον διαχθῇ τις εὐθεῖα ἀπολαμβάνουσα τμῆμα μὴ ἔλασσον ἡμικυκλίου, καὶ ἐπ’ αὐτῆς τμῆμα κύκλου ἐπισταθῇ μὴ μεῖζον ἡμικυκλίου, διαιρεθῇ δὲ ἡ τοῦ ἐφεστῶτος τμήματος περιφέρεια εἰς ἄνισα· ἡ ὑπὸ τὴν ἐλάσσονα περιφέρειαν ὑποτείνουσα εὐθεῖα ἐλάσσων ἐστὶ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου πρὸς τὴν μὴ ἐλάσσονα ἡμικυκλίου περιφέρειαν προςπιπτουσῶν εὐθειῶν b.

Εἴς γὰρ κύκλον τὸν ΑΒΓΔ διήχθω τις εὐθεῖα ἡ ΑΓ, ἀπὸ. λαμβάνουσα τμῆμα μὴ ἔλασσον ἡμικυκλίου τὸ ΑΒΓ, καὶ ἐπὶ τῆς ΑΓ τμῆμα κύκλου ἐφεστάτω τὸ ΑΕΓ, μὴ μεῖζον ἡμικυκλίου, κεκλιμένον πρὸς τὸ μὴ μεῖζον ἡμικυκλίου τὸ ΑΔΓ, καὶ διῃρήσθω ἡ ΑΕΓ περιφέρεια εἰς ἄνισα κατὰ τὸ Ε σημεῖον, καὶ ἔστω ἐλάσσων ἡ ΑΕ περιφέρεια τῆς ΕΓ περιφερείας, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΑ· λέγω, ὅτι ἡ ΕΑ ἐλάσσων ἐστὶ πασῶν τῶν ἀπὸ a τοῦ Ε σημείου πρὸς τὴν ΑΒΓ περιφέρειαν προςπιπτουσῶν εὐθειῶν.

Ἤχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Ε σημείου ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου ἐπίπεδον κάθετος· πεσεῖται δὴ μεταξὺ τῆς τε ΑΓ εὐθείας καὶ τῆς ΑΔΓ περιφερείας, διὰ τὸ κεκλίσθαι τὸ ΑΕΓ τμῆμα πρὸς τὸ ΑΔΓ τμῆμα. Πιπτέτω, καὶ ἔστω ἡ ΕΖ, παὶ συμβαλλέτω τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ κατὰ τὸ Ζ σημεῖον, καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓ κύκλου. Ἤτοι δὴ ἐπὶ τῆς ΑΓ τὸ κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου, ἢ μεταξὺ τῆς τε ΑΓ εὐθείας καὶ τῆς ΑΒΓ περιφερείας, διὰ τὸ ΑΒΓ τμῆμα ὑποκεῖσθαι μὴ ἔλασσον ἡμικυκλίου. Ἔστω πρότερον μεταξὺ τῆς τε ΑΓ εὐθείας καὶ τῆς ΑΒΓ περιφερείας, καὶ ἔστω τὸ Η σημεῖον, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΖΗ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὰ Δ, Β μέρη, καὶ ἀπὸ τοῦ Ε σημείου ἐπὶ τὴν ΑΒΓ περιφέρειαν προσβεβλήσθω εὐθεῖα ἡ ΕΘ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΖ, ΖΘ.

Καὶ ἐπεὶ ἡ ΕΖ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου ἐπίπεδὸν,

καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ὁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου ἐπιπέδῳ, ὀρθὰς ποιήσαι γωνίας. Ἅπτεται δὲ τῆς ΕΖ ἑκατέρα τῶν ΑΖ, ΖΘ οὖσα ἐν τῷ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου ἐπιπέδῳ· καὶ ἑκατέρα ἄρα τῶν ὑπὸ ΑΖΕ, ΘΖΕ γωνιῶν ὀρθή ἐστι. Καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΖ τῆς ΖΘ ἐστιν ἐλάσσων, ἔλασσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ απὸ τῆς ΑΖ τοῦ ἀπὸ τῆς ΘΖ· κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΖΕ, τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΖ, ΖΕ, τοῦτ’ ἔστι, τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ, ἐλάσσονά ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΘΖ, ΖΕ, τοῦτ’ ἔστι, τοῦ ἀπὸ τῆς ΘΕ, ἡ ΑΕ ἄρα τῆς ΕΘ ἐστιν ἐλάσσων. Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Ε σημείου πρὸς τὴν ΑΒΓ περιφέρειαν προςπιπτουσῶν εὐθειῶν ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ΑΕ, ἡ ἄρα ΑΕ ἐλάσσων ἐστὶ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Ε σημείου πρὸς τὴν ΑΒΓ περιφέρειαν προςπιπτουσῶν εὐθειῶν. Καὶ πάλιν ὁμοίως δείξομεν, ὅτι ἀεὶ ἡ ἔγγιον αὐτῆς τῆς ἀπώτερον ἐλάσσων ἐστὶ, τῶν ἀπὸ τοῦ Ε σημείου διαγομένων εὐθειῶν πρὸς τὴν ἀπὸ τοῦ Α ἄχρι τοῦ Β περιφέρειαν, μεταξὺ δηλονότι τῶν Α, Β σημείων.

Ἐπεζεύχθω δὴ ἡ ΕΒ· λέγω, ὅτι ἡ ΕΒ μεγίστη ἐστὶ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Ε σημείου πρὸς τὴν ΑΒΓ περιφέρειαν προςπιπτουσῶν εὐθειῶν.

Ἐπεὶ γὰρ ἡ ΒΖ τῆς ΖΘ ἐστι μείζων, μεῖζον ἄρα ἐστι καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΖ τοῦ τῆς ΖΘ· κοινὸν προςκείσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΖΕ, τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΒΖ, ΖΕ, τοῦτ’ ἔστι, τὸ ἀπὸ τῆς ΕΒ μεῖζόν ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΘΖ, ΖΕ, τοῦτ’ ἔστι, τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΘ· μείζων ἄρα ἐστὶ ἡ ΒΕ τῆς ΕΘ. Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Ε πρὸς τὴν ΑΒΓ περιφέρειαν προςπιπτουσῶν εὐθειῶν ἡ ΕΒ μείζων ἐστίν· ἡ ΕΒ ἄρα μεγίστη ἐστὶ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Ε σημείου πρὸς τὴν ΑΒΓ περιφέρειαν προςπιπτουσῶν εὐθειῶν.

Ἐπεζεύχθω δὴ καὶ ἡ ΕΓ· λέγω δὴ, ὅτι καὶ ἡ ΕΓ ἐλάσσων ἐστὶ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Ε σημείου πρὸς τὴν ΒΓ περιφέρειαν προςπιπτουσῶν

εὐθειῶν μεταξὺ τῶν Β, Γ σημείων.

Διήχθω γὰρ μεταξὺ τῶν Β, Γ σημείων καὶ ἑτέρα ἡ ΕΚ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΓ, ΖΚ.

Καὶ ἐπεὶ ἡ ΓΖ τῆς ΖΚ ἐστὶν ἐλάσσων, ἔλασσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΚ· κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΖΕ, τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΕ, τοῦτ’ ἔστι, τὸ ἀπὸ τῆς ΕΓ, ἔλασσον ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΚΖ, ΖΕ, τοῦτ’ ἔστι, τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΚ· ἡ ΓΕ ἄρα ἐλάσσων ἐστὶ τῆς ΕΚ. Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Ε σημείου πρὸς τὴν ΒΚΓ περιφέρειαν προςπιπτουσῶν

εὐθειῶν μεταξὺ τῶν Β, Γ σημείων ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ΕΓ. Καὶ πάλιν ὁμοίως δείξομεν, ὅτι αἰεὶ ἡ ἔγγιον αὐτῆς τῆς ἀπώτερόν ἐστιν ἐλάσσων, τῶν ἀπὸ τοῦ Ε σημείου πρὸς τὴν ΒΓ περιφέρειαν προσπιπτουσῶν εὐθειῶν μεταξὺ τῶν Β, Γ σημείων.

Ὁμοίως δὴ δειχθήσεται, κἂν ἡμικύκλιον ᾖ τὸ ΑΒΓ, ὅτι ἡ ΑΕ ἐλάσσων ἐστὶ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Ε σημείου πρὸς τὴν ΑΒΓ περιφέρειαν προσπιπτουσῶν εὐθειῶν.