Sphaerica (3.3.1)

Ἐὰν ἐν σφαίρᾳ δύο μέγιστοι κύκλοι τέμνωσιν ἀλλήλους, ἀπὸ δὲ ἑκατέρου αὐτῶν ἴσαι περιφέρειαι ἀποληφθῶσιν ἑξῆς ἐφ’ ἑκάτερα τοῦ σημείου, καθ’ ὃ τέμνουσιν ἀλλήλους· αἱ ἐπιζευγνύουσαι τὰ πέρατα τῶν ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη περιφερειῶν εὐθεῖαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.

Ἐν γὰρ σφαίρᾳ δύο μέγιστοι κύκλοι οἱ ΑΒ, ΓΔ τεμνέτωσαν ἀλλήλους κατὰ τὸ Ε σημεῖον, ἀπὸ δὲ ἑκατέρου αὐτῶν ἴσαι περιφέρειαι ἀπειλήφθωσαν ἑξῆς ἐφ’ ἑκάτερα τοῦ Ε σημείου, ἡ μὲν ΕΑ τῇ ΕΒ, ἡ δὲ ΕΓ τῇ ΕΔ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΓΑ, ΒΔ· λέγω, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΓΑ τῇ ΒΔ.

Ὁ γάρ πόλῳ μὲν τῷ Ε, διαστήματι δὲ τῷ ΕΑ κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τοῦ Β· ἤτοι δὴ καὶ διὰ τοῦ Γ ἥξει, ἢ οὔ. Ἐρχέσθω πρότερον καὶ διὰ τοῦ Γ, ἥξει ἄρα καὶ διὰ τοῦ Δ, ἴση γάρ ἐστιν ἡ ΓΕ περιφέρεια τῇ ΕΔ περιφερείᾳ. Ἐρχέσθω, καὶ ἔστω ὁ ΑΓΒΔ κύκλος, καὶ ἔστω τοῦ μὲν ΑΓΒΔ κύκλου καὶ τοῦ ΑΕΒ κοινὴ τομὴ ἡ ΑΒ, τοῦ δὲ ΑΓΒΔ κύκλου καὶ τοῦ ΓΕΔ κοινὴ τομὴ ἡ ΓΔ.

Καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΕΒ κύκλον τινὰ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τὸν ΑΓΒΔ διὰ τῶν πόλων τέμνει, δίχα τε αὐτὸν τεμεῖ καὶ πρὸς ὀρθάς· ἡ ΑΒ ἄρα διάμετρός ἐστι τοῦ ΑΒΓΔ. Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ΓΔ διάμετρός ἐστι τοῦ ΑΓΒΔ κύκλου· αἱ τέσσαρες ἄρα αἱ ΑΖ, ΖΓ, ΖΒ, ΖΔ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. Ἐπεὶ οὖν δύο αἱ ΑΖ, ΖΓ δυσὶ ταῖς ΔΖ, ΖΒ ἴσαι εἰσὶν, ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΖΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΔΖΒ ἴση ἐστί· βάσις ἄρα ἡ ΑΓ βάσει τῇ ΔΒ ἐστιν ἴση.

Ἀλλὰ δὴ πάλιν ὁ πόλῳ μὲν τῷ Ε, διαστήματι δὲ τῷ ΕΑ a κύκλος γραφόμενος μὴ ἐρχέσθω διὰ τοῦ Γ, ἀλλ’ ὑπερπιπτέτω αὐτό·

ἥξει μὲν ἄρα καὶ διὰ τοῦ Β, ὑπερπεσεῖται δὲ καὶ τὸ Δ. Ἐρχέσθω, καὶ ἔστω ὡς ὁ ΑΗΒΘ, καὶ προσαναπεπληρώσθω ὁ ΓΕΔ κύκλος κατὰ τὰ Η, Θ σημεῖα, καὶ ἔστω τοῦ μὲν ΑΗΒΘ κύκλου καὶ τοῦ ΑΕΒ κοινὴ τομὴ ἡ ΑΒ, τοῦ δὲ ΑΗΒΘ κύκλου καὶ τοῦ ΗΕΘ κοινὴ τομὴ ἡ ΗΘ.

Ὁμοίως δὴ πάλιν δείξομεν, ὅτι τὸ Ζ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΗΒΘ κύκλου, καὶ ὅτι ἑκάτερος τῶν ΑΕΒ, ΗΕΘ ὀρθός ἐστι πρὸς τὸν ΑΗΒΘ κύκλον. Ἤχθωσαν δὴ ἀπὸ τῶν Γ, Δ σημείων ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΗΒΘ κύκλου ἐπίπεδον κάθετοι αἱ ΓΚ, ΔΛ καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΚ, ΛΒ.

Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΕΗ περιφέρεια τῇ ΕΘ περιφερείᾳ, πόλος γάρ ἐστι τὸ Ε σημεῖον τοῦ ΑΗΒΘ, ὧν ἡ ΓΕ τῇ ΕΔ ἐστὶν ἴση· λοιπὴ ἄρα ἡ ΓΗ λοιπῇ τῇ ΔΘ ἐστιν ἴση. Ἐπεὶ οὖν τμῆμα κύκλου ὀρθόν ἐστι τὸ ΗΕΘ, καὶ ἀπειλημμέναι εἰσὶν ἴσαι περιφέρειαι αἱ ΗΓ, ΔΘ, καὶ κάθετοι ἠγμέναι εἰσὶν ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΗΒΘ κύκλου ἐπίπεδον αἱ ΓΚ, ΔΛ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ΓΚ τῇ ΔΛ, ἡ δὲ ΗΚ τῇ ΘΛ· ἔστι δὲ καὶ ὅλη ἡ ΗΖ ὅλῃ τῇ ΖΘ ἴση, λοιπὴ ἄρα ἡ ΚΖ λοιπῇ τῇ ΑΖ ἐστιν ἴση· ἔστι δὲ καὶ ἡ ΑΖ τῇ ΒΖ ἴση, αἱ ΑΚ, ΛΒ ἄρα ἴσαι εἰσὶν. Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΑΚ τῇ ΛΒ, ἡ δὲ ΓΚ τῇ ΔΛ· δύο δὴ αἱ ΑΚ, ΚΓ δυσὶ ταῖς ΒΛ, ΛΔ ἴσαι εἰσὶν, ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΓΚΑ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΔΛΒ ἐστιν ἴση, ὀρθὴ γὰρ ἑκατέρα αὐτῶν· βάσις ἄρα ἡ ΑΓ βάσει τῇ ΔΒ ἐστιν ἴση.