Sphaerica (3.1.1)

Ἐὰν εἰς κύκλον διαχθῇ τις εὐθεῖα εἰς ἄνισα τέμνουσα τὸν κύκλον, καὶ ἐπ’ αὐτῆς τμῆμα κύκλου ὀρθὸν ἐπισταθῇ μὴ μεῖζον ἡμικυκλίου, διαιρεθῇ δὲ ἡ τοῦ ἐφεστῶτος τμήματος περιφέρεια εἰς ἄνισα· ἡ ὑπὸ τὴν ἐλάσσονα περιφέρειαν ὑποτείνουσα εὐθεῖα ἐλαχίστη ἐστὶ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου πρὸς τὴν μείζονα περιφέρειαν τοῦ ἐξ ἀρχῆς κύκλου προσπιπτουσῶν εὐθειῶν, καὶ ἀεὶ ἡ ἔγγιον αὐτῆς τῆς ἀπώτερόν ἐστιν ἐλάσσων τῶν ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου μεταξὺ τῆς ἐλαχίστης καὶ τῆς διαμέτρου, ἐφ’ ἣν ἡ ἀπὸ τοῦ σημείου κάθετος πίπτει, διαγομένων εὐθειῶν· πασῶν δὲ μεγίστη ἡ ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου ἐπὶ τὸ πέρας τῆς αὐτῆς διαμέτρου· ἔτι δὲ ἡ ὑπὸ τὴν μείζονα περιφέρειαν τοῦ τμήματος ἐφεστῶτος ὑποτείνουσα ἐλαχίστη ἐστὶ πασῶν τῶν μεταξὺ αὐτῆς καὶ τῆς διαμέτρου προσπιπτουσῶν a εὐθειῶν, καὶ ἀεὶ ἡ ἔγγιον αὐτῆς τῆς ἀπώτερόν ἐστιν ἐλάσσων. Ἐὰν δὲ ἡ διαχθεῖσα διάμετρος ᾖ τοῦ κύκλου, τὰ δὲ λοιπὰ τὰ αὐτὰ ὑπάρχῃ· ἐλάσσων μὲν

ἔσται ἡ προσκειμένη a εὐθεῖα πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου πρὸς τὴν τοῦ ἐξ ἀρχῆς κύκλου περιφέρειαν προςπιπτουσῶν εὐθειῶν, μεγίστη δὲ ἡ ὑπὸ τὴν μείζονα περιφέρειαν ὑποτείνουσα εὐθεῖα.

Εἰς γὰρ κύκλον τὸν ΑΒΓΔ διήχθω τις εὐθεῖα ἡ ΒΔ, εἰς ἄνισα τέμνουσα τὸν κύκλον, ἔστω δὲ μείζων ἡ ΒΓΔ περιφέρεια τῆς ΒΑΔ περιφερείας· καὶ ἐπὶ τῆς ΒΔ b ὀρθὸν τμῆμα κύκλου ἐφεστάτω τὸ ΒΕΔ μὴ μεῖζον ἡμικυκλίου, καὶ διῃρήσθω ἡ ΒΕΔ περιφέρεια εἰς ἄνισα τμήματα κατὰ τὸ Ε σημεῖον, καὶ ἔστω ἐλάσσων ἡ ΒΕ περιφέρεια τῆς ΕΔ περιφερείας, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΒ· λέγω, ὅτι ἡ ΒΕ ἐλάσσων ἐστὶ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Ε σημείου πρὸς τὴν ΒΓΔ περιφέρειαν προσπιπτουσῶν εὐθειῶν.

Ἤχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Ε σημείου ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπίπεδον κάθετος ἡ ΕΖ, πεσεῖται δὴ ἐπὶ τὴν κοινὴν τομὴν τῶν ΑΒΓΔ, ΒΕΔ ἐπιπέδων, τὴν ΒΔ εὐθεῖαν, ἐπειδήπερ τὸ ΒΕΔ τμῆμα, ὀρθόν ἐστι· πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον. Καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου, καὶ ἔστω τὸ Η, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΖΗ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὰ Θ, Κ μέρη· καὶ ἀπὸ τοῦ Ε σημείου πρὸς τὴν ΒΓΔ περιφέρειαν προςβεβλήσθω ἡ ΕΛ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΛ.

Καὶ ἐπεὶ ἡ ΕΖ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπίπεδον, καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας, καὶ οὔσας ἐν τῷ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου ἐπιπέδῳ, ὀρθὰς ποιήσει γωνίας· ἅπτεται δὲ τῆς ΕΖ ἑκατέρα τῶν ΖΒ, ΖΛ, οὖσα ἐν τῷ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπιπέδῳ, καὶ ἑκατέρα ἄρα τῶν ὑπὸ ΒΖΕ, ΛΖΕ γωνιῶν ὀρθή ἐστι. Καὶ ἐπεὶ ἡ ΒΖ τῆς ΖΛ ἐλάσσων ἐστὶν, ἔλασσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΛ· κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ τῆς EΖ, τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΕΖ, ΖΒ ἐλάσσονά ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΕΖ, ΖΛ. Ἄλλὰ τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΕΖ, ΖΒ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΕ, τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΕΖ, ΖΛ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΛΕ· καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΕ ἄρα ἔλασσόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΛΕ, ἐλάσσων ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΕ τῆς ΛΕ. Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Ε σημείου πρὸς τὴν ΒΓΔ περιφέρειαν προςπιπτουσῶν εὐθειῶν ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ΒΕ· ἡ ἄρα ΒΕ ἐλάσσων ἐστὶ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Ε σημείου πρὸς τὴν ΒΓΔ περιφέρειαν προσπιπτουσῶν εὐθειῶν.

Λέγω δὴ, ὅτι καὶ ἀεὶ ἡ ἔγγιον αὐτῆς τῆς ἀπώτερόν ἐστιν ἐλάσσων, τῶν ἀπὸ τοῦ Ε σημείου διαγομένων εὐθειῶν μεταξὺ τῶν Β, Κ σημείων.

Διήχθω γάρ τις καὶ ἑτέρα ἡ ΕΓ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΓ.

Καὶ ἐπεὶ ἡ ΛΖ τῆς ΖΓ ἐστὶν ἐλάσσων, ἔλαττον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΛ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΓ· κοινὸν προςκείσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΖΕ, τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΕΖ, ΖΛ ἐλάσσονά ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΕΖ, ΖΓ, Ἀλλὰ τὰ μὲν ἀπὸ τῶν ΛΖ, ΖΕ ἴσα ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΛΕ, τὰ δὲ ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΕ ἴσα ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΓ· καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΛΕ ἄρα ἔλασσόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΓ, ἐλάσσων ἄρα ἡ ΛΕ τῆς ΕΓ. Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἀεὶ ἡ ἔγγιον τῆς ΕΒ, τῆς ἀπώτερον ἐλάσσων ἐστὶ τῶν ἀπὸ τοῦ Ε σημείου διαγομένων εὐθειῶν μεταξὺ τῶν Β, Κ.

Ἐπεζεύχθωσαν δὴ καὶ αἱ ΕΚ, ΕΔ· λέγω δὴ πάλιν, ὅτι ἡ μὲν ΕΚ μεγίστη ἐστὶ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Ε σημείου διαγομένων εὐθειῶν μεταξὺ τῶν Δ, Β σημείων.

Ἐπεὶ γὰρ ἡ ΚΖ τῆς ΓΖ μείζων ἐστί, μεῖζον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΚΖ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΖ· κοινὸν προςκείσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΖΕ, τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΚΖ, ΖΕ, τοῦτ’ ἔστι, τὸ ἀπὸ τῆς ΕΚ, μείζονά ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΕΖ, ΖΓ, τοῦτ’ ἔστι, τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΓ· μείζων ἄρα ἡ ΚΕ τῆς ΕΓ. Ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Ε σημείου πρὸς τὴν ΒΔ περιφέρειαν προσπιπτουσῶν εὐθειῶν μείζων ἐστὶν ἡ ΕΚ· ἡ ἄρα ΕΚ μεγίστη ἐστὶ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Ε σημείου πρὸς τὸν ΒΔ περιφέρειαν προσπιπτουσῶν εὐθειῶν.

Λέγω δὴ, ὅτι a καὶ ἡ ΕΔ ἐλάσσων ἐστὶ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Ε σημείου προςπιπτουσῶν εὐθειῶν μεταξὺ τῶν Κ, Δ σημείων.

Διήχθω γὰρ καὶ ἑτέρα ἡ ΕΜ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΜΖ.

Καὶ ἐπεὶ ἡ ΔΖ τῆς ΖΜ ἐστιν ἐλάσσων, ἔλαττον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΔΖ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΜ· κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΖΕ, τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΕΖ, ΖΔ, τοῦτ’ ἔστι, τὸ ἀπὸ τῆς ΕΔ, ἐλασσονά ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΕΖ, ΖΜ, τοῦτ’ ἔστι, τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΜ· ἐλάσσων ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΕ τῆς ΕΜ. Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Ε σημείου πρὸς τὴν ΚΔ περιφέρειαν προςπιπτουσῶν εὐθειῶν μεταξὺ τῶν Κ, Δ σημείων ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ΕΔ· ἡ ἄρα ΕΔ ἐλάσσων ἐστὶ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Ε σημείου πρὸς τὴν ΚΔ περιφέρειαν προςπιπτουσῶν εὐθειῶν μεταξὺ τῶν Κ, Δ σημείων, καὶ ἀεὶ

ἡ ἔγγιον αὐτῆς τῆς ἀπώτερον ἐλάσσων ἐστὶ, τῶν μεταξὺ τῶν Κ, Δ σημείων διαγομένων εὐθειῶν.

Ἀλλὰ δὴ ἡ διαγομένη ΒΔ διάμετρος ἔστω τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου, τὰ δὲ αὐτὰ λοιπὰ ὑποκείσθω· λέγω, ὅτι ἡ μὲν ΕΒ ἐλάσσων ἐστὶ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Ε σημείου πρὸς τὴν τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου περιφέρειαν προςπιπτουσῶν εὐθειῶν, ἡ δὲ ΕΔ μεγίστη.

Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων ἐπεὶ μείζων ἐστὶν ἡ ΔΕ περιφέρεια τῆς ΕΒ περιφερείας, καὶ κάθετος ἦκται ἡ ΕΖ· μείζων ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΔΖ τῆς ΖΒ. Καί ἐστιν ἡ ΒΔ διάμετρος τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου· ἐπὶ τῆς ΔΖ ἄρα ἐστὶ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου· μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ΔΖ τῆς ΖΓ, ἡ δὲ ΖΓ τῆς ΖΒ, ὥστε καὶ τὸ μὲν ἀπὸ τῆς ΔΖ μεῖζόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΓ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΖΓ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΒ· κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΖΕ· τὰ μὲν ἄρα ἀπὸ τῶν ΔΖ, ΖΕ, τοῦτ’ ἔστι, τὸ ἀπὸ τῆς ΕΔ, μεῖζόν ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΕ, τοῦτ’ ἔστι, τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΕ· τὰ δὲ ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΕ, τοῦτ’ ἔστι, τὸ ἀπὸ τῆς ΓΕ, μεῖζόν ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΒΖ, ΖΕ, τοῦτ’ ἔστι, τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΕ· ἡ μὲν ΔΕ ἄρα τῆς ΕΓ μείζων ἐστὶν, ἡ δὲ ΕΓ τῆς ΕΒ. Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Ε σημείου πρὸς τὴν τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου περιφέρειαν προςπιπτουσῶν εὐθειῶν μεγίστη a μέν ἐστιν ἡ ΔΕ, ἐλάσσων δὲ ἡ ΕΒ.

Μεγίστη ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΔ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Ε σημείου πρὸς τὴν τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου περιφέρειαν προςπιπτουσῶν εὐθειῶν, ἡ δὲ ΕΒ ἐλαχίστη.