Scaife ATLAS

CTS Library / Ἐγχειρίδιον ἁρμονικῆς

Ἐγχειρίδιον ἁρμονικῆς (8)

urn:cts:greekLit:tlg0358.tlg002.1st1K-grc1:8
Refs {'start': {'reference': '8', 'human_reference': 'Section 8'}}
Ancestors []
Children []
prev
plain textXML
next
(p. 15) 8. Ἐξήγησις τῶν ἐν Τιμαίῳ ἁρμονικῶς εἰρημένων.

η. Χρήσιμον δʼ ἐστὶν ἐνταῦθα γινομένους τὴν Πλατωνικὴν εὐκαίρως διαπτύξαι λέξιν, ἣν ἐν τῇ ψυχογονίᾳ.
προηνέγκατο εἰπὼν ,,ὥστε ἐν ἑκάστῳ διαστήματι δύο εἶναι μεσότητας, τὴν μὲν ταὐτῷ μέρει τῶν ἄκρων αὐτῶν ὑπερέχουσαν καὶ ὑπερεχομένην, τὴν δὲ ἴσῳ μὲν κατʼ ἀριθμὸν ὑπερέχουσαν, ἴσῳ δὲ ὑπερεχομένην. ἡμιολίων δὲ καὶ ἐπιτρίτων διαστάσεων διάστασιν
τῷ τοῦ ἐπογδόου λείμματι συνεπληροῦτο.“

Διάστημα μὲν γὰρ διπλάσιον δώδεκα πρὸς τὰ ἓξ, μεσότητες δὲ δύο, τε ἐννέα ἀριθμὸς καὶ ὀκτώ. ἀλλʼ μὲν ὀκτὼ κατὰ τὴν ἁρμονικὴν ἀναλογίαν μεσιτεύει τόν τε ἓξ καὶ τὸν δώδεκα, ὑπερέχων μὲν
τοῦ ἓξ τρίτῳ αὐτοῦ τοῦ ἓξ, ὑπερεχόμενος δὲ ὑπὸ τοῦ ιβ τρίτῳ αὐτοῦ τοῦ ιβ· διόπερ ταὐτῷ μέρει ἐν αὐτοῖς τοῖς ἄκροις θεωρουμένῳ ὑπερέχειν τε καὶ ὑπερέχεσθαι τὴν ὀκτὼ μεσότητα εἶπεν οἷα δὴ ἁρμονικῆς ὑπάρχουσαν ἀναλογίας. ὡς γὰρ μέγιστος ὅρος πρὸς τὸν
ἐλάχιστον διπλάσιος, οὕτω καὶ τοῦ μεγίστου παρὰ [*] [*]

251
τὸν μέσον διαφορὰ τετρὰς οὖσα πρὸς τὴν τοῦ μέσου παρὰ τὸν ἐλάχιστον δυάδα οὖσαν· καὶ αὗται γὰρ ἐν διπλασίῳ λόγῳ τετρὰς πρὸς δυάδα. ἴδιον δὲ τῆς τοιαύτης μεσότητος τὸ συντεθέντων τῶν ἄκρων ἀλλήλοις
καὶ ὑπὸ τοῦ μέσου πολυπλασιασθέντων διπλάσιον ἀποτελεῖσθαι τὸ γινόμενον τοῦ ὑπὸ τῶν ἄκρων γινομένου (p. 16) προμήκους. ὀκτάκις γὰρ τῶν ἄκρων σύνθεσις τουτέστι τὰ ὀκτωκαίδεκα ποιεῖ τὸν ρμδ, ὅς ἐστι διπλάσιος τοῦ ὑπὸ τῶν ἄκρων προμήκους, τοῦτʼ ἔστι
τοῦ o β. δὲ ἑτέρα μεσότης, ἐννέα, κατὰ τὴν παρα- μέσην τεταγμένη, ἐν ἀριθμητικῇ μεσότητι ἐνθεωρεῖται πρὸς τὰ ἄκρα τῷ αὐτῷ ἀριθμῷ (τρία) ὑπερεχομένη μὲν ὑπὸ τοῦ δώδεκα, ὑπερέχουσα δὲ τὰ ἕξ. ἴδιον δὲ καὶ ταύτης τὸ διπλάσιον εἶναι τὴν σύνθεσιν τῶν ἄκρων αὐτοῦ
τοῦ μέσου, καὶ τὸ μεῖζονὑπάρχειν τὸ ἀπὸ τοῦ μέσου τετράγωνον (οἷον τὸ α) τοῦ ὑπὸ τῶν ἄκρων προμήκους (τουτέστι τοῦ ο β) ὅλῳ τῷ ὑπὸ τῶν διαφορῶν τετραγώνῳ, τουτέστι τῷ τρὶς θ αὕτη γὰρ διαφορά. δύναται δέ τις καὶ τὴν τρίτην μεσότητα τὴν κυριώτερον
ἀναλογίαν λεγομένην ἐν ἀμφοτέροις ἐπιδεῖξαι τοῖς μέσοις ὅροις, τῷ θ καὶ τῷ η. ἀνὰ γὰρ τὸν αὐτὸν λόγον ὑπάρχει ιβ πρὸς n ὡς θ πρὸς ς, ἡμιόλιον [*] [*]
252
γὰρ ἀμφότεροι. καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων πρόμηκες ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν μέσων, τὸ δωδεκάκις Ϛ τῷ ἐννάκις η.

Tokens

p 1 w 2
15 1 w 5
8 1 w 7
Ἐξήγησις 1 w 16
τῶν 1 w 19
ἐν 1 w 21
Τιμαίῳ 1 w 27
ἁρμονικῶς 1 w 36
εἰρημένων 1 w 45
η 3 w 47
Χρήσιμον 1 w 56
δʼ 1 w 58
ἐστὶν 1 w 63
ἐνταῦθα 1 w 70
γινομένους 1 w 80
τὴν 1 w 83
Πλατωνικὴν 1 w 93
εὐκαίρως 1 w 101
διαπτύξαι 1 w 110
λέξιν 1 w 115
ἣν 1 w 118
ἐν 3 w 120
τῇ 1 w 122
ψυχογονίᾳ 1 w 131
προηνέγκατο 1 w 143
εἰπὼν 1 w 148
ὥστε 1 w 154
ἐν 4 w 156
ἑκάστῳ 1 w 162
διαστήματι 1 w 172
δύο 1 w 175
εἶναι 1 w 180
μεσότητας 1 w 189
τὴν 2 w 193
μὲν 1 w 196
ταὐτῷ 1 w 201
μέρει 1 w 206
τῶν 2 w 209
ἄκρων 1 w 214
αὐτῶν 1 w 219
ὑπερέχουσαν 1 w 230
καὶ 1 w 233
ὑπερεχομένην 1 w 245
τὴν 3 w 249
δὲ 1 w 251
ἴσῳ 1 w 254
μὲν 2 w 257
κατʼ 1 w 261
ἀριθμὸν 1 w 268
ὑπερέχουσαν 2 w 279
ἴσῳ 2 w 283
δὲ 2 w 285
ὑπερεχομένην 2 w 297
ἡμιολίων 1 w 306
δὲ 3 w 308
καὶ 2 w 311
ἐπιτρίτων 1 w 320
διαστάσεων 1 w 330
διάστασιν 1 w 339
τῷ 2 w 341
τοῦ 1 w 344
ἐπογδόου 1 w 352
λείμματι 1 w 360
συνεπληροῦτο 1 w 372
Διάστημα 1 w 382
μὲν 3 w 385
γὰρ 1 w 388
διπλάσιον 1 w 397
1 w 398
δώδεκα 1 w 404
πρὸς 1 w 408
τὰ 1 w 410
ἓξ 1 w 412
μεσότητες 1 w 422
δὲ 4 w 424
δύο 2 w 427
1 w 429
τε 3 w 431
ἐννέα 1 w 436
ἀριθμὸς 1 w 443
καὶ 3 w 446
2 w 447
ὀκτώ 1 w 451
ἀλλʼ 1 w 456
3 w 457
μὲν 4 w 460
ὀκτὼ 1 w 464
κατὰ 1 w 468
τὴν 4 w 471
ἁρμονικὴν 1 w 480
ἀναλογίαν 1 w 489
μεσιτεύει 1 w 498
τόν 1 w 501
τε 5 w 503
ἓξ 2 w 505
καὶ 4 w 508
τὸν 1 w 511
δώδεκα 2 w 517
ὑπερέχων 1 w 526
μὲν 5 w 529
τοῦ 2 w 532
ἓξ 3 w 534
τρίτῳ 1 w 539
αὐτοῦ 1 w 544
τοῦ 4 w 547
ἓξ 4 w 549
ὑπερεχόμενος 1 w 562
δὲ 5 w 564
ὑπὸ 1 w 567
τοῦ 5 w 570
ιβ 1 w 572
2 w 573
τρίτῳ 2 w 578
αὐτοῦ 2 w 583
τοῦ 7 w 586
ιβ 2 w 588
διόπερ 1 w 595
ταὐτῷ 2 w 600
μέρει 2 w 605
ἐν 6 w 607
αὐτοῖς 1 w 613
τοῖς 2 w 617
ἄκροις 1 w 623
θεωρουμένῳ 1 w 633
ὑπερέχειν 1 w 642
τε 6 w 644
καὶ 5 w 647
ὑπερέχεσθαι 1 w 658
τὴν 5 w 661
ὀκτὼ 2 w 665
μεσότητα 2 w 673
εἶπεν 1 w 678
οἷα 1 w 681
δὴ 1 w 683
ἁρμονικῆς 1 w 692
ὑπάρχουσαν 1 w 702
ἀναλογίας 1 w 711
ὡς 1 w 714
γὰρ 2 w 717
4 w 718
μέγιστος 1 w 726
ὅρος 1 w 730
πρὸς 2 w 734
τὸν 2 w 737
ἐλάχιστον 1 w 746
διπλάσιος 1 w 755
οὕτω 1 w 760
καὶ 6 w 763
2 w 764
τοῦ 8 w 767
μεγίστου 1 w 775
παρὰ 1 w 779
6 1 w 780
προσηνέγκατο 1 w 792
R 1 w 793
10 1 w 796
διαστάσεων 2 w 806
διάστασιν 2 w 815
Μ 1 w 816
δια- 1 w 821
στάσεων 3 w 828
διαστασῶν 1 w 837
R 2 w 838
ἡμ 2 w 841
δὲ 6 w 844
διαστ 5 w 849
καὶ 7 w 853
ἐπιτρίτωυν 1 w 863
καὶ 8 w 866
ἐπογ- 1 w 871
δόων 1 w 875
γενομένων 1 w 884
ἐκ 1 w 886
τούτων 1 w 892
τῶν 4 w 895
δεσμῶν 1 w 901
ἐν 7 w 903
ταῖς 1 w 907
πρόσθεν 1 w 914
δια- 2 w 918
στάσεσι 1 w 925
Β 1 w 926
cum 1 w 929
Platonis 1 w 937
Τimaeo 1 w 943
c 2 w 944
8 2 w 946
p 2 w 948
36a 1 w 952
11 1 w 955
ἐπογδόου 2 w 963
λείμματι 2 w 971
M 1 w 972
ἐπογδόου 3 w 981
λήμματι 1 w 988
R 3 w 989
ἐπ 7 w 992
λείμματι 3 w 1001
τὰ 3 w 1003
ἐπίτριτα 1 w 1011
πάντα 1 w 1016
B 1 w 1017
ἐπ 9 w 1020
διαστήματι 2 w 1031
τὰ 4 w 1033
ἐπίτριτα 2 w 1041
πάντα 2 w 1046
Plato 2 w 1051
an 1 w 1055
scrbd 1 w 1060
ἐπ 11 w 1063
καὶ 9 w 1067
τῷ 4 w 1069
λ 16 w 1070
12 1 w 1075
τὸ 3 w 1077
δώδ 3 w 1080
R 4 w 1082
16 1 w 1085
ὑπὸ 2 w 1088
om 1 w 1090
MB 1 w 1093
18 1 w 1096
τοῖς 3 w 1100
ἴσοις 1 w 1105
R 5 w 1106
7 1 w 1108
Ἁρμονικὴ 1 w 1116
ἀναλογία 3 w 1124
6 4 w 1126
8 4 w 1127
12 2 w 1129
maximus 1 w 1137
numerus 1 w 1144
12 3 w 1146
tertia 1 w 1152
sua 1 w 1155
parte 1 w 1160
superat 1 w 1167
medium 1 w 1173
8 5 w 1174
minimus 1 w 1182
6 5 w 1183
eadem 1 w 1188
sua 2 w 1191
parte 2 w 1196
1 10 w 1197
3 2 w 1199
cedit 1 w 1204
medio 1 w 1209
illi 1 w 1213
8 6 w 1214
itaque 1 w 1221
hic 1 w 1224
eadem 2 w 1229
exremorum 1 w 1238
parte 3 w 1243
et 1 w 1245
cedit 2 w 1250
et 2 w 1252
superatur 1 w 1261
cf 1 w 1264
p 8 w 1266
124 1 w 1270
τὸν 3 w 1274
μέσον 1 w 1279
διαφορὰ 1 w 1286
τετρὰς 1 w 1292
οὖσα 1 w 1296
πρὸς 3 w 1300
τὴν 6 w 1303
τοῦ 9 w 1306
μέσου 1 w 1311
παρὰ 2 w 1315
τὸν 4 w 1318
ἐλάχιστον 2 w 1327
δυάδα 1 w 1332
οὖσαν 1 w 1337
καὶ 10 w 1341
αὗται 1 w 1346
γὰρ 3 w 1349
ἐν 8 w 1351
διπλασίῳ 1 w 1359
λόγῳ 1 w 1363
τετρὰς 2 w 1369
πρὸς 4 w 1373
δυάδα 2 w 1378
ἴδιον 1 w 1384
δὲ 7 w 1386
τῆς 1 w 1389
τοιαύτης 1 w 1397
μεσότητος 1 w 1406
τὸ 6 w 1408
συντεθέντων 1 w 1419
τῶν 5 w 1422
ἄκρων 2 w 1427
ἀλλήλοις 1 w 1435
καὶ 11 w 1438
ὑπὸ 3 w 1441
τοῦ 10 w 1444
μέσου 2 w 1449
πολυπλασιασθέντων 1 w 1466
διπλάσιον 2 w 1475
ἀποτελεῖσθαι 1 w 1487
τὸ 7 w 1489
γινόμενον 1 w 1498
τοῦ 11 w 1501
ὑπὸ 4 w 1504
τῶν 6 w 1507
ἄκρων 3 w 1512
γινομένου 2 w 1521
p 9 w 1523
16 2 w 1526
προμήκους 1 w 1536
ὀκτάκις 1 w 1544
γὰρ 4 w 1547
4 w 1548
τῶν 7 w 1551
ἄκρων 4 w 1556
σύνθεσις 1 w 1564
τουτέστι 1 w 1572
τὰ 5 w 1574
ὀκτωκαίδεκα 1 w 1585
ποιεῖ 1 w 1590
τὸν 5 w 1593
ρμδ 1 w 1596
ὅς 1 w 1599
ἐστι 1 w 1603
διπλάσιος 2 w 1612
τοῦ 12 w 1615
ὑπὸ 5 w 1618
τῶν 8 w 1621
ἄκρων 5 w 1626
προμήκους 2 w 1635
τοῦτʼ 1 w 1641
ἔστι 1 w 1645
τοῦ 14 w 1648
o 7 w 1649
β 3 w 1650
5 w 1652
δὲ 8 w 1654
ἑτέρα 1 w 1659
μεσότης 1 w 1666
6 w 1668
ἐννέα 2 w 1673
κατὰ 2 w 1678
τὴν 7 w 1681
παρα- 1 w 1686
μέσην 1 w 1691
τεταγμένη 1 w 1700
ἐν 10 w 1703
ἀριθμητικῇ 1 w 1713
μεσότητι 1 w 1721
ἐνθεωρεῖται 1 w 1732
πρὸς 5 w 1736
τὰ 7 w 1738
ἄκρα 1 w 1742
τῷ 5 w 1744
αὐτῷ 3 w 1748
ἀριθμῷ 1 w 1754
τρία 1 w 1759
ὑπερεχομένη 3 w 1771
μὲν 6 w 1774
ὑπὸ 6 w 1777
τοῦ 15 w 1780
δώδεκα 3 w 1786
ὑπερέχουσα 3 w 1797
δὲ 9 w 1799
τὰ 8 w 1801
ἕξ 1 w 1803
ἴδιον 2 w 1809
δὲ 10 w 1811
καὶ 12 w 1814
ταύτης 1 w 1820
τὸ 9 w 1822
διπλάσιον 3 w 1831
εἶναι 2 w 1836
τὴν 8 w 1839
σύνθεσιν 1 w 1847
τῶν 9 w 1850
ἄκρων 6 w 1855
αὐτοῦ 3 w 1860
τοῦ 17 w 1863
μέσου 3 w 1868
καὶ 13 w 1872
τὸ 10 w 1874
μεῖζονὑπάρχειν 1 w 1888
τὸ 11 w 1890
ἀπὸ 1 w 1893
τοῦ 18 w 1896
μέσου 4 w 1901
τετράγωνον 1 w 1911
οἷον 1 w 1916
τὸ 12 w 1918
α 102 w 1919
τοῦ 19 w 1923
ὑπὸ 7 w 1926
τῶν 10 w 1929
ἄκρων 7 w 1934
προμήκους 3 w 1943
τουτέστι 2 w 1952
τοῦ 20 w 1955
ο 108 w 1956
β 4 w 1957
ὅλῳ 1 w 1961
τῷ 7 w 1963
ὑπὸ 8 w 1966
τῶν 11 w 1969
διαφορῶν 1 w 1977
τετραγώνῳ 1 w 1986
τουτέστι 3 w 1995
τῷ 8 w 1997
τρὶς 1 w 2001
θ 15 w 2002
αὕτη 1 w 2006
γὰρ 5 w 2009
7 w 2010
διαφορά 1 w 2017
δύναται 1 w 2025
δέ 1 w 2027
τις 1 w 2030
καὶ 14 w 2033
τὴν 9 w 2036
τρίτην 1 w 2042
μεσότητα 3 w 2050
τὴν 10 w 2053
κυριώτερον 1 w 2063
ἀναλογίαν 2 w 2072
λεγομένην 1 w 2081
ἐν 12 w 2083
ἀμφοτέροις 1 w 2093
ἐπιδεῖξαι 1 w 2102
τοῖς 4 w 2106
μέσοις 1 w 2112
ὅροις 1 w 2117
τῷ 9 w 2120
θ 16 w 2121
καὶ 15 w 2124
τῷ 10 w 2126
η 26 w 2127
ἀνὰ 1 w 2131
γὰρ 6 w 2134
τὸν 6 w 2137
αὐτὸν 1 w 2142
λόγον 1 w 2147
ὑπάρχει 2 w 2154
ιβ 3 w 2156
πρὸς 6 w 2160
n 5 w 2161
ὡς 2 w 2163
θ 17 w 2164
πρὸς 7 w 2168
ς 50 w 2169
ἡμιόλιον 1 w 2178
2 5 w 2179
δ 60 w 2180
ὑπάρχουσαν 2 w 2191
M 3 w 2192
4 2 w 2194
τὸ 15 w 2196
om 2 w 2198
B 3 w 2200
τῶν 12 w 2204
M 4 w 2205
συνθέτων 1 w 2214
M1 1 w 2216
5 2 w 2218
πολλαπλασ 1 w 2227
B 4 w 2229
8 7 w 2231
τῶν 13 w 2234
ὀκτ 6 w 2237
B 5 w 2239
10 2 w 2242
9 w 2243
ad 3 w 2246
ἐννέα 3 w 2251
om 3 w 2254
R 6 w 2256
10 3 w 2259
μέσην 2 w 2264
B1 1 w 2266
παρα 2 w 2271
add 1 w 2274
B2 1 w 2277
11 2 w 2280
ἐνθεωρῆται 1 w 2290
R 7 w 2291
12 5 w 2294
τῶν 14 w 2297
τρία 2 w 2301
B 8 w 2302
τῷ 11 w 2305
τρία 3 w 2309
M 6 w 2310
τρία 4 w 2315
R 8 w 2316
13 1 w 2318
τὴν 11 w 2321
ἓβ 1 w 2323
M 7 w 2324
14 1 w 2327
αὐτοῦ 4 w 2332
τε 15 w 2334
τοῦ 22 w 2337
M 8 w 2338
15 2 w 2341
ἀπὸ 2 w 2344
B2 2 w 2346
17 1 w 2349
διαφόρων 1 w 2357
RM 1 w 2359
18 2 w 2362
τουτὶ 1 w 2367
M 10 w 2368
Υ 1 w 2370
θ 20 w 2371
M 11 w 2372
τρία 5 w 2377
ἐννέα 4 w 2382
B 10 w 2383
τρὶς 2 w 2388
rep 1 w 2392
R 10 w 2395
20 1 w 2398
post 1 w 2402
ἀναλογίαν 3 w 2411
4 4 w 2412
litt 1 w 2416
erasae 1 w 2423
M 12 w 2424
21 1 w 2427
τῷ 12 w 2429
η 28 w 2431
om 4 w 2434
M 13 w 2436
22 1 w 2439
ἡμιόλιοι 1 w 2447
om 5 w 2450
γὰρ 7 w 2454
M 14 w 2455
B 11 w 2456
4 5 w 2458
6 7 w 2459
12 6 w 2461
18 3 w 2463
18 4 w 2466
8 11 w 2468
144 1 w 2471
6 8 w 2473
12 7 w 2475
72 1 w 2477
2 16 w 2479
72 2 w 2482
144 2 w 2485
15 3 w 2488
μεῖζον 2 w 2494
ὑπάρχειν 2 w 2502
81 1 w 2505
superat 3 w 2512
μζ 1 w 2515
ὑπ 24 w 2518
72 3 w 2521
numero 1 w 2527
9 1 w 2528
3 4 w 2529
3 5 w 2531
γὰρ 8 w 2535
ἀμφότεροι 1 w 2544
καὶ 16 w 2548
τὸ 16 w 2550
ὑπὸ 9 w 2553
τῶν 15 w 2556
ἄκρων 8 w 2561
πρόμηκες 1 w 2569
ἴσον 1 w 2573
τῷ 13 w 2575
ὑπὸ 10 w 2578
τῶν 16 w 2581
μέσων 1 w 2586
τὸ 17 w 2589
δωδεκάκις 1 w 2598
Ϛ 1 w 2599
τῷ 14 w 2601
ἐννάκις 1 w 2608
η 30 w 2609