Commentarii in libros de sphaera et cylindro (8)

Ἤχθω γὰρ ἡ ΗΖ ἐφαπτομένη τοῦ κύκλου καὶ παράλληλος οὖσα τῇ ΑΓ δίχα τμηθείσης τῆς ΑΒΓ περιφερείας κατὰ τὸ Β Ὅτι γὰρ ἡ οὕτως ἀγομένη
παράλληλος γίνεται τῇ ΑΓ, δειχθήσεται ἀπὸ τοῦ κέντρου τοῦ Θ ἐπιζευχθεισῶν τῶν ΘΑ, Θ , ΘΓ. Ἐπεὸ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ Α τῇ Γ, καὶ κοινὴ ἡ Θ, δύο δυσὶν ἴσαι. Ἀλλὰ καὶ βάσις ἡ ΑΘ βάσει τῇ ΘΓ· καὶ γωνία ἄρα γωνίᾳ ἐστὶν ἴση. Εἰσὶν δὲ καὶ αἱ ὑπὸ ΗΒ , ΒΖ γωνίαι ὀρθαί· ἀπὸ
γὰρ τοῦ κέντρου ἐπὶ τὴν ἁφὴν ἐπέζευκται ἡ ΘΒ· ὥστε καὶ λοιπὴ ἡ ὑπὸ ΗΒ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΖΒ ἐστὶν ἴση. Καὶ διὰ τοῦτο ἡ Η τῇ Ζ ἴση ἐστίν ὥστε παράλληλός ἐστιν ἡ ΖΗ τῇ ΑΓ.

Περιγράφοντες δὴ πολύγωνα περὶ τὸ τμῆμα ὁμοίως
δίχα τεμνομένων τῶν περιλειπομένων περιφερειῶν καὶ ἀγομένων ἐφαπτομένων λείψομέν τινα ἀποτμήματα ἐλάσσονα τοῦ Θ χωρίου Ἐπὶ μὲν τῶν ἐγγραφομένων δὲδεικται

ἐν τῇ Στοιχειώσει ὅτι τὰ ἐγγραφόμενα τρίγωνα εἰς τὰ τμήματα μείζονά ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τῶν καθ ἑαυτὰ τμημάτων, καὶ διὰ τοῦτο δυνατὸν ἦν τέμνοντας τὰς περιφερείας δίχα καὶ ἐπιζευγνύντας εὐθείας καταλείπειν τινὰ ἀποτμήματα
ἐλάσσονα τοῦ δοθέντος χωρίου ἐπὶ δὲ τῆς περιγραφῆς οὐκέτι τοῦτο δέδεικται ἐν τῇ Στοιχειώσει.

Ἐπεὶ οὖν ἐν τῷ προκειμένῳ τοῦτό φησιν, ὃ καὶ ἔστιν αὐτὸ συλλογίσασθαι διὰ τοῦ Ϛ θεωρήματος, δεικτέον ὅτι ἡ ἐφαπτομένη ἀφαιρεῖ τρίγωνον μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ
τοῦ καθ ἑαυτὸ περιλείμματος, οἷον ὡς ἐπὶ τῆς αὐτῆς καταγραφῆς ὅτι τὸ Η Ζ τρίγωνον μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ περιλείμματος τοῦ περιεχομένου ὑπὸ τῶν Α , Γ καὶ τῆς ΑΒΓ περιφερείας.

Τῶν γὰρ αὐτῶν ἐπεζευγμένων, ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ
ΒΖ, μείζων ἐστὶν ἡ Ζ τῆς ΒΖ. δὲ ΖΒ τῇ ΖΓ ἴση· ἐφάπτεται γὰρ ἑκατέρα αὐτῶν καὶ ἡ Ζ ἄρα τῆς ΖΓ μείζων. Ὥστε καὶ τὸ ΒΖ τρίγωνον μεῖζόν ἐστι τοῦ ΒΖΓ τριγώνου ὑπὸ γὰρ τὸ αὐτὸ ὕψος εἰσίν· πολλῷ ἄρα τοῦ ΒΖΓ περιλείμματος μεῖζόν ἐστιν. Διὰ τὰ αὐτὰ

δὴ καὶ τὸ ΒΗ τοῦ ΒΗΑ μεῖζον· ὅλον ἄρα τὸ ΖΗ μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ Α Γ περιλείμματος.