Scaife ATLAS

CTS Library / De utilitate mathematicae

De utilitate mathematicae (21-25)

urn:cts:greekLit:tlg1724.tlg001.1st1K-grc1:21-25
Refs {'start': {'reference': '21', 'human_reference': 'Paragraph 21'}, 'end': {'reference': '25', 'human_reference': 'Paragraph 25'}}
Ancestors []
Children []
prev
plain textXML
next

ἔτι τῶν συνθέτων ἀριθμῶν οἱ μὲν ἰσάκις ἴσοι εἰσὶ
καὶ τετράγωνοι καὶ ἐπίπεδοι, ἐπειδὰν ἴσος ἐπὶ ἴσον πολλαπλασιασθεὶς γεννήσῃ τινὰ ἀριθμόν, [ γεννηθεὶς ἰσάκις τε ἴσος καὶ τετράγωνός ἐστιν] ὡς δ, ἔστι γὰρ δὶς β, καὶ θ, ἔστι γὰρ τρὶς γ· οἱ δὲ ἀνισάκις ἄνι- σοι, ἐπειδὰν ἄνισοι ἀριθμιοὶ ἐπʼ ἀλλήλους πολλαπλα-
σιασθῶσιν, ὡς ϛ· ἔστι γὰρ δὶς γ ϛ.

τούτων δὲ ἑτερομήκεις μέν εἰσιν οἱ τὴν ἑτέραν πλευρὰν τῆς ἑτέρας μονάδι μείζονα ἔχοντες. ἔστι δὲ τοῦ περισσοῦ ἀριθμοῦ μονάδι πλεονάζων καὶ ἄρτιος· [*] [*]

27
διὸ μόνον ἄρτιοι οἱ ἑτερομήκεις. γὰρ ἀρχὴ τῶν ἀριθμῶν, τουτέστιν μονάς, περισσὴ οὖσα τὴν ἑτερό- τητα ζητοῦσα τὴν δυάδα ἑτερομήκη τῷ αὐτῆς διπλα- σιασμῷ ἐποίησε, καὶ διὰ τοῦτο δυὰς τῆς μονάδος ἑτερομήκης οὖσα καὶ μονάδι ὑπερέχουσα τοὺς ἀρτίους
ἀριθμοὺς τῶν περισσῶν ἑτερομήκεις ποιεῖ μονάδι ὑπερ- ἐχοντας. γεννῶνται δὲ διχῶς, ἔκ τε πολλαπλασιασμοῦ καὶ ἐπισυνθέσεως. ἐκ μὲν ἐπισυνθέσεως οἱ ἄρτιοι τοῖς ἐφεξῆς ἐπισυντιθέμενοι τοὺς ἀπογεννωμένους ποιοῦσιν ἑτερομήκεις. οἷον ἐκκείσθωσαν ἄρτιοι κατὰ τὸ ἑξῆς βʹ
δʹ ςʹ ηʹ ι ιβʹ ιδʹ ιςʹ ιηʹ· γίνονται δὲ κατʼ ἐπισύνθεσιν βʹ καὶ δ ϛʹ, ϛʹ καὶ ϛʹ ιβ, ιβʹ καὶ ηʹκ, κʹ καὶ ιλ· ὥστε εἶεν ἂν οἱ γεγεννημένοι ἑτερομήκεις ϛʹ ιβʹ κʹ λ. δὲ αὐτὸς λόγος καὶ ἐπὶ τῶν ἑξῆς. κατὰ δὲ πολλαπλασια- σμὸν οἱ αὐτοὶ ἑτερομήκεις γεννῶνται τῶν ἐφεξῆς ἀρτίων
τε καὶ περιττῶν τοῦ πρώτου ἐπὶ τὸν ἑξῆς πολλαπλασια- ζομένου· οἷον αʹ βʹ γʹ δʹ εʹ ϛʹ ζ ηʹ θʹ ιʹ ἅπαξ μὲν γὰρ βʹ β, θὶς δὲ γʹ ϛ, τρὶς δὲ δʹ ιβ, τετράκις δὲ εʹ κ, πεντάκις δὲ ϛʹ λ· καὶ ἐπὶ τῶν ἑξῆς αὐτὸς λόγος. ἑτε- ρομήκεις δὲ οἱ τοιοῦτοι κέκληνται, ἐπειδὴ πρώτην ἑτε-
ρότητα τῶν πλευρῶν προσθήκη τῇ ἑτέρᾳ πλευρᾷ τῆς μονάδος ποιεῖ.

παραλληλόγραμμοι δέ εἰσιν ἀριθμοὶ οἱ δυάδι καὶ μείζονι ἀριθμῷ τὴν ἑτέραν πλευρὰν τῆς ἑτέρας [*] [*] [*]

28
ὑπερέχουσαν ἔχοντες, ὡς δὶς δʹ καὶ τετράκις ϛʹ καὶ ἑξάκις ηʹ καὶ ὀκτάκις ι, οἵτινές εἰσιν ηʹ κδʹ μηʹ π.

τετράγωνοί εἰσιν οἱ ἐκ τῶν κατὰ τὸ ἑξῆς περισσῶν ἐπισυντιθεμένων ἀλλήλοις γεννώμενοι. οἷον ἐκκείσθω-
σαν ἐφεξῆς περισσοὶ αʹ γʹ εʹ ζ θʹ ια ἓν καὶ γʹ δʹ, ὅς ἐστι τετράγωνος, ἰσάκις γάρ ἐστιν ἴσος, τουτέστι δὶς βʹ δʹ δʹ καὶ εʹ θʹ, ὸς καὶ αὐτὸς τετράγωνος· ἔστι γὰρ τρὶς γʹ θʹ· θʹκαὶ ζ ιϛ, ὃς καὶ αὐτὸς τετράγωνός ἐστι· τετράκις γὰρ δ ιςʹ ιςʹ καὶ θʹ κε, ὃς καὶ αὐτὸς τετράγωνός ἐστι καὶ
ἰσάκις ἴσος· ἔστι γὰρ πεντάκις εʹ κε· καὶ μέχρις ἀπείρου αὐτὸς λόγος. κατὰ μὲν οὖν ἐπισύνθεσιν οὕτως γεννῶν- ται οἱ τετράγωνοι, τῶν ἐφεξῆς περισσῶν τῷ γεννωμένῳ ἀπὸ μονάδος τετραγώνῳ προστιθεμένων· κατὰ πολλαπλα- σιασμιὸν δέ, ἐπειδὰν ὁστισοῦν ἀριθμὸς ἐφʼ ἑαυτὸνπολλα-
πλασιασθῇ, οἷον δὶς βʹ δʹ, τρὶς γʹ θʹ, τετράκις δʹ ιϛ.

οἱ μὲν οὖν τετράγωνοι πάντες τοὺς ἐτερομιήκεις περιλαμβάνουσι κατὰ τὴν γεωμετρικὴν ἀναλογίαν καὶ μέσους αὐτοὺς ποιοῦσι [τουτέστι τοὺς μονάδι μείζονας τὴν ἑτέραν πλευρὰν τῆς ἑτέρας ὑπερέχοντας οἱ δὲ
ἑτερομήκεις οὐκ ἔτι τοὺς τετραγώνους περιλαμβάνουσιν ὡς μέσους εἶναι κατὰ ἀναλογίαν. οἷον αʹ βʹ γʹ δʹ εʹ, οὖτοι τῷ μὲν ἰδίῳ πλήθει πολλαπλασιαζόμενοι ποιοῦσι τετραγώνους· ἅπαξ τε γὰρ αʹ αʹ καὶ δὶς βʹ δʹ καὶ τρὶς γʹ θʹ καὶ τετράκις δʹ ιϛʹ καὶ πεντάκις εʹ κε· καὶ οὐκ
ἐκβαίνουσι τῶν ἰδίων ??ρων· τε γὰρ δυὰς ἑαυτὴν [*] [*]

29
ἐδύασε καὶ τριὰς ἑαυτὴν ἐτρίασεν, ὥστε εἶεν ἂν τε- τράγωνοι οἱ ἑξῆς αʹ δʹ θʹ ιςʹ κε. μέσους δὲ ἔχουσι τοὺς ἑτερομήκεις οὕτως. τετράγωνοι δύο ἐφεξῆς τε αʹ καὶ δʹ· τούτων μέσος ἑτερομήκης β· κείσθωσαν δὴ αʹ βʹ δ· μέσος γίνεται βʹ, τῷ αὐτῷ λόγῳ τῶν ἄκρων τοῦ
μὲν ὑπερέχων, ὑφʼ οὐ δὲ ὑπερεχόμενος· τοῦ μὲν γὰρ ἑνὸς τὰ βʹ διπλάσια, τῶν δὲ βʹ τὰ δʹ. πάλιν τετράγω- νοι μὲν δʹ κἰαὶ θʹ· μέσος δὲ αὐτῶν ἑτερομήκης ϛʹ· κείσθωσαν δὴ δʹ ϛʹ θʹ· μέσος ϛʹ, τῷ αὐτῷ λόγῳ τῶν ἄκρων τοῦ μὲν [γὰρ] ὑπερέχων, ὑφʼ οὗ δὲ ὑπερεχόμε-
νος· τῶν μὲν γὰρ δʹ τὰ ϛʹ ἡμιόλια, τῶν δὲ ϛʹ τὰ θ. δὲ αὐτὸς λόγος καὶ ἐπὶ τῶν ἑξῆς. οἱ δὲ ἑτερομήκεις, ὑπὸ τῶν τ μονάδι ὑπερεχόντων πολλαπλασιαζόμενοι, οὔτε μένουσιν ἐν τοῖς ἰδίοις ὅροις οὔτε περιέχουσι τοὺς τετραγώνους. οἷον τὰ δὶς γʹ γεννᾷ τὸν ϛʹ καὶ τὰ τρὶς
δʼ γεννᾷ τὸν ιβʹ καὶ τὰ τετράκις εʹ γεννᾷ τὸν κ, καὶ οὐδεὶς αὐτῶν μένει ἐν τῷ ἑαυτοῦ ὅρῳ, ἀλλὰ μεταπίπτει ἐν τῷ πολλαπλασιασμῷ, οἷον δυὰς ἐπὶ τριάδα καὶ τριὰς ἐπὶ τετράδα καὶ τετρὰς ἐπὶ πεντάδα· οἵ τε γεννώμενοι ὑπὸ τῶν ἑτερομηκῶν οὐ περιλαμβάνουσι τοὺς τετραγώ-
νους ἀριθμούς· οἷον ἐφεξῆς ἑτερομήκεις βʹ ϛʹ, μεταξὺ δὲ αὐτῶν ἐστι τῇ τάξει τετράγωνος δʹ· ἀλλὰ κατʼ οὐδεμίαν ἀναλογίαν περιλαμβάνεται ὑπʼ αὐτῶν ὥστε ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ πρὸς τὰ ἄκρα εἶναι. ἐκκείσθω γὰρ βʹ δʹ ϛʹ· τετρὰς ἐν διαφόροις λόγοις πρὸς τὰ ἄκρα
γενήσεται· τῶν μὲν γὰρ βʹ τὰ δʹ διπλάσια, τῶν δὲ δ [*] [*]
30
τὰ ϛʹ ἡμιόλια. ἵνα δὲ ἀναλόγως μέσον , δεῖ αὐτ?? οὕτως μέσον εἶναι, ὥστε ὃν ἔχει λόγον τὸ πρῶτον πρὸς τὸ μέσον, τοῦτον τὸ μέσον πρὸς τὸ τρίτον. πάλιν τῶν ϛʹ καὶ ιβʹ ἑτερομηκων μέσος τῇ τάξει τετράγωνος ?? θʹ,
ἀλλʼ οὐχ εὑρεθήσεται ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ πρὸς τὰ ἄκρα· ϛʹ θʹ ιβʹ·· τῶν μὲν γὰρ ϛʹ τὰ θʹ ἡμιόλια, τῶν δὲ θʹ τὰ ιβʹ ἐπίτριτα. δὲ αὐτὸς καὶ ἐπὶ τῶν ἑξῆς λόγος.

Tokens

ἔτι 1 w 3
τῶν 1 w 6
συνθέτων 1 w 14
ἀριθμῶν 1 w 21
οἱ 1 w 23
μὲν 1 w 26
ἰσάκις 1 w 32
ἴσοι 1 w 36
εἰσὶ 1 w 40
καὶ 1 w 43
τετράγωνοι 1 w 53
καὶ 2 w 56
ἐπίπεδοι 1 w 64
ἐπειδὰν 1 w 72
ἴσος 1 w 76
ἐπὶ 1 w 79
ἴσον 1 w 83
πολλαπλασιασθεὶς 1 w 99
γεννήσῃ 1 w 106
τινὰ 1 w 110
ἀριθμόν 1 w 117
1 w 120
γεννηθεὶς 1 w 129
ἰσάκις 2 w 135
τε 2 w 137
ἴσος 2 w 141
καὶ 3 w 144
τετράγωνός 1 w 154
ἐστιν 1 w 159
ὡς 1 w 162
2 w 163
δ 3 w 164
ἔστι 1 w 169
γὰρ 1 w 172
δὶς 1 w 175
β 1 w 176
καὶ 4 w 180
3 w 181
θ 6 w 182
ἔστι 2 w 187
γὰρ 2 w 190
τρὶς 1 w 194
γ 7 w 195
οἱ 2 w 198
δὲ 1 w 200
ἀνισάκις 1 w 208
ἄνι- 1 w 212
σοι 2 w 215
ἐπειδὰν 2 w 223
ἄνισοι 1 w 229
ἀριθμιοὶ 1 w 237
ἐπʼ 1 w 240
ἀλλήλους 1 w 248
πολλαπλα- 1 w 257
σιασθῶσιν 1 w 266
ὡς 2 w 269
4 w 270
ϛ 1 w 271
ἔστι 3 w 276
γὰρ 3 w 279
δὶς 2 w 282
γ 9 w 283
ϛ 2 w 284
τούτων 1 w 291
δὲ 2 w 293
ἑτερομήκεις 1 w 304
μέν 1 w 307
εἰσιν 1 w 312
οἱ 3 w 314
τὴν 1 w 317
ἑτέραν 1 w 323
πλευρὰν 1 w 330
τῆς 1 w 333
ἑτέρας 1 w 339
μονάδι 1 w 345
μείζονα 1 w 352
ἔχοντες 1 w 359
ἔστι 4 w 364
δὲ 3 w 366
5 w 367
τοῦ 1 w 370
περισσοῦ 1 w 378
ἀριθμοῦ 1 w 385
μονάδι 2 w 391
πλεονάζων 1 w 400
καὶ 5 w 403
ἄρτιος 1 w 409
5 1 w 411
inscr 1 w 416
περὶ 1 w 421
περισσάκις 1 w 431
ἀρτίων 1 w 437
Α 1 w 438
ια 3 w 441
in 2 w 443
mg 1 w 445
14 1 w 448
inscr 2 w 453
περὶ 2 w 458
ἰσάκις 3 w 464
ἴσων 1 w 468
A 1 w 469
ιβ 1 w 472
in 4 w 474
mg 2 w 476
15 1 w 479
καὶ 6 w 482
ἐπίπεδοι 2 w 490
fort 1 w 494
del 1 w 498
γὰρ 4 w 501
post 1 w 505
ἐπειδὰν 3 w 512
add 1 w 515
A 2 w 517
16 1 w 519
γεννήση 1 w 526
ση 2 w 529
corr 1 w 533
ex 1 w 536
σ 32 w 537
A 3 w 540
18 1 w 542
inscr 3 w 547
περὶ 3 w 552
τῶν 2 w 555
ἀνισάκις 2 w 563
ἀνίσων 1 w 569
A 4 w 570
ιγ 1 w 572
in 6 w 574
mg 3 w 576
21 1 w 579
sqq 1 w 582
cf 1 w 585
Cantor 1 w 592
mathemat 1 w 600
Beitr 1 w 606
zum 1 w 610
Culturleben 1 w 621
der 1 w 624
Völker 1 w 630
p 2 w 631
105 1 w 635
sqq 2 w 638
inser 1 w 644
περὶ 4 w 649
ἑτερομηκῶν 1 w 659
corr 2 w 664
ex 2 w 667
ἑτε- 1 w 671
ρομμιήκων 1 w 680
A 5 w 682
23 1 w 684
τοῦ 2 w 687
περισσοῦ 2 w 695
ἀριθμοῦ 2 w 702
mut 1 w 705
in 8 w 708
τῶ 3 w 710
περισσῷ 1 w 717
ἀριθμῶ 2 w 723
A 6 w 724
διὸ 1 w 728
μόνον 1 w 733
ἄρτιοι 1 w 739
οἱ 4 w 741
ἑτερομήκεις 2 w 752
1 w 754
γὰρ 5 w 757
ἀρχὴ 1 w 761
τῶν 3 w 764
ἀριθμῶν 2 w 771
τουτέστιν 1 w 781
2 w 782
μονάς 1 w 787
περισσὴ 1 w 795
οὖσα 1 w 799
τὴν 2 w 802
ἑτερό- 1 w 808
τητα 1 w 812
ζητοῦσα 1 w 819
τὴν 3 w 822
δυάδα 1 w 827
ἑτερομήκη 1 w 836
τῷ 1 w 838
αὐτῆς 1 w 843
διπλα- 1 w 849
σιασμῷ 1 w 855
ἐποίησε 1 w 862
καὶ 7 w 866
διὰ 1 w 869
τοῦτο 1 w 874
3 w 875
δυὰς 1 w 879
τῆς 3 w 882
μονάδος 1 w 889
ἑτερομήκης 1 w 899
οὖσα 2 w 903
καὶ 8 w 906
μονάδι 3 w 912
ὑπερέχουσα 1 w 922
τοὺς 1 w 926
ἀρτίους 1 w 933
ἀριθμοὺς 1 w 941
τῶν 4 w 944
περισσῶν 1 w 952
ἑτερομήκεις 3 w 963
ποιεῖ 1 w 968
μονάδι 4 w 974
ὑπερ- 1 w 979
ἐχοντας 1 w 986
γεννῶνται 1 w 996
δὲ 4 w 998
διχῶς 1 w 1003
ἔκ 1 w 1006
τε 13 w 1008
πολλαπλασιασμοῦ 1 w 1023
καὶ 9 w 1026
ἐπισυνθέσεως 1 w 1038
ἐκ 1 w 1041
μὲν 2 w 1044
ἐπισυνθέσεως 2 w 1056
οἱ 5 w 1058
ἄρτιοι 2 w 1064
τοῖς 1 w 1068
ἐφεξῆς 1 w 1074
ἐπισυντιθέμενοι 1 w 1089
τοὺς 2 w 1093
ἀπογεννωμένους 1 w 1107
ποιοῦσιν 1 w 1115
ἑτερομήκεις 4 w 1126
οἷον 1 w 1131
ἐκκείσθωσαν 1 w 1142
ἄρτιοι 3 w 1148
κατὰ 1 w 1152
τὸ 1 w 1154
ἑξῆς 1 w 1158
βʹ 1 w 1160
δʹ 1 w 1162
ςʹ 1 w 1164
ηʹ 1 w 1166
ι 81 w 1167
ιβʹ 1 w 1170
ιδʹ 1 w 1173
ιςʹ 1 w 1176
ιηʹ 1 w 1179
γίνονται 1 w 1188
δὲ 5 w 1190
κατʼ 1 w 1194
ἐπισύνθεσιν 1 w 1205
βʹ 3 w 1207
καὶ 10 w 1210
δ 28 w 1211
ϛʹ 1 w 1213
ϛʹ 2 w 1216
καὶ 11 w 1219
ϛʹ 3 w 1221
ιβ 3 w 1223
ιβʹ 2 w 1227
καὶ 12 w 1230
ηʹκ 1 w 1233
κʹ 1 w 1236
καὶ 13 w 1239
ι 91 w 1240
λ 16 w 1241
ὥστε 1 w 1246
εἶεν 1 w 1250
ἂν 1 w 1252
οἱ 6 w 1254
γεγεννημένοι 1 w 1266
ἑτερομήκεις 5 w 1277
ϛʹ 4 w 1279
ιβʹ 3 w 1282
κʹ 2 w 1284
λ 17 w 1285
6 w 1287
δὲ 6 w 1289
αὐτὸς 1 w 1294
λόγος 1 w 1299
καὶ 14 w 1302
ἐπὶ 2 w 1305
τῶν 5 w 1308
ἑξῆς 2 w 1312
κατὰ 2 w 1317
δὲ 7 w 1319
πολλαπλασια- 1 w 1331
σμὸν 1 w 1335
οἱ 7 w 1337
αὐτοὶ 1 w 1342
ἑτερομήκεις 6 w 1353
γεννῶνται 2 w 1362
τῶν 6 w 1365
ἐφεξῆς 2 w 1371
ἀρτίων 2 w 1377
τε 18 w 1379
καὶ 15 w 1382
περιττῶν 1 w 1390
τοῦ 5 w 1393
πρώτου 1 w 1399
ἐπὶ 3 w 1402
τὸν 1 w 1405
ἑξῆς 3 w 1409
πολλαπλασια- 2 w 1421
ζομένου 1 w 1428
οἷον 2 w 1433
αʹ 1 w 1435
βʹ 6 w 1437
γʹ 1 w 1439
δʹ 3 w 1441
εʹ 1 w 1443
ϛʹ 5 w 1445
ζ 5 w 1446
ηʹ 4 w 1448
θʹ 1 w 1450
ιʹ 1 w 1452
ἅπαξ 1 w 1456
μὲν 3 w 1459
γὰρ 6 w 1462
βʹ 7 w 1464
β 11 w 1465
θὶς 1 w 1469
δὲ 8 w 1471
γʹ 2 w 1473
ϛ 8 w 1474
τρὶς 2 w 1479
δὲ 9 w 1482
δʹ 4 w 1485
ιβ 6 w 1487
τετράκις 1 w 1496
δὲ 10 w 1498
εʹ 2 w 1500
κ 43 w 1501
πεντάκις 1 w 1510
δὲ 11 w 1512
ϛʹ 6 w 1514
λ 25 w 1515
καὶ 16 w 1519
ἐπὶ 4 w 1522
τῶν 8 w 1525
ἑξῆς 4 w 1529
7 w 1530
αὐτὸς 2 w 1535
λόγος 2 w 1540
ἑτε- 2 w 1545
ρομήκεις 7 w 1553
δὲ 12 w 1555
οἱ 8 w 1557
τοιοῦτοι 1 w 1565
κέκληνται 1 w 1574
ἐπειδὴ 1 w 1581
πρώτην 1 w 1587
ἑτε- 3 w 1591
ρότητα 1 w 1597
τῶν 9 w 1600
πλευρῶν 1 w 1607
4 w 1608
προσθήκη 1 w 1616
τῇ 1 w 1618
ἑτέρᾳ 1 w 1623
πλευρᾷ 1 w 1629
τῆς 4 w 1632
μονάδος 2 w 1639
ποιεῖ 2 w 1644
παραλληλόγραμμοι 1 w 1661
δέ 1 w 1663
εἰσιν 2 w 1668
ἀριθμοὶ 1 w 1675
οἱ 9 w 1677
δυάδι 1 w 1682
1 w 1683
καὶ 17 w 1686
μείζονι 1 w 1693
ἀριθμῷ 1 w 1699
τὴν 4 w 1702
ἑτέραν 2 w 1708
πλευρὰν 2 w 1715
τῆς 5 w 1718
ἑτέρας 2 w 1724
1 7 w 1725
διὸ 2 w 1728
corr 3 w 1732
ut 2 w 1735
vid 1 w 1738
ex 3 w 1741
δύο 1 w 1744
Α 2 w 1745
3 2 w 1746
ἑτερομήκη 3 w 1755
ο 105 w 1757
corr 4 w 1761
ex 4 w 1764
ω 15 w 1765
Α 3 w 1766
5 4 w 1768
ἑτερομήκης 2 w 1778
ομήκη 5 w 1784
in 9 w 1786
ras 1 w 1789
ερο 12 w 1794
corr 5 w 1798
ut 3 w 1801
vid 2 w 1804
ex 5 w 1807
έρα 5 w 1810
Α 4 w 1811
6 2 w 1813
τῶν 10 w 1816
περισσῶν 2 w 1824
mut 2 w 1827
in 10 w 1830
τῷ 2 w 1832
περισσῷ 2 w 1839
Α 5 w 1840
9 1 w 1841
ἀπογεννωμένους 2 w 1855
ω 17 w 1857
corr 6 w 1861
ex 6 w 1864
ο 111 w 1865
Α 6 w 1866
11 1 w 1868
ϛ 10 w 1869
ιβ 7 w 1871
κ 54 w 1872
λ 34 w 1873
μβ 1 w 1875
νς 1 w 1877
οβ 1 w 1879
supra 1 w 1884
numerorum 1 w 1893
seriem 1 w 1899
add 2 w 1902
A 7 w 1904
13 1 w 1907
γεγενημένοι 1 w 1918
Α 7 w 1919
em 3 w 1922
Bull 1 w 1927
16 2 w 1930
τὸν 2 w 1933
apogr 1 w 1938
τῶν 11 w 1943
Α 8 w 1944
18 2 w 1946
δὲ 13 w 1948
add 3 w 1951
Bull 2 w 1956
20 1 w 1959
πρώτην 2 w 1965
corr 7 w 1969
ex 7 w 1972
πρῶτον 1 w 1978
Α 9 w 1979
23 2 w 1982
inser 2 w 1987
περὶ 5 w 1992
παραλληλογράμμων 1 w 2008
ἁριθμῶν 1 w 2015
Α 10 w 2016
ιε 3 w 2019
in 12 w 2021
mg 4 w 2023
figuras 1 w 2031
inutiles 1 w 2039
add 4 w 2042
Α 11 w 2045
ὑπερέχουσαν 1 w 2056
ἔχοντες 2 w 2063
ὡς 3 w 2066
8 w 2067
δὶς 3 w 2070
δʹ 5 w 2072
καὶ 18 w 2075
9 w 2076
τετράκις 2 w 2084
ϛʹ 7 w 2086
καὶ 19 w 2089
10 w 2090
ἑξάκις 1 w 2096
ηʹ 5 w 2098
καὶ 20 w 2101
11 w 2102
ὀκτάκις 1 w 2109
ι 126 w 2110
οἵτινές 1 w 2118
εἰσιν 3 w 2123
12 w 2124
ηʹ 6 w 2126
κδʹ 1 w 2129
μηʹ 1 w 2132
π 66 w 2133
τετράγωνοί 1 w 2144
εἰσιν 4 w 2149
οἱ 10 w 2151
ἐκ 3 w 2153
τῶν 12 w 2156
κατὰ 3 w 2160
τὸ 6 w 2162
ἑξῆς 5 w 2166
περισσῶν 3 w 2174
ἐπισυντιθεμένων 1 w 2189
ἀλλήλοις 1 w 2197
γεννώμενοι 1 w 2207
οἷον 3 w 2212
ἐκκείσθω- 1 w 2221
σαν 3 w 2224
ἐφεξῆς 3 w 2230
περισσοὶ 1 w 2238
αʹ 2 w 2240
γʹ 3 w 2242
εʹ 3 w 2244
ζ 7 w 2245
θʹ 2 w 2247
ια 8 w 2249
ἓν 1 w 2251
καὶ 21 w 2254
γʹ 4 w 2256
δʹ 7 w 2258
ὅς 1 w 2261
ἐστι 2 w 2265
τετράγωνος 1 w 2275
ἰσάκις 4 w 2282
γάρ 1 w 2285
ἐστιν 2 w 2290
ἴσος 3 w 2294
τουτέστι 2 w 2303
δὶς 4 w 2306
βʹ 8 w 2308
δʹ 8 w 2310
δʹ 9 w 2312
καὶ 22 w 2315
εʹ 4 w 2317
θʹ 3 w 2319
ὸς 3 w 2322
καὶ 23 w 2325
αὐτὸς 3 w 2330
τετράγωνος 2 w 2340
ἔστι 5 w 2345
γὰρ 7 w 2348
τρὶς 3 w 2352
γʹ 5 w 2354
θʹ 4 w 2356
θʹκαὶ 1 w 2362
ζ 8 w 2363
ιϛ 1 w 2365
ὃς 1 w 2368
καὶ 25 w 2371
αὐτὸς 4 w 2376
τετράγωνός 2 w 2386
ἐστι 4 w 2390
τετράκις 3 w 2399
γὰρ 8 w 2402
δ 53 w 2403
ιςʹ 2 w 2406
ιςʹ 3 w 2409
καὶ 26 w 2412
θʹ 6 w 2414
κε 10 w 2416
ὃς 2 w 2419
καὶ 27 w 2422
αὐτὸς 5 w 2427
τετράγωνός 3 w 2437
ἐστι 5 w 2441
καὶ 28 w 2444
ἰσάκις 5 w 2450
ἴσος 4 w 2454
ἔστι 6 w 2459
γὰρ 9 w 2462
πεντάκις 2 w 2470
εʹ 5 w 2472
κε 11 w 2474
καὶ 29 w 2478
μέχρις 1 w 2484
ἀπείρου 1 w 2491
13 w 2492
αὐτὸς 6 w 2497
λόγος 3 w 2502
κατὰ 4 w 2507
μὲν 4 w 2510
οὖν 1 w 2513
ἐπισύνθεσιν 2 w 2524
οὕτως 1 w 2529
γεννῶν- 1 w 2536
ται 5 w 2539
οἱ 11 w 2541
τετράγωνοι 2 w 2551
τῶν 13 w 2555
ἐφεξῆς 4 w 2561
περισσῶν 4 w 2569
τῷ 3 w 2571
γεννωμένῳ 1 w 2580
ἀπὸ 1 w 2583
μονάδος 3 w 2590
τετραγώνῳ 1 w 2599
προστιθεμένων 1 w 2612
κατὰ 5 w 2617
πολλαπλα- 2 w 2626
σιασμιὸν 1 w 2634
δέ 2 w 2636
ἐπειδὰν 4 w 2644
ὁστισοῦν 1 w 2652
ἀριθμὸς 1 w 2659
ἐφʼ 1 w 2662
ἑαυτὸνπολλα- 1 w 2674
πλασιασθῇ 1 w 2683
οἷον 4 w 2688
δὶς 5 w 2691
βʹ 9 w 2693
δʹ 10 w 2695
τρὶς 4 w 2700
γʹ 6 w 2702
θʹ 7 w 2704
τετράκις 4 w 2713
δʹ 11 w 2715
ιϛ 2 w 2717
οἱ 12 w 2720
μὲν 5 w 2723
οὖν 2 w 2726
τετράγωνοι 3 w 2736
πάντες 1 w 2742
τοὺς 3 w 2746
ἐτερομιήκεις 1 w 2758
περιλαμβάνουσι 1 w 2772
κατὰ 6 w 2776
τὴν 5 w 2779
γεωμετρικὴν 1 w 2790
ἀναλογίαν 1 w 2799
καὶ 30 w 2802
μέσους 1 w 2808
αὐτοὺς 1 w 2814
ποιοῦσι 2 w 2821
τουτέστι 3 w 2830
τοὺς 5 w 2834
μονάδι 5 w 2840
μείζονας 1 w 2848
τὴν 6 w 2851
ἑτέραν 3 w 2857
πλευρὰν 3 w 2864
τῆς 6 w 2867
ἑτέρας 3 w 2873
ὑπερέχοντας 1 w 2884
οἱ 13 w 2888
δὲ 14 w 2890
ἑτερομήκεις 7 w 2901
οὐκ 1 w 2904
ἔτι 2 w 2907
τοὺς 6 w 2911
τετραγώνους 1 w 2922
περιλαμβάνουσιν 1 w 2937
ὡς 4 w 2939
μέσους 2 w 2945
εἶναι 1 w 2950
κατὰ 7 w 2954
ἀναλογίαν 2 w 2963
οἷον 5 w 2968
αʹ 3 w 2970
βʹ 10 w 2972
γʹ 7 w 2974
δʹ 12 w 2976
εʹ 6 w 2978
οὖτοι 1 w 2984
τῷ 4 w 2986
μὲν 6 w 2989
ἰδίῳ 1 w 2993
πλήθει 1 w 2999
πολλαπλασιαζόμενοι 1 w 3017
ποιοῦσι 3 w 3024
τετραγώνους 2 w 3035
ἅπαξ 2 w 3040
τε 41 w 3042
γὰρ 10 w 3045
αʹ 4 w 3047
αʹ 5 w 3049
καὶ 31 w 3052
δὶς 6 w 3055
βʹ 11 w 3057
δʹ 13 w 3059
καὶ 32 w 3062
τρὶς 5 w 3066
γʹ 8 w 3068
θʹ 8 w 3070
καὶ 33 w 3073
τετράκις 5 w 3081
δʹ 14 w 3083
ιϛʹ 1 w 3086
καὶ 34 w 3089
πεντάκις 3 w 3097
εʹ 7 w 3099
κε 14 w 3101
καὶ 35 w 3105
οὐκ 2 w 3108
ἐκβαίνουσι 1 w 3118
τῶν 14 w 3121
ἰδίων 1 w 3126
ρων 1 w 3131
1 w 3133
τε 43 w 3135
γὰρ 11 w 3138
δυὰς 2 w 3142
ἑαυτὴν 1 w 3148
3 5 w 3149
inscr 4 w 3154
περὶ 6 w 3159
τετραγώνων 1 w 3169
ἀριθμῶν 3 w 3176
Α 12 w 3177
ις 33 w 3180
in 15 w 3182
mg 5 w 3184
τε- 4 w 3188
τράγωνοι 4 w 3196
δέ 3 w 3199
εἰσιν 5 w 3205
5 5 w 3208
δ 70 w 3209
θ 40 w 3210
ιϛ 4 w 3212
κε 15 w 3214
λϛ 1 w 3216
supra 2 w 3221
numerorum 2 w 3230
se- 1 w 3233
rien 1 w 3237
add 5 w 3240
Α 13 w 3242
ὅς 2 w 3245
apogr 2 w 3250
3 w 3253
Α 14 w 3254
16 3 w 3257
inscr 5 w 3262
ὅτι 1 w 3266
οἱ 14 w 3268
τετράγω- 1 w 3276
νοι 10 w 3279
μιέσους 1 w 3286
τοὺς 7 w 3290
ἑτερομήκεις 8 w 3301
λαμβάνουσιν 2 w 3312
Α 15 w 3313
ιζ 1 w 3316
in 17 w 3318
mg 6 w 3320
18 3 w 3323
μείζονα 3 w 3330
Gelder 1 w 3336
19 1 w 3338
ὑπερέχοντας 2 w 3349
ἔχοντας 1 w 3357
apogr 3 w 3362
22 1 w 3365
οὗτοι 1 w 3370
οὕτως 2 w 3376
οἱ 15 w 3378
Α 16 w 3379
25 1 w 3381
τὸν 4 w 3384
ἴθιον 1 w 3389
ὅρον 1 w 3393
Α 17 w 3394
ἐδύασε 1 w 3400
καὶ 36 w 3403
5 w 3404
τριὰς 1 w 3409
ἑαυτὴν 2 w 3415
ἐτρίασεν 1 w 3423
ὥστε 2 w 3428
εἶεν 2 w 3432
ἂν 2 w 3434
τε- 5 w 3437
τράγωνοι 5 w 3445
οἱ 16 w 3447
ἑξῆς 6 w 3451
αʹ 6 w 3453
δʹ 15 w 3455
θʹ 9 w 3457
ιςʹ 4 w 3460
κε 17 w 3462
μέσους 3 w 3469
δὲ 15 w 3471
ἔχουσι 1 w 3477
τοὺς 8 w 3481
ἑτερομήκεις 9 w 3492
οὕτως 3 w 3497
τετράγωνοι 4 w 3508
δύο 2 w 3511
ἐφεξῆς 5 w 3517
6 w 3518
τε 52 w 3520
αʹ 7 w 3522
καὶ 37 w 3525
δʹ 16 w 3527
τούτων 2 w 3534
μέσος 1 w 3539
ἑτερομήκης 3 w 3549
15 w 3550
β 24 w 3551
κείσθωσαν 2 w 3561
δὴ 2 w 3563
αʹ 8 w 3565
βʹ 12 w 3567
δ 77 w 3568
μέσος 2 w 3574
γίνεται 1 w 3581
16 w 3582
βʹ 13 w 3584
τῷ 5 w 3587
αὐτῷ 1 w 3591
λόγῳ 1 w 3595
τῶν 15 w 3598
ἄκρων 1 w 3603
τοῦ 6 w 3606
μὲν 7 w 3609
ὑπερέχων 1 w 3617
ὑφʼ 1 w 3621
οὐ 3 w 3623
δὲ 16 w 3625
ὑπερεχόμενος 1 w 3637
τοῦ 7 w 3641
μὲν 8 w 3644
γὰρ 12 w 3647
ἑνὸς 1 w 3651
τὰ 8 w 3653
βʹ 14 w 3655
διπλάσια 1 w 3663
τῶν 16 w 3667
δὲ 17 w 3669
βʹ 15 w 3671
τὰ 9 w 3673
δʹ 17 w 3675
πάλιν 1 w 3681
τετράγω- 2 w 3689
νοι 13 w 3692
μὲν 9 w 3695
17 w 3696
δʹ 18 w 3698
κἰαὶ 1 w 3702
θʹ 10 w 3704
μέσος 3 w 3710
δὲ 18 w 3712
αὐτῶν 1 w 3717
ἑτερομήκης 4 w 3727
18 w 3728
ϛʹ 9 w 3730
κείσθωσαν 3 w 3740
δὴ 3 w 3742
δʹ 19 w 3744
ϛʹ 10 w 3746
θʹ 11 w 3748
μέσος 4 w 3754
19 w 3755
ϛʹ 11 w 3757
τῷ 7 w 3760
αὐτῷ 2 w 3764
λόγῳ 2 w 3768
τῶν 18 w 3771
ἄκρων 2 w 3776
τοῦ 8 w 3779
μὲν 10 w 3782
γὰρ 13 w 3786
ὑπερέχων 2 w 3795
ὑφʼ 2 w 3799
οὗ 2 w 3801
δὲ 19 w 3803
ὑπερεχόμε- 1 w 3813
νος 4 w 3816
τῶν 19 w 3820
μὲν 11 w 3823
γὰρ 14 w 3826
δʹ 20 w 3828
τὰ 10 w 3830
ϛʹ 12 w 3832
ἡμιόλια 1 w 3839
τῶν 20 w 3843
δὲ 20 w 3845
ϛʹ 13 w 3847
τὰ 11 w 3849
θ 47 w 3850
20 w 3852
δὲ 21 w 3854
αὐτὸς 7 w 3859
λόγος 4 w 3864
καὶ 38 w 3867
ἐπὶ 5 w 3870
τῶν 21 w 3873
ἑξῆς 7 w 3877
οἱ 17 w 3880
δὲ 22 w 3882
ἑτερομήκεις 10 w 3893
ὑπὸ 1 w 3897
τῶν 22 w 3900
τ 256 w 3901
μονάδι 6 w 3907
ὑπερεχόντων 1 w 3918
πολλαπλασιαζόμενοι 2 w 3936
οὔτε 1 w 3941
μένουσιν 1 w 3949
ἐν 1 w 3951
τοῖς 2 w 3955
ἰδίοις 1 w 3961
ὅροις 1 w 3966
οὔτε 2 w 3970
περιέχουσι 1 w 3980
τοὺς 9 w 3984
τετραγώνους 3 w 3995
οἷον 6 w 4000
τὰ 12 w 4002
δὶς 7 w 4005
γʹ 9 w 4007
γεννᾷ 1 w 4012
τὸν 5 w 4015
ϛʹ 14 w 4017
καὶ 39 w 4020
τὰ 13 w 4022
τρὶς 6 w 4026
δʼ 1 w 4028
γεννᾷ 2 w 4033
τὸν 6 w 4036
ιβʹ 4 w 4039
καὶ 40 w 4042
τὰ 14 w 4044
τετράκις 6 w 4052
εʹ 8 w 4054
γεννᾷ 3 w 4059
τὸν 7 w 4062
κ 120 w 4063
καὶ 41 w 4067
οὐδεὶς 1 w 4073
αὐτῶν 2 w 4078
μένει 1 w 4083
ἐν 2 w 4085
τῷ 9 w 4087
ἑαυτοῦ 1 w 4093
ὅρῳ 1 w 4096
ἀλλὰ 1 w 4101
μεταπίπτει 1 w 4111
ἐν 3 w 4113
τῷ 10 w 4115
πολλαπλασιασμῷ 1 w 4129
οἷον 7 w 4134
δυὰς 3 w 4138
ἐπὶ 6 w 4141
τριάδα 1 w 4147
καὶ 42 w 4150
τριὰς 2 w 4155
ἐπὶ 7 w 4158
τετράδα 1 w 4165
καὶ 43 w 4168
τετρὰς 1 w 4174
ἐπὶ 8 w 4177
πεντάδα 1 w 4184
οἵ 2 w 4187
τε 64 w 4189
γεννώμενοι 2 w 4199
ὑπὸ 2 w 4202
τῶν 24 w 4205
ἑτερομηκῶν 2 w 4215
οὐ 5 w 4217
περιλαμβάνουσι 3 w 4231
τοὺς 10 w 4235
τετραγώ- 1 w 4243
νους 6 w 4247
ἀριθμούς 1 w 4255
οἷον 8 w 4260
ἐφεξῆς 6 w 4266
ἑτερομήκεις 11 w 4277
βʹ 17 w 4279
ϛʹ 15 w 4281
μεταξὺ 1 w 4288
δὲ 23 w 4290
αὐτῶν 3 w 4295
ἐστι 6 w 4299
τῇ 2 w 4301
τάξει 1 w 4306
τετράγωνος 3 w 4316
21 w 4317
δʹ 21 w 4319
ἀλλὰ 2 w 4324
κατʼ 2 w 4328
οὐδεμίαν 1 w 4336
ἀναλογίαν 3 w 4345
περιλαμβάνεται 1 w 4359
ὑπʼ 1 w 4362
αὐτῶν 4 w 4367
ὥστε 3 w 4371
ἐν 4 w 4373
τῷ 11 w 4375
αὐτῷ 3 w 4379
λόγῳ 3 w 4383
πρὸς 1 w 4387
τὰ 15 w 4389
ἄκρα 1 w 4393
εἶναι 2 w 4398
ἐκκείσθω 3 w 4407
γὰρ 15 w 4410
βʹ 18 w 4412
δʹ 22 w 4414
ϛʹ 16 w 4416
7 w 4418
τετρὰς 2 w 4424
ἐν 5 w 4426
διαφόροις 1 w 4435
λόγοις 1 w 4441
πρὸς 2 w 4445
τὰ 16 w 4447
ἄκρα 2 w 4451
γενήσεται 1 w 4460
τῶν 27 w 4464
μὲν 12 w 4467
γὰρ 16 w 4470
βʹ 19 w 4472
τὰ 17 w 4474
δʹ 23 w 4476
διπλάσια 2 w 4484
τῶν 28 w 4488
δὲ 24 w 4490
δ 108 w 4491
9 3 w 4492
μέσος 5 w 4497
22 w 4498
μέσα 1 w 4503
τὰ 18 w 4505
Α 18 w 4506
10 2 w 4509
γὰρ 17 w 4512
om 1 w 4514
apogr 4 w 4520
20 2 w 4523
ὑπὸ 3 w 4526
τῶν 29 w 4529
ἑτερομήκῶν 1 w 4539
del 2 w 4542
vid 3 w 4546
23 3 w 4549
οὐδὲ 1 w 4553
μίαν 2 w 4557
Α 19 w 4558
em 4 w 4561
apogr 5 w 4567
24 1 w 4570
αὐτῶ 5 w 4574
supra 3 w 4579
vs 1 w 4581
add 6 w 4585
Α 20 w 4587
ἐκκείσθω 4 w 4595
γὰρ 18 w 4598
ἐκκείσθωσαν 2 w 4610
apogr 6 w 4615
26 1 w 4618
τὰ 19 w 4620
δ 110 w 4621
πλάσια 3 w 4627
Α 21 w 4628
em 5 w 4631
apogr 7 w 4637
τὰ 20 w 4640
ϛʹ 17 w 4642
ἡμιόλια 2 w 4649
ἵνα 1 w 4653
δὲ 26 w 4655
ἀναλόγως 1 w 4663
μέσον 1 w 4668
1 w 4669
δεῖ 1 w 4673
αὐτ 19 w 4676
οὕτως 4 w 4683
μέσον 2 w 4688
εἶναι 3 w 4693
ὥστε 4 w 4698
ὃν 1 w 4700
ἔχει 1 w 4704
λόγον 1 w 4709
τὸ 17 w 4711
πρῶτον 2 w 4717
πρὸς 3 w 4721
τὸ 18 w 4723
μέσον 3 w 4728
τοῦτον 1 w 4735
τὸ 19 w 4737
μέσον 4 w 4742
πρὸς 4 w 4746
τὸ 20 w 4748
τρίτον 1 w 4754
πάλιν 2 w 4760
τῶν 30 w 4763
ϛʹ 18 w 4765
καὶ 44 w 4768
ιβʹ 5 w 4771
ἑτερομηκων 1 w 4781
μέσος 6 w 4786
τῇ 3 w 4788
τάξει 2 w 4793
τετράγωνος 4 w 4803
θʹ 12 w 4807
ἀλλʼ 1 w 4812
οὐχ 1 w 4815
εὑρεθήσεται 1 w 4826
ἐν 6 w 4828
τῷ 13 w 4830
αὐτῷ 4 w 4834
λόγῳ 4 w 4838
πρὸς 5 w 4842
τὰ 21 w 4844
ἄκρα 3 w 4848
ϛʹ 19 w 4851
θʹ 13 w 4853
ιβʹ 6 w 4856
τῶν 31 w 4861
μὲν 13 w 4864
γὰρ 19 w 4867
ϛʹ 20 w 4869
τὰ 22 w 4871
θʹ 14 w 4873
ἡμιόλια 3 w 4880
τῶν 32 w 4884
δὲ 27 w 4886
θʹ 15 w 4888
τὰ 23 w 4890
ιβʹ 7 w 4893
ἐπίτριτα 1 w 4901
23 w 4903
δὲ 28 w 4905
αὐτὸς 8 w 4910
καὶ 45 w 4913
ἐπὶ 9 w 4916
τῶν 33 w 4919
ἑξῆς 8 w 4923
λόγος 5 w 4928