ἔτι τῶν συνθέτων ἀριθμῶν οἱ μὲν ἰσάκις ἴσοι εἰσὶ καὶ τετράγωνοι καὶ ἐπίπεδοι, ἐπειδὰν ἴσος ἐπὶ ἴσον πολλαπλασιασθεὶς γεννήσῃ τινὰ ἀριθμόν, [ὁ γεννηθεὶς ἰσάκις τε ἴσος καὶ τετράγωνός ἐστιν] ὡς ὁ δ΄, ἔστι γὰρ δὶς β΄, καὶ ὁ θ΄, ἔστι γὰρ τρὶς γ΄· οἱ δὲ ἀνισάκις ἄνι- σοι, ἐπειδὰν ἄνισοι ἀριθμιοὶ ἐπʼ ἀλλήλους πολλαπλα- σιασθῶσιν, ὡς ὁ ϛ΄· ἔστι γὰρ δὶς γ΄ ϛ΄.

τούτων δὲ ἑτερομήκεις μέν εἰσιν οἱ τὴν ἑτέραν πλευρὰν τῆς ἑτέρας μονάδι μείζονα ἔχοντες. ἔστι δὲ ὁ τοῦ περισσοῦ ἀριθμοῦ μονάδι πλεονάζων καὶ ἄρτιος· 5 inscr. περὶ περισσάκις ἀρτίων Α, ια in mg. 14 inscr. περὶ ἰσάκις ἴσων A, ιβ in mg. 15 καὶ ἐπίπεδοι fort. del γὰρ post ἐπειδὰν add. A 16 γεννήση: ση corr. ex σ?? A 18 inscr. περὶ τῶν ἀνισάκις ἀνίσων A ιγ in mg. 21 sqq. cf. Cantor mathemat. Beitr. zum Culturleben der Völker p. 105 sqq. inser. περὶ ἑτερομηκῶν (corr. ex ἑτε- ρομμιήκων) A 23 τοῦ περισσοῦ ἀριθμοῦ mut. in τῶ περισσῷ ἀριθμῶ A. διὸ μόνον ἄρτιοι οἱ ἑτερομήκεις. ἡ γὰρ ἀρχὴ τῶν ἀριθμῶν, τουτέστιν ἡ μονάς, περισσὴ οὖσα τὴν ἑτερό- τητα ζητοῦσα τὴν δυάδα ἑτερομήκη τῷ αὐτῆς διπλα- σιασμῷ ἐποίησε, καὶ διὰ τοῦτο ἡ δυὰς τῆς μονάδος ἑτερομήκης οὖσα καὶ μονάδι ὑπερέχουσα τοὺς ἀρτίους ἀριθμοὺς τῶν περισσῶν ἑτερομήκεις ποιεῖ μονάδι ὑπερ- ἐχοντας. γεννῶνται δὲ διχῶς, ἔκ τε πολλαπλασιασμοῦ καὶ ἐπισυνθέσεως. ἐκ μὲν ἐπισυνθέσεως οἱ ἄρτιοι τοῖς ἐφεξῆς ἐπισυντιθέμενοι τοὺς ἀπογεννωμένους ποιοῦσιν ἑτερομήκεις. οἷον ἐκκείσθωσαν ἄρτιοι κατὰ τὸ ἑξῆς βʹ δʹ ςʹ ηʹ ι ιβʹ ιδʹ ιςʹ ιηʹ· γίνονται δὲ κατʼ ἐπισύνθεσιν βʹ καὶ δ΄ ϛʹ, ϛʹ καὶ ϛʹ ιβ, ιβʹ καὶ ηʹκ΄, κʹ καὶ ι΄λ΄· ὥστε εἶεν ἂν οἱ γεγεννημένοι ἑτερομήκεις ϛʹ ιβʹ κʹ λ΄. ὁ δὲ αὐτὸς λόγος καὶ ἐπὶ τῶν ἑξῆς. κατὰ δὲ πολλαπλασια- σμὸν οἱ αὐτοὶ ἑτερομήκεις γεννῶνται τῶν ἐφεξῆς ἀρτίων τε καὶ περιττῶν τοῦ πρώτου ἐπὶ τὸν ἑξῆς πολλαπλασια- ζομένου· οἷον αʹ βʹ γʹ δʹ εʹ ϛʹ ζ ηʹ θʹ ιʹ ἅπαξ μὲν γὰρ βʹ β΄, θὶς δὲ γʹ ϛ΄, τρὶς 〈δὲ〉 δʹ ιβ΄, τετράκις δὲ εʹ κ΄, πεντάκις δὲ ϛʹ λ΄· καὶ ἐπὶ τῶν ἑξῆς ὁ αὐτὸς λόγος. ἑτε- ρομήκεις δὲ οἱ τοιοῦτοι κέκληνται, ἐπειδὴ πρώτην ἑτε- ρότητα τῶν πλευρῶν ἡ προσθήκη τῇ ἑτέρᾳ πλευρᾷ τῆς μονάδος ποιεῖ.

παραλληλόγραμμοι δέ εἰσιν ἀριθμοὶ οἱ δυάδι ἢ καὶ μείζονι ἀριθμῷ τὴν ἑτέραν πλευρὰν τῆς ἑτέρας 1 διὸ corr. ut vid. ex δύο Α 3 ἑτερομήκη: ο corr. ex ω Α. 5 ἑτερομήκης: ομήκη in ras., ερο corr. ut vid. ex έρα Α. 6 τῶν περισσῶν mut. in τῷ περισσῷ Α 9 ἀπογεννωμένους: ω corr. ex ο Α 11 ϛ ιβ κ λ μβ νς οβ supra numerorum seriem add. A. 13 γεγενημένοι Α, em. Bull. 16 τὸν apogr.] τῶν Α 18 δὲ add. Bull. 20 πρώτην corr. ex πρῶτον Α. 23 inser. περὶ παραλληλογράμμων ἁριθμῶν Α, ιε in mg. figuras inutiles add.. Α ὑπερέχουσαν ἔχοντες, ὡς ὁ δὶς δʹ καὶ ὁ τετράκις ϛʹ καὶ ὁ ἑξάκις ηʹ καὶ ὁ ὀκτάκις ι΄, οἵτινές εἰσιν ὁ ηʹ κδʹ μηʹ π΄.

τετράγωνοί εἰσιν οἱ ἐκ τῶν κατὰ τὸ ἑξῆς περισσῶν ἐπισυντιθεμένων ἀλλήλοις γεννώμενοι. οἷον ἐκκείσθω- σαν ἐφεξῆς περισσοὶ αʹ γʹ εʹ ζ θʹ ια ἓν καὶ γʹ δʹ, ὅς ἐστι τετράγωνος, ἰσάκις γάρ ἐστιν ἴσος, τουτέστι δὶς βʹ δʹ δʹ καὶ εʹ θʹ, ὸς καὶ αὐτὸς τετράγωνος· ἔστι γὰρ τρὶς γʹ θʹ· θʹκαὶ ζ ιϛ΄, ὃς καὶ αὐτὸς τετράγωνός ἐστι· τετράκις γὰρ δ ιςʹ ιςʹ καὶ θʹ κε΄, ὃς καὶ αὐτὸς τετράγωνός ἐστι καὶ ἰσάκις ἴσος· ἔστι γὰρ πεντάκις εʹ κε΄· καὶ μέχρις ἀπείρου ὁ αὐτὸς λόγος. κατὰ μὲν οὖν ἐπισύνθεσιν οὕτως γεννῶν- ται οἱ τετράγωνοι, τῶν ἐφεξῆς περισσῶν τῷ γεννωμένῳ ἀπὸ μονάδος τετραγώνῳ προστιθεμένων· κατὰ πολλαπλα- σιασμιὸν δέ, ἐπειδὰν ὁστισοῦν ἀριθμὸς ἐφʼ ἑαυτὸνπολλα- πλασιασθῇ, οἷον δὶς βʹ δʹ, τρὶς γʹ θʹ, τετράκις δʹ ιϛ΄.

οἱ μὲν οὖν τετράγωνοι πάντες τοὺς ἐτερομιήκεις περιλαμβάνουσι κατὰ τὴν γεωμετρικὴν ἀναλογίαν καὶ μέσους αὐτοὺς ποιοῦσι [τουτέστι τοὺς μονάδι μείζονας τὴν ἑτέραν πλευρὰν τῆς ἑτέρας ὑπερέχοντας]· οἱ δὲ ἑτερομήκεις οὐκ ἔτι τοὺς τετραγώνους περιλαμβάνουσιν ὡς μέσους εἶναι κατὰ ἀναλογίαν. οἷον αʹ βʹ γʹ δʹ εʹ, οὖτοι τῷ μὲν ἰδίῳ πλήθει πολλαπλασιαζόμενοι ποιοῦσι τετραγώνους· ἅπαξ τε γὰρ αʹ αʹ καὶ δὶς βʹ δʹ καὶ τρὶς γʹ θʹ καὶ τετράκις δʹ ιϛʹ καὶ πεντάκις εʹ κε· καὶ οὐκ ἐκβαίνουσι τῶν ἰδίων ??ρων· ἣ τε γὰρ δυὰς ἑαυτὴν 3 inscr. περὶ τετραγώνων ἀριθμῶν Α, ις in mg. τε- τράγωνοι 〈δέ〉 εἰσιν?? 5 δ θ ιϛ κε λϛ supra numerorum se- rien add. Α. ὅς apogr.] ὅ Α. 16 inscr. ὅτι οἱ τετράγω- νοι μιέσους τοὺς ἑτερομήκεις λαμβάνουσιν Α, ιζ in mg. 18 μείζονα Gelder 19 ὑπερέχοντας] ἔχοντας apogr. 22 οὗτοι] οὕτως οἱ Α 25 τὸν ἴθιον ὅρον Α ἐδύασε καὶ ἡ τριὰς ἑαυτὴν ἐτρίασεν, ὥστε εἶεν ἂν τε- τράγωνοι οἱ ἑξῆς αʹ δʹ θʹ ιςʹ κε΄. μέσους δὲ ἔχουσι τοὺς ἑτερομήκεις οὕτως. τετράγωνοι δύο ἐφεξῆς ὅ τε αʹ καὶ δʹ· τούτων μέσος ἑτερομήκης ὁ β΄· κείσθωσαν δὴ αʹ βʹ δ΄· μέσος γίνεται ὁ βʹ, τῷ αὐτῷ λόγῳ τῶν ἄκρων τοῦ μὲν ὑπερέχων, ὑφʼ οὐ δὲ ὑπερεχόμενος· τοῦ μὲν γὰρ ἑνὸς τὰ βʹ διπλάσια, τῶν δὲ βʹ τὰ δʹ. πάλιν τετράγω- νοι μὲν ὁ δʹ κἰαὶ θʹ· μέσος δὲ αὐτῶν ἑτερομήκης ὁ ϛʹ· κείσθωσαν δὴ δʹ ϛʹ θʹ· μέσος ὁ ϛʹ, τῷ αὐτῷ λόγῳ τῶν ἄκρων τοῦ μὲν [γὰρ] ὑπερέχων, ὑφʼ οὗ δὲ ὑπερεχόμε- νος· τῶν μὲν γὰρ δʹ τὰ ϛʹ ἡμιόλια, τῶν δὲ ϛʹ τὰ θ΄. ὁ δὲ αὐτὸς λόγος καὶ ἐπὶ τῶν ἑξῆς. οἱ δὲ ἑτερομήκεις, ὑπὸ τῶν τ μονάδι ὑπερεχόντων πολλαπλασιαζόμενοι, οὔτε μένουσιν ἐν τοῖς ἰδίοις ὅροις οὔτε περιέχουσι τοὺς τετραγώνους. οἷον τὰ δὶς γʹ γεννᾷ τὸν ϛʹ καὶ τὰ τρὶς δʼ γεννᾷ τὸν ιβʹ καὶ τὰ τετράκις εʹ γεννᾷ τὸν κ΄, καὶ οὐδεὶς αὐτῶν μένει ἐν τῷ ἑαυτοῦ ὅρῳ, ἀλλὰ μεταπίπτει ἐν τῷ πολλαπλασιασμῷ, οἷον δυὰς ἐπὶ τριάδα καὶ τριὰς ἐπὶ τετράδα καὶ τετρὰς ἐπὶ πεντάδα· οἵ τε γεννώμενοι ὑπὸ τῶν ἑτερομηκῶν οὐ περιλαμβάνουσι τοὺς τετραγώ- νους ἀριθμούς· οἷον ἐφεξῆς ἑτερομήκεις βʹ ϛʹ, μεταξὺ δὲ αὐτῶν ἐστι τῇ τάξει τετράγωνος ὁ δʹ· ἀλλὰ κατʼ οὐδεμίαν ἀναλογίαν περιλαμβάνεται ὑπʼ αὐτῶν ὥστε ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ πρὸς τὰ ἄκρα εἶναι. ἐκκείσθω γὰρ βʹ δʹ ϛʹ· ἡ τετρὰς ἐν διαφόροις λόγοις πρὸς τὰ ἄκρα γενήσεται· τῶν μὲν γὰρ βʹ τὰ δʹ διπλάσια, τῶν δὲ δ΄ 9 μέσος ὁ] μέσα τὰ Α. 10 γὰρ om. apogr. 20 ὑπὸ τῶν ἑτερομήκῶν del. vid. 23 οὐδὲ μίαν Α, em. apogr. 24 αὐτῶ supra vs. add. Α ἐκκείσθω γὰρ] ἐκκείσθωσαν apogr. 26 τὰ δ πλάσια Α, em. apogr. τὰ ϛʹ ἡμιόλια. ἵνα δὲ ἀναλόγως μέσον ᾖ, δεῖ αὐτ?? οὕτως μέσον εἶναι, ὥστε ὃν ἔχει λόγον τὸ πρῶτον πρὸς τὸ μέσον, τοῦτον τὸ μέσον πρὸς τὸ τρίτον. πάλιν τῶν ϛʹ καὶ ιβʹ ἑτερομηκων μέσος τῇ τάξει τετράγωνος ?? θʹ, ἀλλʼ οὐχ εὑρεθήσεται ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ πρὸς τὰ ἄκρα· ϛʹ θʹ ιβʹ·· τῶν μὲν γὰρ ϛʹ τὰ θʹ ἡμιόλια, τῶν δὲ θʹ τὰ ιβʹ ἐπίτριτα. ὁ δὲ αὐτὸς καὶ ἐπὶ τῶν ἑξῆς λόγος.