De utilitate mathematicae (116-120)

ἡ δὲ τετρὰς στερεοῦ ἐστιν εἰκὼν πρῶτός τε ἀριθμὸς [καὶ] τετράγωνός ἐστιν ἐν ἀρτίοις· καὶ αἱ συμφωνίαι δὲ πᾶσαι κατʼ αὐτὸν συμπληροῦνται, ὡς ἐδείχθη.

ἡ δὲ πεντὰς μέση ἐστι τῆς δεκάδος. ἐὰν γὰρ καθʼ ὁποιανοῦν σύνθεσιν ἐκ δύο ἀριθμῶν τὸν ι συνθῇς,
μέσος εὑρεθήσεται ὁ ε κατὰ τὴν ἀριθμητικὴν ἀναλο- γίαν· οἷον θ καὶ α, καὶ η καὶ β, καὶ ζ καὶ γ, καὶ ϛ καὶ δ· αἰεί τε ι ποιήσεις καὶ μέσος εὑρεθήσεται ὁ ε κατὰ τὴν ἀριθμητικὴν ἀναλογίαν, ὡς δηλοῖ τὸ διά- γραμμα, κατὰ πᾶσαν σύνθεσιν τῶν συμπληρούντων τὰ
ι δυεῖν ἀριθμῶν [μέσος εὑρεθήσεται ὁ ε κατὰ τὴν ἀριθμητικὴν ἀναλογίαν] τῷ ἴσῳ ἀριθμῷ τῶν ἄκρων ὑπερέχων τε καὶ ὑπερεχόμενος.

πρῶτον δὲ καὶ περιέλαβε τὸ τοῦ παντὸς ἀριθμοῦ εἶδος ὁ ε, τὸν ἄρτιόν τε καὶ περιττόν, λέγω τὴν δυάδα τε καὶ τριάδα· ἡ γὰρ μονὰς οὐκ ἦν ἀριθμός.

ὁ δὲ Ϛ τέλειος, ἐπειδὴ τοῖς ἑαυτοῦ μέρεσίν ἐστιν
ἴσος, ὡς δέδεικται· διὸ καὶ γάμον αὐτὸν ἐκάλουν, ἐπεὶ γάμου ἔργον ὅμοια ποιεῖ τὰ ἔκγονα τοῖς γονεῦσι. καὶ κατὰ τοῦτον δὲ πρῶτον συνέστη ἡ ἁρμονικὴ μεσότης ληφθέντος [μὲν] τοῦ Ϛ ἐπιτρίτου 〈μὲν〉 λόγου τῶν η, διπλασίου δὲ τῶν ιβ· ϛ η ιβ· τῷ γὰρ αὐτῷ μέρει ὁ
η τῶν ἄκρων ὑπερέχει καὶ ὑπερέχεται, ϛ η ιβ, τουτέστι τῷ τρίτῳ· καὶ ἀριθμητικὴ δὲ μεσότης ληφθέντος τοῦ ϛ ἡμιολίου μὲν λόγου τῶν θ, διπλασίου δὲ τῶν ιβ· τῷ γὰρ αὐτῷ ἀριθμῷ τὰ θ ὑπερέχει τῶν ἄκρων καὶ ὑπερ- ἐχεται· ποιεῖ δὲ τὴν γεωμετρικὴν ἀναλογίαν μέσος λη-
φθείς· ἂν γὰρ ἥμισυ αὐτοῦ λάβωμεν τὸν γ καὶ διπλά- σιον τὸν ιβ, ἔσται ἡμῖν ἡ γεωμετρικὴ ἀναλογία γ Ϛ ιβ· τῷ γὰρ αὐτῷ λόγῳ τὰ ϛ τῶν ἄκρων ὑπερέχει τε καὶ ὑπερέχεται, γ ϛ ιβ, τουτέστι τῷ διπλασίῳ.

καὶ ἡ ἑβδομὰς δὲ τῆς δεκάδος οὖσα θαυμαστὴν ἔχει δύναμιν. μόνος γὰρ τῶν ἐντὸς τῆς δεκάδος οὔτε γεννᾷ ἕτερον οὔτε γεννᾶται ὑφʼ ἑτέρου· διὸ καὶ Ἀθηνᾶ ὑπὸ τῶν Πυθαγορικῶν ἐκαλεῖτο, οὔτε μητρός τινος οὖσα οὔτε μήτηρ. οὔτε γὰρ γίνεται ἐκ συνδυασμρῦ
οὔτε συνδυάζεταί τινι. τῶν γὰρ ἀριθμῶν τῶν ἐν τῇ δεκάδι οἱ μὲν γεννῶσί τε καὶ γεννῶνται, ὡς ὁ δ γεννᾷ μὲν μετὰ δυάδος τὸν η, γεννᾶται δὲ ὑπὸ δυάδος· οἱ δὲ. γεννῶνται μέν, οὐ γεννῶσι δέ, ὡς ὁ Ϛ γεννᾶται μὲν ὑπὸ β καὶ γ, οὐ γεννᾷ δὲ οὐδένα τῶν ἐν τῇ δεκάδι·
οἱ δὲ γεννῶσι μέν, οὐ γεννῶνται δέ, ὡς ὁ γ καὶ ὁ ε γεννῶνται μὲν ἐξ οὐδενὸς ἀριθμοῦ] συνδυασμοῦ, γεν- νῶσι δὲ ὁ μὲν γ τὸν θ καὶ τὸν Ϛ μετὰ δυάδος, ὁ δὲ ε γεννᾷ μετὰ δυάδος αὐτὸν τὸν ι. μόνος δὲ ὁ ζ οὔτε συνδυασθείς τινι γεννᾷ τινα τῶν ἐν τῇ δεκάδι οὔτε ἐκ
συνδυασμοῦ γεννᾶται. ἑπόμενος δὲ τῇ φύσει καὶ ὁ Πλάτων ἐξ ἑπτὰ ἀριθμῶν συνίστησι τὴν ψυχὴν ἐν τῷ Τιμαίῳ. ἡμέρα μὲν γὰρ καὶ νύξ, ὥς φησι Ποσειδώνιος, ἀρτίου καὶ περιττοῦ φύσιν ἔχουσι· μὴν δὲ καθʼ ἑβδο- μάδας τέσσαρας συμπληροῦται, τῇ μὲν πρώτῃ ἑβδομάδι
διχοτόμου τῆς σελήνης ὁρωμένης, τῇ δὲ δευτέρᾳ πλη- σισελήνου, τῇ δὲ τρίτῃ διχοτόμον, πάλιν δὲ τῇ τετάρτῃ σύνοδον ποιουμένης πρὸς ἥλιον καὶ ἀρχὴν ἑτέρου μη- [*]