Scaife ATLAS

CTS Library / De utilitate mathematicae

De utilitate mathematicae (101-105)

urn:cts:greekLit:tlg1724.tlg001.1st1K-grc1:101-105
Refs {'start': {'reference': '101', 'human_reference': 'Paragraph 101'}, 'end': {'reference': '105', 'human_reference': 'Paragraph 105'}}
Ancestors []
Children []
prev
plain textXML
next

καὶ μὲν ὑπὸ Θρασύλλου παραδεδομένη κατατομὴ τοῦ κανόνος ὧδε ἔχει. ὃν δὲ τρόπον καὶ ἐπὶ τῆς τῶν ὅλων ἐφαρμόζεται σφαίρας, ἐπτειδὰν καὶ τοὺς ἀστρονο-
μίας ἐκθώμεθα λόγους, παραδείξομεν. νυνὶ δʼ ἐπανέλ- θωμεν ἐπεὶ τὸν τῶν λοιπῶν ἀναλογιῶν καὶ μεσοτήτων λόγον, ἐπειδὴ ὡς ἔφαμεν ἀναλογία καὶ μεσότης, οὐ μέντοι μεσότης καὶ ἀναλογία. καθὸ δὴ ἀναλο- γία καὶ μεσότης ἐστίν, ἀκόλουθος ἄν εἴη περὶ τῶν
ἀναλογιῶν καὶ περὶ τῶν μεσοτήτων λόγος.

ἐπειδὴ πάντες οἱ τῶν συμφωνιῶν εὑρέθησαν λόγοι, καθὰ δέδεικται, ἐν τῇ τῆς δεκάδος τετρακτύι, καὶ περὶ τούτων πρότερον λεκτέον. τὴν μὲν γὰρ τετρακτὺν συνέστησεν δεκάς. ἓν γὰρ καὶ β καὶ γ καὶ δ ι·
α β γ δ. ἐν δὲ τούτοις τοῖς ἀριθμοῖς ἔστιν τε διὰ τεσσάρων συμφωνία ἐν ἐπιτρίτῳ λόγῳ καὶ διὰ πέντε ἐν ἡμιολίῳ καὶ διὰ πασῶν ἐν διπλασίῳ καὶ δὶς διὰ πασῶν ἐν τετραπλασίῳ· ἐξ ὧν συμπληροῦται τὸ ἀμετάβολον διάγραμμα. τοιαύτη μὲν ἐν μουσικῇ
[*]

94
τετρακτὺς κατὰ σύνθεσιν οὖσα, ἐπειδὴ ἐντὸς αὐτῆς πᾶσαι αἱ συμφωνίαι εὑρίσκονται. οὐ διὰ τοῦτο δὲ μό- νον πᾶσι τοῖς Πυθαγορικοῖς προτετίμηται, ἀλλʼ ἐπεὶ καὶ δοκεῖ τὴν τῶν ὅλων φύσιν συνέχειν· διὸ καὶ ὅρκος
ἦν αὐτοῖς
οὐ μὰ τὸν ἁμετέρᾳ ψυχᾷ παραδόντα τετρακτύν,
παγὰν ἀενάου φύσεως ῥίζωμά τʼ ἔχουσαν.
τὸν παραδόντα Πυθαγόραν λέγουσιν, ἐπεὶ δοκεῖ τούτου εὕρημα περὶ αὐτῆς λόγος.


μὲν οὖν προειρημένη τετρακτὺς αὕτη〉, κατʼ ἐπισύνθεσιν τῶν πρώτων ἀποτελουμένη ἀριθμῶν. δευ- τέρα δʼ ἐστὶ τετρακτὺς τῶν κατὰ πολλαπλασιασμὸν ἐπηυξημένων ἀπὸ μονάδος κατά τε τὸ ἄρτιον καὶ πε- ριττόν. ὧν πρῶτος μὲν [κατὰ τὸ ἄρτιον] λαμβάνεται
μονάς, ἐπειδὴ αὕτη ἀρχὴ πάντων ἀρτίων καὶ περιτ- τῶν καὶ ἀρτιοπερίττων, ὡς προείρηται, καὶ ἁπλοῦς ταύτης λόγος· οἱ δʼ ἐφεξῆς τρεῖς ἀριθμοὶ κατὰ τὸ ἄρ- τιον καὶ περιττόν. τὴν δὲ σύνθεσιν λαμβάνουσιν, ἐπειδὴ [*] [*]

95
καὶ πᾶς ἀριθμὸς οὔτε μόνον ἄρτιος οὔτε μόνον πε- ριττός. διὸ δύο λαμβάνονται αἱ κατὰ πολλαπλασιασμὸν τετρακτύες, ἀρτία καὶ περιττή, μὲν ἀρτία ἐν λόγῳ διπλασίῳ, πρῶτος γὰρ τῶν ἀρτίων β καὶ αὐτὸς ἐκ μονάδος κατὰ τὸ διπλάσιον ηὐξημένος, δὲ περιττὴ
ἐν λόγῳ ηὐξημένη τριπλασίῳ, ἐπειδὴ πρῶτος τῶν πε- ριττῶν γ καὶ αὐτὸς ἀπὸ μόναδος κατὰ τὸ τριπλάσιον ηὐξημένος. ὥστε κοινὴ μὲν ἀμφοτέρων μονάς, καὶ ἀρτία οὖσα καὶ περιττή· δεύτερος δὲ ἀριθμὸς ἐν μὲν τοῖς ἀρτίοις καὶ διπλασίοις β, ἐν δὲ τοῖς περιττοῖς
καὶ τριπλασίοις γ· τρίτος δὲ ἐν μὲν τοῖς ἀρτίοις δ, ἐν δὲ τοῖς περιττοῖς θ· τέταρτος ἐν μὲν τοῖς ἀρ- τίοις η, ἐν δὲ τοῖς περιττοῖς κζ. η δ β α γ θ κζ ἐν τούτοις τοῖς ἀριθμοῖς οἱ τελειότεροι τῶν συμφω- νιῶν εὑρίσκονται λόγοι· συμπεριείληπται δὲ αὐτοῖς καὶ
τόνος. δύναται δὲ μὲν μονὰς τὸν τῆς ἀρχῆς καὶ σημείου καὶ στιγμῆς λόγον· οἱ δὲ δεύτεροι πλευρὰν δύνανται τε β καὶ γ, ὄντες ἀσύνθετοι καὶ πρῶτοι καὶ μονάδι μετρούμενοι καὶ φύσει εὐθυμετρικοί· οἱ δὲ τρίτοι ὅροι δ καὶ θ δύνανται ἐπίπεδον τετράγω-
νον, ἰσάκις ἴσοι ὄντες· οἱ δὲ τέταρτοι ὅροι τε η καὶ κζ δύνανται ἰσάκις ἴσοι ἰσάκις ὄντες κύβον. ὥστε [*]
96
ἐκ τούτων τῶν ἀριθμῶν καὶ ταύτης τῆς τετρακτύος ἀπὸ σημείου καὶ στιγμῆς εἰς στερεὸν αὔξεσις γίνεται· μετὰ γὰρ σημεῖον καὶ στιγμὴν πλευρά, μετὰ πλευρὰν ἐπίπεδον, μετὰ ἐπίπεδον στερεόν. ἐν οἷς ἀριθμοῖς καὶ
τὴν ψυχὴν συνίστησιν Πλάτων ἐν τῷ Τιμιαίῳ. δὲ ἔσχατος τούτων τῶν ἑπτὰ ἀριθμῶν ἴσος ἐστὶ τοῖς πρὸ αὐτοῦ πᾶσιν· ἓν γὰρ καὶ β καὶ γ καὶ δ καὶ η καὶ θ γίνονται κζ.

δύο μιὲν οὖν αὗται τετρακτύες, τε κατʼ ἐπισύν-
θεσιν καὶ κατὰ πολλαπλασιασμόν, τούς τε μουσικοὺς καὶ γεωμετρικοὺς καὶ ἀριθμητικοὺς λόγους περιέχου- σαι, ἐξ ὧν καὶ τοῦ παντὸς ἁρμονία συνέστη. τρίτη δέ ἐστι τετρακτὺς κατὰ τὴν αὐτὴν ἀναλογίαν παντὸς μεγέθους φύσιν περιέχουσα· ὅπερ γὰρ ἐν τῇ προτέρᾳ
τετρακτύι μονάς, τοῦτο ἐν ταύτῃ στιγμή. ὅπερ δὲ ἐν ἐκείνῃ οἱ πλευρὰν δυνάμενοι ἀριθμοὶ τὰ β καὶ γ, τοῦτο ἐν ταύτῃ τὸ διττὸν εἶδος τῆς γραμμῆς τε περιφερὴς καὶ εὐθεῖα, κατὰ μὲν ἄρτιον εὐθεῖα, ἐπειδὴ δυσὶ σημείοις περατοῦται, κατὰ δὲ τὸ περιττὸν περιφερής,
ἐπειδὴ ὑπὸ μιᾶς γραμμῆς πέρας οὐκ ἐχούσης περιέχε- ται· ὅπερ δὲ ἐν ἐκείνῃ οἱ τετράγωνον δυνάμενοι δ καὶ θ, τοῦτο ἐν ταύτῃ τὸ διττὸν εἶδος ἐπιπέδων, εὐθύ- γραμμον καὶ περιφερόγραμμον· ὅπερ δὲ ἐν ἐκείνῃ οἱ κύβον δυνάμενοι η καὶ κζ δύο ὄντες μὲν ἐκ
περιττοῦ, δὲ ἐξ ἀρτίου, τοῦτο ἐν ταύτῃ στερεόν, διτ- τὸν ὄν, τὸ μὲν ἐκ κοίλης ἐπιφανείας ὡς σφαῖρα καὶ [*] [*]

97
κύλινδρος, τὸ δὲ ἐξ ἐπιπέδων ὡς κύβος πυραμίς. αὕτη δέ ἐστιν τρίτη τετρακτὺς παντὸς μεγέθους συμπλη- ρωτικὴ ἐκ σημείου γραμμῆς ἐπιπέδου στερεοῦ.

τετάρτη δὲ τετρακτύς ἐστι τῶν ἁπλῶν σωμάτων〉, πυρὸς ἀέρος ὕδατος γῆς, ἀναλογίαν ἔχουσα τὴν κατὰ
τοὺς ἀριθμούς. ὅπερ γὰρ ἐν ἐκείνῃ μονάς, ἐν ταύτῃ πῦρ· δὲ δυάς, ἀήρ· δὲ τριάς, ὕδωρ· δὲ τετράς, γῆ. τοιαύτη γὰρ φύσις τῶν στοιχείων κατὰ λεπτο- μέρειαν καὶ παχυμέρειαν, ὥστε τοῦτον ἔχειν τὸν λόγον πῦρ πρὸς ἀέρα, ὅν ἓν πρὸς β, πρὸς δὲ ὕδωρ, ὃν ἓν
πρὸς γ, πρὸς δὲ γῆν, ὃν ἓν πρὸς δ· καὶ τἆλλα ἀνάλο- γον πρὸς ἄλληλα.

Tokens

καὶ 1 w 3
1 w 4
μὲν 1 w 7
ὑπὸ 1 w 10
Θρασύλλου 1 w 19
παραδεδομένη 1 w 31
κατατομὴ 1 w 39
τοῦ 1 w 42
κανόνος 1 w 49
ὧδε 1 w 52
ἔχει 1 w 56
ὃν 1 w 59
δὲ 1 w 61
τρόπον 1 w 67
καὶ 2 w 70
ἐπὶ 1 w 73
τῆς 1 w 76
τῶν 1 w 79
ὅλων 1 w 83
ἐφαρμόζεται 1 w 94
σφαίρας 1 w 101
ἐπτειδὰν 1 w 110
καὶ 3 w 113
τοὺς 1 w 117
ἀστρονο- 1 w 125
μίας 1 w 129
ἐκθώμεθα 1 w 137
λόγους 1 w 143
παραδείξομεν 1 w 156
νυνὶ 1 w 161
δʼ 1 w 163
ἐπανέλ- 1 w 170
θωμεν 1 w 175
ἐπεὶ 1 w 179
τὸν 1 w 182
τῶν 2 w 185
λοιπῶν 1 w 191
ἀναλογιῶν 1 w 200
καὶ 4 w 203
μεσοτήτων 1 w 212
λόγον 1 w 217
ἐπειδὴ 1 w 224
ὡς 1 w 226
ἔφαμεν 1 w 232
2 w 233
ἀναλογία 1 w 241
καὶ 5 w 244
μεσότης 1 w 251
οὐ 1 w 254
μέντοι 1 w 260
3 w 261
μεσότης 2 w 268
καὶ 6 w 271
ἀναλογία 2 w 279
καθὸ 1 w 284
δὴ 2 w 286
4 w 288
ἀναλο- 1 w 295
γία 3 w 298
καὶ 7 w 301
μεσότης 3 w 308
ἐστίν 1 w 313
ἀκόλουθος 1 w 323
ἄν 1 w 325
εἴη 1 w 328
1 w 329
περὶ 1 w 333
τῶν 3 w 336
ἀναλογιῶν 2 w 345
καὶ 8 w 348
περὶ 2 w 352
τῶν 4 w 355
μεσοτήτων 2 w 364
λόγος 1 w 369
ἐπειδὴ 2 w 376
πάντες 1 w 382
οἱ 1 w 384
τῶν 5 w 387
συμφωνιῶν 1 w 396
εὑρέθησαν 1 w 405
λόγοι 1 w 410
καθὰ 1 w 415
δέδεικται 1 w 424
ἐν 1 w 427
τῇ 1 w 429
τῆς 2 w 432
δεκάδος 1 w 439
τετρακτύι 1 w 448
καὶ 9 w 452
περὶ 3 w 456
τούτων 1 w 462
πρότερον 1 w 470
λεκτέον 1 w 477
τὴν 1 w 481
μὲν 2 w 484
γὰρ 1 w 487
τετρακτὺν 1 w 496
συνέστησεν 1 w 506
5 w 507
δεκάς 1 w 512
ἓν 1 w 515
γὰρ 2 w 518
καὶ 10 w 521
β 1 w 522
καὶ 11 w 525
γ 12 w 526
καὶ 12 w 529
δ 16 w 530
ι 15 w 531
α 43 w 533
β 2 w 534
γ 13 w 535
δ 17 w 536
ἐν 2 w 539
δὲ 2 w 541
τούτοις 1 w 548
τοῖς 1 w 552
ἀριθμοῖς 1 w 560
ἔστιν 1 w 565
1 w 566
τε 6 w 568
διὰ 1 w 571
τεσσάρων 1 w 579
συμφωνία 1 w 587
ἐν 3 w 589
ἐπιτρίτῳ 1 w 597
λόγῳ 1 w 601
καὶ 13 w 604
6 w 605
διὰ 2 w 608
πέντε 1 w 613
ἐν 4 w 615
ἡμιολίῳ 1 w 622
καὶ 14 w 625
8 w 626
διὰ 3 w 629
πασῶν 1 w 634
ἐν 5 w 636
διπλασίῳ 1 w 644
καὶ 15 w 647
9 w 649
δὶς 1 w 653
διὰ 4 w 656
πασῶν 2 w 661
ἐν 6 w 663
τετραπλασίῳ 1 w 674
ἐξ 1 w 677
ὧν 1 w 679
συμπληροῦται 1 w 691
τὸ 2 w 693
ἀμετάβολον 1 w 703
διάγραμμα 1 w 712
τοιαύτη 1 w 720
μὲν 3 w 723
10 w 725
ἐν 7 w 728
μουσικῇ 1 w 735
1 1 w 736
καὶ 16 w 739
post 1 w 743
τῶν 6 w 746
del 1 w 749
A 1 w 751
4 1 w 752
μυρίων 1 w 758
μ 28 w 760
A 2 w 761
μύρια 1 w 767
ap 1 w 769
9 1 w 771
β 4 w 772
mg 1 w 774
A 3 w 776
10 1 w 779
ἐπιδὰν 1 w 785
A 4 w 786
em 1 w 789
ap 2 w 792
12 1 w 795
τὸν 2 w 798
corr 1 w 802
ex 1 w 805
τῶν 7 w 808
A 5 w 809
13 1 w 812
ὡς 2 w 814
ἔφαμεν 2 w 820
p 4 w 822
84 1 w 825
15 1 w 828
15 2 w 830
εἴη 2 w 833
2 w 834
A2 1 w 836
εἷ 1 w 839
11 w 840
A 7 w 841
περὶ 4 w 845
τῶν 8 w 848
τῶν 9 w 852
περὶ 5 w 856
A 8 w 857
17 1 w 859
inscr 1 w 864
περὶ 6 w 869
τετρακτύος 1 w 879
καὶ 17 w 882
δεκάδος 2 w 889
A 9 w 890
cf 1 w 893
Boeckh 1 w 900
kl 1 w 902
Scr 1 w 906
IIl 1 w 910
p 5 w 911
142 1 w 915
ἐπειδὴ 3 w 921
δὲ 3 w 924
18 1 w 928
18 2 w 930
δέδεικται 2 w 939
p 6 w 941
58 1 w 944
13 2 w 947
87 1 w 950
4 4 w 952
τετρακτύη 1 w 961
A1 1 w 963
25 1 w 965
inscr 2 w 970
ποσαι 1 w 976
τετρακτύες 1 w 986
A 11 w 987
τετρακτὺς 1 w 997
κατὰ 1 w 1001
σύνθεσιν 1 w 1009
οὖσα 1 w 1013
ἐπειδὴ 4 w 1020
ἐντὸς 1 w 1025
αὐτῆς 1 w 1030
πᾶσαι 1 w 1035
αἱ 1 w 1037
συμφωνίαι 1 w 1046
εὑρίσκονται 1 w 1057
οὐ 2 w 1060
διὰ 5 w 1063
τοῦτο 1 w 1068
δὲ 4 w 1070
μό- 1 w 1073
νον 1 w 1076
πᾶσι 1 w 1080
τοῖς 2 w 1084
Πυθαγορικοῖς 1 w 1096
προτετίμηται 1 w 1108
ἀλλʼ 1 w 1113
ἐπεὶ 2 w 1117
καὶ 18 w 1120
δοκεῖ 1 w 1125
τὴν 2 w 1128
τῶν 10 w 1131
ὅλων 2 w 1135
φύσιν 1 w 1140
συνέχειν 1 w 1148
διὸ 1 w 1152
καὶ 19 w 1155
ὅρκος 1 w 1160
ἦν 1 w 1162
αὐτοῖς 1 w 1168
οὐ 3 w 1170
μὰ 1 w 1172
τὸν 3 w 1175
ἁμετέρᾳ 1 w 1182
ψυχᾷ 1 w 1186
παραδόντα 1 w 1195
τετρακτύν 1 w 1204
παγὰν 1 w 1210
ἀενάου 1 w 1216
φύσεως 1 w 1222
ῥίζωμά 1 w 1228
τʼ 1 w 1230
ἔχουσαν 1 w 1237
τὸν 4 w 1241
παραδόντα 2 w 1250
Πυθαγόραν 1 w 1259
λέγουσιν 1 w 1267
ἐπεὶ 3 w 1272
δοκεῖ 2 w 1277
τούτου 1 w 1283
εὕρημα 1 w 1289
3 w 1290
περὶ 7 w 1294
αὐτῆς 2 w 1299
λόγος 2 w 1304
12 w 1306
μὲν 4 w 1309
οὖν 1 w 1312
προειρημένη 1 w 1323
τετρακτὺς 2 w 1332
αὕτη 1 w 1337
κατʼ 1 w 1343
ἐπισύνθεσιν 1 w 1354
τῶν 11 w 1357
πρώτων 1 w 1363
ἀποτελουμένη 1 w 1375
ἀριθμῶν 1 w 1382
δευ- 1 w 1387
τέρα 1 w 1391
δʼ 2 w 1393
ἐστὶ 1 w 1397
τετρακτὺς 3 w 1406
13 w 1407
τῶν 12 w 1410
κατὰ 2 w 1414
πολλαπλασιασμὸν 1 w 1429
ἐπηυξημένων 1 w 1440
ἀπὸ 1 w 1443
μονάδος 1 w 1450
κατά 1 w 1454
τε 19 w 1456
τὸ 7 w 1458
ἄρτιον 1 w 1464
καὶ 20 w 1467
πε- 1 w 1470
ριττόν 1 w 1476
ὧν 2 w 1479
πρῶτος 1 w 1485
μὲν 5 w 1488
κατὰ 3 w 1493
τὸ 8 w 1495
ἄρτιον 2 w 1501
λαμβάνεται 1 w 1512
14 w 1513
μονάς 1 w 1518
ἐπειδὴ 5 w 1525
αὕτη 2 w 1529
ἀρχὴ 1 w 1533
πάντων 1 w 1539
ἀρτίων 1 w 1545
καὶ 21 w 1548
περιτ- 1 w 1554
τῶν 13 w 1557
καὶ 22 w 1560
ἀρτιοπερίττων 1 w 1573
ὡς 3 w 1576
προείρηται 1 w 1586
καὶ 23 w 1590
ἁπλοῦς 1 w 1596
4 w 1597
ταύτης 1 w 1603
λόγος 3 w 1608
οἱ 2 w 1611
δʼ 3 w 1613
ἐφεξῆς 1 w 1619
τρεῖς 1 w 1624
ἀριθμοὶ 1 w 1631
κατὰ 4 w 1635
τὸ 9 w 1637
ἄρ- 1 w 1640
τιον 3 w 1644
καὶ 24 w 1647
περιττόν 1 w 1655
τὴν 3 w 1659
δὲ 5 w 1661
σύνθεσιν 3 w 1669
λαμβάνουσιν 1 w 1680
ἐπειδὴ 6 w 1687
5 5 w 1688
cf 2 w 1690
Pyth 1 w 1695
carm 1 w 1700
aur 1 w 1704
vs 1 w 1707
47 1 w 1710
sq 1 w 1712
Sext 1 w 1717
emp 1 w 1721
adv 1 w 1725
math 1 w 1730
IV 1 w 1733
2 5 w 1734
3 3 w 1736
9 2 w 1738
VII 1 w 1742
94 1 w 1744
100 1 w 1748
Macr 1 w 1753
comm 1 w 1758
in 3 w 1761
Somn 1 w 1765
Scip 1 w 1770
l 4 w 1772
6 1 w 1773
41 1 w 1776
Theol 1 w 1782
arithm 1 w 1789
p 9 w 1791
18 3 w 1794
Porph 1 w 1800
vita 1 w 1805
Pyth 2 w 1809
20 1 w 1812
lambl 1 w 1818
de 2 w 1821
Pyth 3 w 1825
vita 2 w 1830
150 1 w 1833
162 1 w 1837
Stob 1 w 1842
ecl 1 w 1846
l 9 w 1848
10 3 w 1850
12 2 w 1853
Pseudo-Plut 1 w 1865
de 3 w 1868
plac 1 w 1872
Phil 1 w 1877
I 6 w 1879
3 4 w 1880
Procl 1 w 1886
in 4 w 1889
Plat 1 w 1893
Tim 1 w 1897
p 12 w 1899
155 1 w 1903
D 1 w 1904
Zeller 1 w 1911
die 1 w 1914
Philos 1 w 1920
der 1 w 1924
Gr 1 w 1926
l 18 w 1928
p 13 w 1929
368 1 w 1933
6 4 w 1934
κεφαλά 1 w 1940
post 2 w 1944
ψυχᾶ 1 w 1948
del 2 w 1951
A 12 w 1953
κεφαλᾷ 1 w 1960
Sext 2 w 1964
VII 2 w 1968
97 1 w 1970
κιφαλᾷ 1 w 1976
et 1 w 1978
Stob 2 w 1982
in 5 w 1986
eo 2 w 1988
libro 1 w 1993
unde 1 w 1997
A 13 w 1998
descriptus 1 w 2008
est 1 w 2011
fuisse 1 w 2017
videtur 1 w 2024
7 5 w 2026
πηγὴν 1 w 2031
A1 2 w 2033
sicut 1 w 2039
Sextus 1 w 2045
ἀεννάου 1 w 2053
A 15 w 2054
ceterorumque 1 w 2067
quos 1 w 2071
commemoravi 1 w 2082
scriptorum 1 w 2092
codices 1 w 2099
ut 3 w 2101
videtur 2 w 2108
longe 1 w 2113
plurimi 1 w 2120
apud 1 w 2124
eosdem 1 w 2130
partim 1 w 2136
φύσεως 2 w 2142
partim 2 w 2148
φύσιος 1 w 2154
legitur 1 w 2161
ῥίζωμα 1 w 2167
τ 144 w 2168
A 16 w 2169
ῥιζώματ 1 w 2177
alii 1 w 2181
cf 3 w 2184
Bekker 1 w 2191
ad 2 w 2193
Sext 4 w 2197
p 21 w 2199
722 1 w 2203
5 9 w 2205
10 4 w 2207
αὕτη 3 w 2211
cf 4 w 2214
p 22 w 2216
96 1 w 2219
9 6 w 2221
97 2 w 2224
1 23 w 2226
κατʼ 2 w 2230
ἐπισύνθεσιν 2 w 2241
καὶ 25 w 2245
ἐπὶ 2 w 2248
σύνθεσιν 5 w 2256
A 17 w 2257
cf 5 w 2260
p 23 w 2262
96 2 w 2265
9 9 w 2267
98 1 w 2270
15 5 w 2273
11 1 w 2275
ἀποτελουμ 2 w 2284
i 30 w 2285
e 39 w 2287
ἀποτελουμένων 1 w 2301
A 18 w 2302
15 6 w 2305
αὕτη 4 w 2309
corr 2 w 2313
ex 6 w 2316
αὐτὴ 1 w 2320
A 19 w 2321
16 2 w 2323
προείρηται 2 w 2333
cf 6 w 2336
p 24 w 2338
19 1 w 2341
20 2 w 2344
17 2 w 2346
τρὶς 1 w 2350
A1 3 w 2352
καὶ 26 w 2355
5 w 2356
πᾶς 1 w 2359
ἀριθμὸς 1 w 2366
οὔτε 1 w 2370
μόνον 1 w 2375
ἄρτιος 1 w 2381
οὔτε 2 w 2385
μόνον 2 w 2390
πε- 2 w 2393
ριττός 1 w 2399
διὸ 2 w 2403
δύο 1 w 2406
λαμβάνονται 1 w 2417
αἱ 2 w 2419
κατὰ 5 w 2423
πολλαπλασιασμὸν 2 w 2438
τετρακτύες 2 w 2448
ἀρτία 1 w 2454
καὶ 27 w 2457
περιττή 1 w 2464
15 w 2466
μὲν 6 w 2469
ἀρτία 2 w 2474
ἐν 9 w 2476
λόγῳ 2 w 2480
διπλασίῳ 2 w 2488
πρῶτος 2 w 2495
γὰρ 3 w 2498
τῶν 14 w 2501
ἀρτίων 2 w 2507
34 w 2508
β 8 w 2509
καὶ 28 w 2512
αὐτὸς 1 w 2517
ἐκ 2 w 2519
μονάδος 2 w 2526
κατὰ 6 w 2530
τὸ 11 w 2532
διπλάσιον 1 w 2541
ηὐξημένος 1 w 2550
16 w 2552
δὲ 6 w 2554
περιττὴ 1 w 2561
ἐν 10 w 2563
λόγῳ 3 w 2567
ηὐξημένη 1 w 2575
τριπλασίῳ 1 w 2584
ἐπειδὴ 7 w 2591
πρῶτος 3 w 2597
τῶν 15 w 2600
πε- 3 w 2603
ριττῶν 1 w 2609
6 w 2610
γ 26 w 2611
καὶ 29 w 2614
αὐτὸς 2 w 2619
ἀπὸ 2 w 2622
μόναδος 1 w 2629
κατὰ 7 w 2633
τὸ 13 w 2635
τριπλάσιον 1 w 2645
ηὐξημένος 2 w 2654
ὥστε 1 w 2659
κοινὴ 1 w 2664
μὲν 7 w 2667
ἀμφοτέρων 1 w 2676
17 w 2677
μονάς 2 w 2682
καὶ 30 w 2686
ἀρτία 3 w 2691
οὖσα 2 w 2695
καὶ 31 w 2698
περιττή 2 w 2705
δεύτερος 1 w 2714
δὲ 7 w 2716
ἀριθμὸς 2 w 2723
ἐν 11 w 2725
μὲν 8 w 2728
τοῖς 4 w 2732
ἀρτίοις 1 w 2739
καὶ 32 w 2742
διπλασίοις 1 w 2752
7 w 2753
β 9 w 2754
ἐν 12 w 2757
δὲ 8 w 2759
τοῖς 5 w 2763
περιττοῖς 1 w 2772
καὶ 33 w 2775
τριπλασίοις 1 w 2786
8 w 2787
γ 27 w 2788
τρίτος 1 w 2795
δὲ 9 w 2797
ἐν 13 w 2799
μὲν 9 w 2802
τοῖς 7 w 2806
ἀρτίοις 2 w 2813
9 w 2814
δ 61 w 2815
ἐν 14 w 2818
δὲ 10 w 2820
τοῖς 8 w 2824
περιττοῖς 2 w 2833
10 w 2834
θ 20 w 2835
τέταρτος 1 w 2844
ἐν 15 w 2846
μὲν 10 w 2849
τοῖς 10 w 2853
ἀρ- 1 w 2856
τίοις 3 w 2861
η 34 w 2862
ἐν 16 w 2865
δὲ 11 w 2867
τοῖς 11 w 2871
περιττοῖς 3 w 2880
κζ 1 w 2882
η 35 w 2884
δ 64 w 2885
β 10 w 2886
α 156 w 2887
γ 28 w 2888
θ 21 w 2889
κζ 2 w 2891
ἐν 17 w 2893
τούτοις 2 w 2900
τοῖς 13 w 2904
ἀριθμοῖς 2 w 2912
οἱ 3 w 2915
τελειότεροι 1 w 2927
τῶν 17 w 2930
συμφω- 1 w 2936
νιῶν 2 w 2940
εὑρίσκονται 2 w 2951
λόγοι 2 w 2956
συμπεριείληπται 1 w 2972
δὲ 12 w 2974
αὐτοῖς 2 w 2980
καὶ 34 w 2983
11 w 2984
τόνος 1 w 2989
δύναται 1 w 2997
δὲ 13 w 2999
18 w 3000
μὲν 11 w 3003
μονὰς 1 w 3008
τὸν 5 w 3011
τῆς 5 w 3014
ἀρχῆς 1 w 3019
καὶ 35 w 3022
σημείου 1 w 3029
καὶ 36 w 3032
στιγμῆς 1 w 3039
λόγον 2 w 3044
οἱ 4 w 3047
δὲ 14 w 3049
δεύτεροι 1 w 3057
πλευρὰν 1 w 3064
δύνανται 1 w 3072
4 w 3073
τε 30 w 3075
β 11 w 3076
καὶ 37 w 3079
12 w 3080
γ 32 w 3081
ὄντες 1 w 3087
ἀσύνθετοι 1 w 3096
καὶ 38 w 3099
πρῶτοι 1 w 3105
καὶ 39 w 3108
μονάδι 1 w 3114
μετρούμενοι 1 w 3125
καὶ 40 w 3128
φύσει 1 w 3133
εὐθυμετρικοί 1 w 3145
οἱ 5 w 3148
δὲ 15 w 3150
τρίτοι 1 w 3156
ὅροι 1 w 3160
13 w 3161
δ 73 w 3162
καὶ 41 w 3165
14 w 3166
θ 25 w 3167
δύνανται 2 w 3175
ἐπίπεδον 1 w 3183
τετράγω- 1 w 3191
νον 5 w 3194
ἰσάκις 1 w 3201
ἴσοι 1 w 3205
ὄντες 2 w 3210
οἱ 6 w 3213
δὲ 16 w 3215
τέταρτοι 1 w 3223
ὅροι 2 w 3227
7 w 3228
τε 34 w 3230
η 38 w 3231
καὶ 42 w 3234
15 w 3235
κζ 3 w 3237
δύνανται 3 w 3245
ἰσάκις 2 w 3251
ἴσοι 2 w 3255
ἰσάκις 3 w 3261
ὄντες 3 w 3267
κύβον 1 w 3273
ὥστε 2 w 3278
2 12 w 3279
κατα 2 w 3284
A 21 w 3285
9 12 w 3286
ἀρτία 4 w 3291
A2 2 w 3293
τία 5 w 3297
A1 4 w 3299
ἐκ 3 w 3301
τούτων 2 w 3307
τῶν 18 w 3310
ἀριθμῶν 2 w 3317
καὶ 43 w 3320
ταύτης 2 w 3326
τῆς 6 w 3329
τετρακτύος 2 w 3339
ἀπὸ 3 w 3342
σημείου 2 w 3349
καὶ 44 w 3352
στιγμῆς 2 w 3359
εἰς 1 w 3362
στερεὸν 1 w 3369
19 w 3370
αὔξεσις 1 w 3377
γίνεται 1 w 3384
μετὰ 1 w 3389
γὰρ 4 w 3392
σημεῖον 1 w 3399
καὶ 45 w 3402
στιγμὴν 1 w 3409
πλευρά 1 w 3415
μετὰ 2 w 3420
πλευρὰν 2 w 3427
ἐπίπεδον 2 w 3435
μετὰ 3 w 3440
ἐπίπεδον 3 w 3448
στερεόν 1 w 3455
ἐν 18 w 3458
οἷς 1 w 3461
ἀριθμοῖς 3 w 3469
καὶ 46 w 3472
τὴν 4 w 3475
ψυχὴν 1 w 3480
συνίστησιν 1 w 3490
16 w 3491
Πλάτων 1 w 3497
ἐν 19 w 3499
τῷ 1 w 3501
Τιμιαίῳ 1 w 3508
17 w 3510
δὲ 17 w 3512
ἔσχατος 1 w 3519
τούτων 3 w 3525
τῶν 19 w 3528
ἑπτὰ 1 w 3532
ἀριθμῶν 3 w 3539
ἴσος 1 w 3543
ἐστὶ 2 w 3547
τοῖς 15 w 3551
πρὸ 1 w 3554
αὐτοῦ 1 w 3559
πᾶσιν 1 w 3564
ἓν 2 w 3567
γὰρ 5 w 3570
καὶ 47 w 3573
β 13 w 3574
καὶ 48 w 3577
γ 39 w 3578
καὶ 49 w 3581
δ 81 w 3582
καὶ 50 w 3585
η 43 w 3586
καὶ 51 w 3589
θ 29 w 3590
γίνονται 1 w 3598
κζ 4 w 3600
δύο 2 w 3604
μιὲν 1 w 3608
οὖν 2 w 3611
αὗται 1 w 3616
τετρακτύες 3 w 3626
2 w 3628
τε 41 w 3630
κατʼ 3 w 3634
ἐπισύν- 1 w 3641
θεσιν 6 w 3646
καὶ 52 w 3649
20 w 3650
κατὰ 8 w 3654
πολλαπλασιασμόν 1 w 3669
τούς 1 w 3674
τε 42 w 3676
μουσικοὺς 1 w 3685
καὶ 53 w 3688
γεωμετρικοὺς 1 w 3700
καὶ 54 w 3703
ἀριθμητικοὺς 1 w 3715
λόγους 2 w 3721
περιέχου- 1 w 3730
σαι 3 w 3733
ἐξ 2 w 3736
ὧν 3 w 3738
καὶ 55 w 3741
21 w 3742
τοῦ 4 w 3745
παντὸς 1 w 3751
ἁρμονία 1 w 3758
συνέστη 2 w 3765
τρίτη 1 w 3771
δέ 3 w 3773
ἐστι 1 w 3777
τετρακτὺς 4 w 3786
22 w 3787
κατὰ 9 w 3791
τὴν 5 w 3794
αὐτὴν 1 w 3799
ἀναλογίαν 1 w 3808
παντὸς 2 w 3814
μεγέθους 1 w 3822
φύσιν 2 w 3827
περιέχουσα 1 w 3837
ὅπερ 1 w 3842
γὰρ 6 w 3845
ἐν 20 w 3847
τῇ 2 w 3849
προτέρᾳ 1 w 3856
τετρακτύι 2 w 3865
μονάς 3 w 3870
τοῦτο 2 w 3876
ἐν 21 w 3878
ταύτῃ 1 w 3883
στιγμή 1 w 3889
ὅπερ 2 w 3894
δὲ 18 w 3896
ἐν 22 w 3898
ἐκείνῃ 1 w 3904
οἱ 7 w 3906
πλευρὰν 3 w 3913
δυνάμενοι 1 w 3922
ἀριθμοὶ 2 w 3929
τὰ 14 w 3931
β 14 w 3932
καὶ 56 w 3935
γ 47 w 3936
τοῦτο 3 w 3942
ἐν 23 w 3944
ταύτῃ 2 w 3949
τὸ 17 w 3951
διττὸν 1 w 3957
εἶδος 1 w 3962
τῆς 7 w 3965
γραμμῆς 1 w 3972
3 w 3973
τε 45 w 3975
περιφερὴς 1 w 3984
καὶ 57 w 3987
23 w 3988
εὐθεῖα 1 w 3994
κατὰ 10 w 3999
μὲν 12 w 4002
ἄρτιον 3 w 4008
24 w 4009
εὐθεῖα 2 w 4015
ἐπειδὴ 8 w 4022
δυσὶ 1 w 4026
σημείοις 1 w 4034
περατοῦται 1 w 4044
κατὰ 11 w 4049
δὲ 19 w 4051
τὸ 19 w 4053
περιττὸν 1 w 4061
25 w 4062
περιφερής 1 w 4071
ἐπειδὴ 9 w 4078
ὑπὸ 2 w 4081
μιᾶς 1 w 4085
γραμμῆς 2 w 4092
πέρας 1 w 4097
οὐκ 1 w 4100
ἐχούσης 1 w 4107
περιέχε- 1 w 4115
ται 21 w 4118
ὅπερ 3 w 4123
δὲ 20 w 4125
ἐν 24 w 4127
ἐκείνῃ 2 w 4133
οἱ 8 w 4135
τετράγωνον 1 w 4145
δυνάμενοι 2 w 4154
18 w 4155
δ 94 w 4156
καὶ 58 w 4159
19 w 4160
θ 36 w 4161
τοῦτο 4 w 4167
ἐν 25 w 4169
ταύτῃ 3 w 4174
τὸ 21 w 4176
διττὸν 2 w 4182
εἶδος 2 w 4187
ἐπιπέδων 1 w 4195
εὐθύ- 1 w 4201
γραμμον 1 w 4208
καὶ 59 w 4211
περιφερόγραμμον 1 w 4226
ὅπερ 4 w 4231
δὲ 21 w 4233
ἐν 26 w 4235
ἐκείνῃ 3 w 4241
οἱ 9 w 4243
κύβον 2 w 4248
δυνάμενοι 3 w 4257
20 w 4258
η 49 w 4259
καὶ 60 w 4262
21 w 4263
κζ 5 w 4265
δύο 3 w 4268
ὄντες 4 w 4273
22 w 4274
μὲν 13 w 4277
ἐκ 7 w 4279
περιττοῦ 1 w 4287
23 w 4289
δὲ 22 w 4291
ἐξ 3 w 4293
ἀρτίου 1 w 4299
τοῦτο 5 w 4305
ἐν 27 w 4307
ταύτῃ 4 w 4312
στερεόν 2 w 4319
διτ- 1 w 4324
τὸν 9 w 4327
ὄν 5 w 4329
τὸ 24 w 4333
μὲν 14 w 4336
ἐκ 8 w 4339
κοίλης 1 w 4345
ἐπιφανείας 1 w 4355
ὡς 4 w 4357
σφαῖρα 1 w 4363
καὶ 61 w 4366
5 12 w 4367
ἐν 28 w 4369
τῷ 2 w 4371
Τιμαίῳ 1 w 4377
p 25 w 4379
35 1 w 4382
B 3 w 4383
6 8 w 4384
ἕσχατος 1 w 4391
ex 7 w 4393
αἴσχατος 1 w 4401
A 24 w 4402
8 9 w 4404
γίνωνται 1 w 4412
A 25 w 4413
em 5 w 4416
apogr 1 w 4422
12 3 w 4425
γ 54 w 4426
mg 2 w 4428
A 26 w 4430
14 2 w 4433
sqq 1 w 4436
cf 7 w 4439
Ζeller 1 w 4446
l 27 w 4447
p 27 w 4448
375 1 w 4452
5 15 w 4454
15 7 w 4456
τετρακτύη 2 w 4465
A 27 w 4466
17 3 w 4468
διττὸν 3 w 4474
διάτονον 1 w 4483
A 28 w 4484
18 4 w 4486
εὐθία 1 w 4491
A 29 w 4492
19 2 w 4494
περιττοῦται 1 w 4505
A 30 w 4506
20 3 w 4509
ἐπειδὴ 10 w 4515
24 w 4517
κύ- 1 w 4520
κλος 1 w 4524
23 1 w 4528
περιφορόγραμμον 1 w 4543
A 31 w 4544
em 6 w 4547
apogr 2 w 4553
κύλινδρος 1 w 4563
τὸ 26 w 4566
δὲ 23 w 4568
ἐξ 4 w 4570
ἐπιπέδων 2 w 4578
ὡς 5 w 4580
κύβος 1 w 4585
πυραμίς 1 w 4592
αὕτη 5 w 4597
δέ 4 w 4599
ἐστιν 1 w 4604
26 w 4605
τρίτη 2 w 4610
τετρακτὺς 5 w 4619
παντὸς 3 w 4625
μεγέθους 2 w 4633
συμπλη- 1 w 4640
ρωτικὴ 1 w 4646
ἐκ 9 w 4648
σημείου 3 w 4655
γραμμῆς 3 w 4662
ἐπιπέδου 1 w 4670
στερεοῦ 1 w 4677
τετάρτη 1 w 4685
δὲ 24 w 4687
τετρακτύς 1 w 4696
ἐστι 3 w 4700
τῶν 20 w 4703
ἁπλῶν 1 w 4708
σωμάτων 1 w 4716
πυρὸς 1 w 4723
ἀέρος 1 w 4728
ὕδατος 1 w 4734
γῆς 1 w 4737
ἀναλογίαν 2 w 4747
ἔχουσα 2 w 4753
τὴν 7 w 4756
κατὰ 12 w 4760
τοὺς 2 w 4764
ἀριθμούς 1 w 4772
ὅπερ 5 w 4777
γὰρ 7 w 4780
ἐν 29 w 4782
ἐκείνῃ 4 w 4788
μονάς 4 w 4793
ἐν 30 w 4796
ταύτῃ 5 w 4801
πῦρ 1 w 4804
2 w 4806
δὲ 25 w 4808
δυάς 1 w 4812
ἀήρ 1 w 4816
δὲ 26 w 4819
τριάς 1 w 4824
ὕδωρ 1 w 4829
3 w 4831
δὲ 27 w 4833
τετράς 1 w 4839
γῆ 2 w 4842
τοιαύτη 2 w 4850
γὰρ 8 w 4853
27 w 4854
φύσις 1 w 4859
τῶν 21 w 4862
στοιχείων 1 w 4871
κατὰ 13 w 4875
λεπτο- 1 w 4881
μέρειαν 1 w 4888
καὶ 62 w 4891
παχυμέρειαν 1 w 4902
ὥστε 3 w 4907
τοῦτον 1 w 4913
ἔχειν 1 w 4918
τὸν 11 w 4921
λόγον 3 w 4926
πῦρ 2 w 4929
πρὸς 1 w 4933
ἀέρα 1 w 4937
ὅν 1 w 4940
ἓν 3 w 4942
πρὸς 2 w 4946
β 17 w 4947
πρὸς 3 w 4952
δὲ 28 w 4954
ὕδωρ 2 w 4958
ὃν 2 w 4961
ἓν 4 w 4963
πρὸς 4 w 4967
γ 64 w 4968
πρὸς 5 w 4973
δὲ 29 w 4975
γῆν 1 w 4978
ὃν 3 w 4981
ἓν 5 w 4983
πρὸς 6 w 4987
δ 121 w 4988
καὶ 63 w 4992
τἆλλα 1 w 4997
ἀνάλο- 1 w 5003
γον 4 w 5006
πρὸς 7 w 5010
ἄλληλα 1 w 5016