Sphaerica (3.4.1)

Ἐὰν ἐν σφαίρᾳ δύο μέγιστοι κύκλοι τέμνωσιν ἀλλήλους, ἀπὸ δὲ ἑνὸς αὐτῶν ἴσαι περιφέρειαι ἀποληφθῶσιν ἑξῆς ἐφ’ ἑκάτερα τοῦ σημείου, καθ’ ὃ τέμνούσιν ἀλλήλους· διὰ δὲ τῶν γινομένων σημείων ἐπίπεδα παράλληλα ἐκβληθῇ, ὧν τὸ ἓν συμπίπτῃ τῇ κοινῇ τομῇ τῶν κύκλων ἐκτὸς τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας, ὡς κατὰ τὸ εἰρημένον σημεῖον, μία δὲ τῶν ἴσων περιφερειῶν μείζων ᾖ ἑκατέρας τῶν ἀπειλημμένων a ὑπὸ τῶν ἠγμένων ἐπιπέδων πρὸς τῷ αὐτῷ σημείῳ· ἡ μεταξὺ τοῦ τε σημείου καὶ ἀσυμπτώτου ἐπιπέδου μείζων ἐστὶ τῆς

μεταξὺ τοῦ τε σημείου καὶ τοῦ συμπίπτοντος ἐπιπέδου τοῦ αὐτοῦ κύκλου.

Ἐν γὰρ σφαίρᾳ δύο μέγιστοι κύκλοι οἱ ΑΕΒ, ΓΕΔ τεμνέτωσαν ἀλλήλους κατὰ τὸ Ε σημεῖον· ἀπὸ δὲ ἑνὸς αὐτῶν τοῦ ΑΕΒ ἴσαι περιφέρειαι ἀπειλήφθωσαν αἱ ΑΕ, ΕΒ ἑξῆς ἐφ’ ἑκάτερα τοῦ Ε σημείου, καὶ διὰ τῶν Α, Β a σημείων ἐπίπεδα παράλληλα διήχθω τὰ ΑΔ, ΓΒ, ὧν τὸ ΑΔ συμπιπτέτω τῇ κοινῇ τομῇ τῶν ΑΕΒ, ΓΕΔ ἐκτὸς τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας, ὡς κατὰ τὸ Ε σημεῖον, μία δὲ τῶν ἴσων περιφερειῶν τῶν ΑΕ, ΕΒ μείζων ἔστω ἑκατέρας τῶν ΓΕ ΕΔ· λέγω, ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ ΓΕ περιφέρεια τῆς ΕΔ περιφερείας.

Ὁ πόλῳ γὰρ τῷ Ε, διαστήματι δὲ τῷ ΕΑ κύκλος γραφόμενος ἥξει μὲν διὰ τοῦ Β, ὑπερπεσεῖται δὲ τὰ Γ, Δ σημεῖα, διὰ τὸ ἑκατέραν τῶν ΑΕ, ΕΒ ἑκατέρας τῶν ΓΕ, ΕΔ μείζονα εἶναι. Ἐρχέσθω, καὶ ἔστω ὡς ὁ ΑΗΒΖ, καὶ προσαναπεπληρώσθωσαν οἱ κύκλοι· καὶ ὁ μὲν ΑΔ κύκλος συμπιπτέτω τῷ ΑΗΒΖ κύκλῳ κατὰ τὸ Θ σημεῖον, ὁ δὲ ΒΓ κατὰ τὸ Κ σημεῖον· καὶ ἔστω τοῦ μὲν ΑΗΒΖ καὶ τοῦ ΑΕΒ κοινὴ τομὴ ἡ ΑΒ, τοῦ δὲ ΑΗΒΖ καὶ τοῦ ΗΕΖ κοινὴ τομὴ ἡ ΗΖ, τοῦ δὲ ΑΔΘ κύκλου καὶ τοῦ ΑΗΒΖ κοινὴ τομὴ ἡ ΑΘ, τοῦ δὲ ΚΓΒ καὶ τοῦ ΑΗΒΖ κοινὴ τομὴ ἡ ΚΒ, τοῦ δὲ ΗΕΖ καὶ τοῦ ΑΔΘ κοινὴ τομὴ ἡ ΔΜ, τοῦ δὲ ΚΓΒ καὶ τοῦ ΗΕΖ κοινὴ τομὴ ἡ ΓΝ. Καὶ ἐπεὶ τὸ ΑΔ ἐπίπεδον συμπίπτει τῇ κοινῇ τομῇ τῶν ΗΕΖ, ΛΕΒ ἐπιπέδων, τοῦτ’ ἔστι, τῇ ΕΛ, ἐκτὸς τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας, ὡς κατὰ τὸ Ε σημεῖον, συμπιπτέτω κατὰ τὸ Ξ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΕΛ ἐπὶ τὸ Ξ. Τὸ Ξ ἄρα σημεῖον ἐν τῷ ΑΔΘ ἐπιπέδῳ ἐστίν· ἀλλὰ καὶ ἐν τῷ ΗΕΖ· ἔστι δὲ καὶ τὰ Δ, Μ σημεῖα ἐν ἀμφοτέροις τοῖς ΑΔΘ, ΗΕΖ ἐπιπέδοις· ἡ ΜΔ ἄρα συμπίπτει ἐκτὸς τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας, ὡς κατὰ τὸ Ε σημεῖον, συμπεσεῖται δὴ κατὰ τὸ Ξ. Καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΕΒ κύκλον τινὰ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τὸν ΑΗΒΖ διὰ τῶν πόλων τέμνει, δίχα τε αὐτὸν τεμεῖ καὶ πρὸς ὀρθάς· ἡ ΑΒ ἄρα διάμετρός ἐστι τοῦ ΑΗΒΖ κύκλου. Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ΗΖ διάμετρός ἐστι τοῦ ΑΗΒΖ κύκλου, κέντρον ἄρα ἐστὶν αὐτοῦ τὸ Λ.

Καὶ ἐπεὶ δύο ἐπίπεδα παράλληλα τὰ ΚΓΒ, ΑΔΘ ὑπό τινος ἐπίπεδου τέμνεται τοῦ ΑΗΒΖ, αἱ κοιναὶ ἄρα αὐτῶν τομαὶ παράλληλοί εἰσι· παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΒ τῇ ΑΘ. Πάλιν ἐπεὶ δύο ἐπίπεδα παράλληλα τὰ

ΚΓΒ, ΑΔΘ ὑπό τινος ἐπιπέδου τέμνεται τοῦ ΗΕΖ, αἱ κοιναὶ αὐτῶν ἄρα τομαὶ παράλληλοί εἰσι· παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΝ τῇ ΔΜ. Καὶ ἐπεὶ ἑκάτερον τῶν ΑΕΒ, ΗΕΖ ἐπιπέδων πρὸς τὸ ΑΗΒΖ ἐπίπεδον ὀρθόν ἐστι, καὶ ἡ κοινὴ αὐτῶν ἄρα τομὴ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ ΑΗΒΖ ἐπίπεδον· κοινὴ δὲ αὐτῶν τομή ἐστιν ἡ ΕΛ, καὶ ἡ ΕΛ ἄρα ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ ΑΗΒΖ ἐπίπεδον, ὥστε καὶ πρὸς πάσας τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας, καὶ οὔσας ἐν τῷ τοῦ ΑΗΒΖ κύκλου ἐπιπέδῳ, ὀρθὰς ποιήσει γωνίας. Ἅπτεται δὲ τῆς ΕΛ ἑκατέρα τῶν ΑΒ, ΗΖ, οὖσα ἐν τῷ τοῦ ΑΗΒΖ κύκλου ἐπιπέδῳ, ἡ ΕΛ ἄρα ὀρθή ἐστι πρὸς ἑκατέραν τῶν ΑΒ, ΗΖ. Καὶ ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΞΑΜ ἐκτός ἐστι γωνία ἡ ὑπὸ ΞΛΝ a, μείζων ἐστὶ τῆς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον b γωνίας τῆς ὑπὸ ΞΜΛ· ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΞΛΝ, ὀξεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΞΜΛ, ἀμβλεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΞΜΖ. Καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΓΝ τῇ ΔΜ, καὶ εἰς αὐτὰς ἐμπέπτωκεν ἡ ΗΖ, ἴση ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΓΝΗ τῇ ὑπὸ ΞΜΛ· ὀξεῖα δὲ ἡ ὑπὸ ΞΜΛ, ὀξεῖα ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΓΝΗ. Καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΜ τῇ ΝΒ, καὶ δύο διηγμέναι εἰσὶν αἱ ΑΒ, ΜΝ, καί ἐστιν ἴση ἡ ΑΛ τῇ ΛΒ· ἴση ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΝΛ τῇ ΛΜ· ἔστι δὲ καὶ ὅλη ἡ ΗΛ ὅλῃ τῇ ΛΖ ἴση, λοιπὴ ἄρα ἡ ΗΝ λοιπῇ τῇ ΜΖ ἐστιν ἴση. Ἐπεὶ οὖν τμῆμα κύκλου ἐστὶ τὸ ΗΕΖ, καὶ αἱ ἀπειλημμέναι ἴσαι εἰσὶν αἱ ΗΝ, ΜΖ, καὶ διηγμέναι εἰσὶ παράλληλοι αἱ ΓΝ, ΔΜ, καί ἐστιν ἡ μὲν ὑπὸ ΓΝΗ ὀξεῖα, ἡ δὲ ὑπὸ ΔΜΖ ἀμβλεῖα· ἐλάσσων ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΓ περιφέρεια τῆς ΔΖ περιφερείας. Ἐπεὶ οὖν ὅλη ἡ ΗΕ περιφέρεια ὅλῃ τῇ ΖΕ περιφερείᾳ ἐστὶν ἴση, ὧν ἡ ΗΓ τῆς ΔΖ ἐστιν ἐλάσσων· λοιπὴ ἄρα ἡ ΓΕ περιφέρεια λοιπῆς τῆς ΕΔ περιφερείας μείζων ἐστίν.