Liber assumptorum (11-15)

Εἴ κα ἐν κύκλῳ δύο εὐθεῖαι τέμνωντι ἀλλάλας ποτʼ ὀρθὰς μὴ διὰ τοῦ κέντρου οὖσαι, τὰ ἀπὸ τῶν τμαμάτων τῶν εὐθειῶν τετράγωνα τῷ ἀπὸ τᾶς διαμέτρου τοῦ κύκλου ἴσα ἐντί.

Ἔστω γὰρ κύκλος ὁ ΑΒΓ, καὶ δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, Γ τετμάσθων ποτʼ ὀρθὰς κατὰ

τὸ Ε σαμεῖον· φαμὶ δή, τὰ ἀπὸ τῶν τμαμάτων τῶν ΑΕ, ΕΒ, ΓΕ, Ε τετράγωνα τῷ ἀπὸ τᾶς διαμέτρου τοῦ κύκλου ἴσα ἐστίν.

Ἄχθω γὰρ διάμετρος τοῦ induoκύκλου ἁ ΑΖ καὶ ἐπεζεύχθων αἱ ΑΓ, Α, ΓΖ, Β εὐθεῖαι. Ἐπεὶ οὖν ἐν δυσὶ τριγώνοις τοῖς ΑΕ, ΑΖΓ γωνίαι αἱ ὑπὸ ΑΕ, ΑΕ, καὶ ΑΓΖ, ΑΖΓ ἴσαι ἀλλάλαις ἐντὶ ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, λοιπαὶ ἄρα γωνίαι αἱ ὑπὸ ΓΑΖ, ΑΕ ἐσσοῦνται ἀλλάλαις ἴσαι· περιφέρειαι ἄρα αἱ ΓΖ, Β ἴσαι ἀλλάλαις ἐντί, καὶ αἱ ταύτας ὑποτείνουσαι εὐθεῖαι αἱ ΓΖ, Β ἔστι δὲ καὶ τὰ ἀπὸ τῶν Ε, ΕΒ τῷ ἀπὸ τᾶς Β, τουτέστι τῷ ἀπὸ τᾶς ΓΖ, ἴσον, καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΓ τῷ ἀπὸ τᾶς ΓΑ, καὶ τὰ ἀπὸ

τῶν ΓΖ, ΓΑ τῷ ἀπὸ τᾶς ΖΑ, τουτέστι τῷ ἀπὸ τᾶς διαμέτρου, ἴσα· ἐσσοῦνται ἄρα τὰ ἀπὸ τῶν τμαμάτων τῶν ΑΕ, ΕΒ, ΓΕ, Ε τετράγωνα τῷ ἀπὸ τᾶς διαμέτρου ἴσα δέδεικται οὖν τὸ προτεθέν.

Εἴ κα ἐκ σαμείου ἐκτὸς ἁμικυκλίου δύο εὐθεῖαι ἀχθέωντι ἐπιψαύουσαι αὐτοῦ, ἀχθέωντι δὲ ἐκ τῶν σαμείων ἁφᾶς δύο εὐθεῖαι ποτὶ τὰ ἀπεναντίον πέρατα τᾶς διαμέτρου τέμνουσαι ἀλλάλας, ἁ ἐκ τοῦ ἐκτὸς σαμείου ποτὶ τὸ σαμεῖον τομᾶς τῶν δύο εὐθειῶν ἀχθεῖσα καὶ ἐκβληθεῖσα ποτὶ τὰν διάμετρον ἐσσεῖται ταύτᾳ ποτʼ ὀρθάς.

Ἔστω ἁμικύκλιον τὸ ΑΒ, σαμεῖον δὲ τι ἐκτὸς αὐτοῦ τὸ Γ, καὶ ἐκ τοῦ Γ ἄχθων δύο εὐθεῖαι αἱ Γ, ΓΕ ἐπίψαύουσαι αὐτοῦ κατὰ τὰ , Ε σαμεῖα, ἐπεζεύχθων δὲ ἐκ τῶν σαμείων ἁφᾶς ποτὶ τὰ ἀπεναντίον πέρατα τᾶς διαμέτρου τὰ Α, Β εὐθεῖαι αἱ ΕΑ, Β τέμνουσαι ἀλλάλας κατὰ τὸ Ζ, καὶ ἀχθεῖσα ἁ ΓΖ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Η σαμεῖον φαμὶ δή, εὐθεῖα ἁ ΓΗ διαμέτρῳ τᾷ ΑΒ ἐσσεῖται ποτʼ ὀρθάς.

Ἐπεζεύχθων γὰρ αἱ Α, ΕΒ. Ἐπεὶ οὖν τριγώνου τοῦ ΑΒ γωνία ἁ ὑπὸ ΑΒ ὀρθά ἐστιν, λοιπαὶ ἄρα γωνίαι αἱ ὑπὸ ΑΒ, ΒΑ μιᾷ ὀρθᾷ ἴσαι ἐντί ἔστι δὲ καὶ γωνία ἁ ὑπὸ ΑΕΒ μιᾷ ὀρθᾷ ἴσα κοινὰ ποτικείσθω ἁ ὑπὸ ΖΒΕ συναμφότερος ἄρα ἁ ὑπὸ ΑΒ, ΑΒΕ συναμφοτέρῳ τᾷ ὑπὸ ΖΒΕ, ΖΕΒ, τουτέστιν ἐξωτερικᾷ γωνίᾳ τᾷ ὑπὸ ΖΕ τριγώνου τοῦ ΖΒΕ ἐστὶν ἴσα. Καὶ ἐπεὶ εὐθεῖα ἁ Γ ἐπιψαύουσα τοῦ κύκλου ἐστίν, διᾶκται δὲ ἀπὸ τοῦ σαμείου ἁφᾶς τοῦ κλου ἁ

Β τέμνουσα τὸν κύκλον, ἐσσεῖται γωνία ἁ ὑπὸ ΓΒ γωνίᾳ τᾷ ὑπὸ ΑΒ ἴσα διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ γωνία ἁ ὑπὸ ΓΕΖ τᾷ ὑπὸ ΕΒΑ ἐστὶν ἴσα καὶ συναμφότερος ἄρα γωνία ἁ ὑπὸ ΓΕΖ, ΓΖ τᾷ ὑπὸ ΖΕ ἐστὶν ἴσα καὶ δέδεικται παῤ ἡμῶν ἐν τοῖς Περὶ τετραπλεύρων ὅτι εἴ κα μεταξὺ δύο ἰσᾶν εὐθειᾶν τεμνομενᾶν, οἷον τᾶν Γ, ΓΕ, δύο εὐθεῖαι ἀχθέωντι τεμνόμεναί, οἷον αἱ Ζ, ΕΖ, γωνία δὲ ἁ ὑπὸ τούτων περιεχομὲνα, ὡς ἁ ποτὶ τῷ Ζ, συναμφοτέρῳ τᾷ ὑπὸ τῶν δύο τεμνομενᾶν εὐθειᾶν περιεχομένᾳ, ὡς αἱ ποτὶ τοῖς Ε, σαμείοις, ἴσα ἐστίν, ἁ ἐπιζευγνυμένα ἐκ τοῦ σαμείου καθʼ ὃ αἱ δύο εὐθεῖαι συμβάλλοντι ἐπὶ τὸ σαμεῖον καθʼ ὃ αὗται τὲμνοντι ἀλλάλας, ὡς ἁ ΓΖ εὐθεῖα, ἑκατέρᾳ τᾶν τεμνομενᾶν εὐθειᾶν, ὡς αἱ Γ, ΓΕ, ἐστὶν ἴσα· ἁ ΓΖ εὐθεῖα ἄρα τᾷ Γ ἐστὶν ἴσα καὶ γωνία ἁ ὑπὸ ΓΖ γωνίᾳ τᾷ ὑπὸ ΓΖ, τουτέστι τᾷ ὑπὸ ΑΗ· γωνίαι δὲ αἱ ὑπὸ ΓΖ, ΖΗ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι ἐντί· συναμφότερος ἄρα γωνία ἁ ὑπὸ ΑΗ, ΖΗ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσα ἐστίν· λοιπαὶ ἄρα γωνίαι τετραπλεύρου τοῦ ΑΖΗ αἱ ὑπὸ ΑΖ, ΑΗΖ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι ἐντί· ἔστι δὲ γωνία ἁ ὑπὸ ΑΒ μιᾷ ὀρθᾷ ἴσα γωνία ἄρα ἁ ὑπὸ ΑΗΓ μιᾷ ὀρθᾷ ἴσα ἐστίν· ἔστιν ἄρα εὐθεῖα ἁ Η διαμέτρῳ τᾷ ΑΒ ποτʼ ὀρθάς· δέδεικται οὖν τὸ προτεθέν.

Εἴ κα ἐν κύκλῳ δύο εὐθεῖαι τέμνουσαι ἀλλάλας μὴ ποτʼ ὀρθὰς ὦσιν, ἁ μὲν διάμετρος ἁ δὲ οὔ, ἀχθέωντι δὲ ἀπὸ τῶν περάτων τᾶς διαμέτρου εὐθεῖαι ποτʼ ὀρθὰς τᾷ ἄλλᾳ εὐθεία, αἱ ἀπολαφθεῖσαι ἀπὸ τῶν περάτων τᾶς διαμέτρου εὐθεῖαι ἴσαι ἀλλάλαις ἐντί.

Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ καὶ ἐν αὐτῷ δύο εὐθεῖαι τέμνουσαι ἀλλάλας μὴ ποτʼ ὀρθὰς αἱ ΑΒ, Γ, ἇν ἁ ΑΒ διάμετρος τοῦ κύκλου, καὶ ἀπὸ τῶν περάτων τᾶς διαμέτρου

τῶν Α, Β ἄχθωσαν τᾷ Γ ποτʼ ὀρθὰς εὐθεῖαι αἱ ΑΕ, ΒΖ φαμὶ δή, αἱ ἀπὸ τῶν περάτων τᾶς διαμέτρου ἀπολαφθεῖσαι εὐθεῖαι αἱ ΓΖ, Ε ἴσαι ἀλλάλαις ἐντί.

Ἐπεζεύχθω γὰρ ἁ ΕΒ καὶ ἀπὸ κέντρου τοῦ κύκλου τοῦ Ι τᾷ Γ ἄχθω ποτʼ ὀρθὰς εὐθεῖα ἁ ΙΗ καὶ ἐκβληθεῖσα συμβαλλέτω τᾷ ΕΒ κατὰ τὸ Θ σαμεῖον.

Ἐπεὶ οὖν εὐθεῖα ἁ ΙΗ παρὰ τὰν ΑΕ ἐστίν, ἁ δὲ ΒΙ τᾷ ΙΑ ἴσα, εὐθεῖα ἄρα ἁ ΒΘ τᾷ ΘΕ ἐστὶν ἴσα. Πάλιν, ἐπεὶ ἁ ΒΖ παρὰ τὰν ΘΗ ᾖ, ἐστίν εὐθεῖα ἄρα ἁ ΖΗ εὐθείᾳ τᾷ ΗΕ ἐστὶν ἴσα ἔστι δὲ καὶ ἁ ΗΓ τᾷ Η ἴσα· κοινὰ ἀφαιρήσθω ἁ ΖΗ, τουτέστιν ἁ ΗΕ· λοιπὰ ἄρα ἁ ΖΓ λοιπᾷ τᾷ Ε ἐστὶν ἴσα· φανερὸν οὖν ὃ ἔδει δεῖξαι.

Εἴ κα ἐν ἁμικυκλίῳ ἀπὸ τῶν περάτων τᾶς διαμέτρου δύο ἴσα τμάματα λαφθέωντι καὶ ἀπὸ τούτων ἁμικύκλια ἐντὸς γραφέωντι, γραφῇ δὲ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ τμάματος τᾶς διαμέτρου ἁμικύκλιον ἐκτός, ὁ κύκλος, οὗ διάμετρος συναμφότερος ἁ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἁμικυκλίου καὶ ἁ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐκτός, χωρίῳ τῷ περιεχομένῳ ὑπὸ τῶν περιφερειῶν τῶν ἁμικυκλίων, ὅπερ σελήνιον καλείσθω, ἴσος ἐστίν.

Ἔστω ἁμικύκλιον, οὗ διάμετρος ἁ ΑΒ, καὶ ἀπὸ τῶν περάτων τᾶς διαμέτρου τῶν Α, Β δύο τμάματα ἴσα ἀλλάλοις λελάφθω τὰ ΑΓ, Β, γεγράφθω δὲ ἀπὸ τῶν τμαμάτων δύο ἁμικύκλια ἐντός, καὶ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ τμάματος τοῦ Γ γεγράφθω ἁμικύκλιον ἐκτός, διὰ κέντρου δὲ τοῦ ἀμικυκλίου τοῦ Ε διαμέτρῳ τᾷ ΑΒ ἄχθω ποτʼ ὀρθὰς εὐθεῖα ἁ ΕΖ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Η σαμεῖον· φαμὶ δή, ὁ κύκλος,

οὗ διάμετρος ἁ ΖΗ, χωρίῳ τῷ περιεχομένῳ ὑπὸ τῶν περιφερειῶν τῶν ἁμικυκλίων, ὅπερ σελήνιον καλείσθω, ἴσος ἐστίν.

Ἐπεὶ γὰρ εὐθεῖα· γραμμὰ ἁ Γ δίχα τέτμαται κατὰ τὸ Ε σαμεῖον, ποτίκειται δὲ αὐτᾷ εὐθεῖα ἐπʼ εὐθείας ἁ ΓΑ, τὸ ἀπὸ τᾶς Α καὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ποτικειμένας τᾶς ΓΑ τὰ συναμφότερα τετράγωνα διπλασίονά ἐντι τοῦ τε ἀπὸ τᾶς ἁμισείας τᾶς Ε καὶ τοῦ ἀπὸ τᾶς ΕΑ τετραγώνου. Ἔστι δὲ ἁ ΖΗ τᾷ Α ἴσα ἔστιν ἄρα καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΖΗ, ΓΑ διπλασίονα τοῦ τε ἀπὸ τᾶς Ε καὶ τοῦ ἀπὸ τᾶς ΕΑ. Καὶ ἐπεὶ ἁ ΑΒ τᾶς ΑΕ διπλασίων ἐστὶ καὶ ἁ Γ

τᾶς Ε, ἐσσεῖται καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, Γ τοῖς ἀπὸ τῶν Ε, ΕΑ τετραπλασίονα, τουτέστι τοῖς ἀπὸ τῶν ΖΗ, ΓΑ διπλασίονα· κύκλοι ἄρα, ὧν διάμετροι αἱ ΑΒ, Γ εὐθεῖαι, κύκλων, ὧν διάμετροι αἱ ΖΗ, ΓΑ, διπλασίονές ἐντι· ἁμικύκλια ἄρα, ὧν διάμετροι αἱ ΑΒ, Γ εὐθεῖαι, κύκλοις, ὧν διάμετροι αἱ ΖΗ, ΓΑ, ἴσα ἐστίν· κοινὸν ἀφαιρήσθω κύκλος, οὗ διάμετρος ἁ ΑΓ, τουτέστι δύο ἁμικύκλια, ὧν διάμετροι αἱ ΑΓ, Β· λοιπὸν ἄρα χωρίον τὸ ὑπὸ τῶν περιφερειῶν τῶν ἁμικυκλίων περιεχόμενον, ὅπερ σελήνιον καλεῖται, κύκλῳ, οὗ διάμετρος ἁ ΖΗ, ἴσον ἐστίν· δῆλον οὖν τὸ προτεθέν.

Ἔστω ἁμικύκλιον τὸ ΑΒ καὶ ἁ ΑΓ πλευρὰ τοῦ ἐγγεγραμμένου ἰσοπλεύρου τε καὶ ἰσογωνίου πενταγώνου, τετμάσθω δὲ περιφέρεια ἁ ΑΓ δίχα κατὰ τὸ , ἐπιζευχθεῖσα δὲ ἁ Γ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ε, καὶ

ἀπὸ τοῦ σαμείου διάχθω ἁ Β τέμνουσα πλευρὰν τὰν ΑΓ κατὰ τὸ Ζ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ ἄχθω τᾷ ΑΒ ποτʼ ὀρθὰς ἁ ΖΗ φαμὶ δή, εὐθεῖα ἁ ΕΗ τᾷ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου ἴσα ἐστίν.

Ἐπεζεύχθω γὰρ ἁ ΓΒ, καὶ ἔστω κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Θ σαμεῖον, καὶ ἄχθωσαν αἱ Θ, Η, Α εὐθεῖαι. Ἐπεὶ οὖν γωνία ἁ ὑπὸ ΑΒΓ δύο πέμπτα ὀρθᾶς ἐστιν, γωνία ἁ ὑπὸ ΓΒ, τουτέστι ἁ ὑπὸ ΒΑ, ἓν πεμπταμόριον ὀρθᾶς ἐστιν· γωνία ἄρα ἁ ὑπὸ ΘΑ δύο πέμπτα ὀρθᾶς ἐστιν. Καὶ ἐπεὶ ἐν δυσὶ τριγώνοις τοῖς ΓΒΖ, ΗΒΖ δύο γωνίαι αἱ ποτὶ τῷ Β ἴσαι ἀλλάλαις ἐντί, ὀρθαὶ δὲ αἱ ποτὶ τὰ Η, Γ σαμεῖα, κοινὰ δὲ πλευρὰ ἁ ΒΖ, ἐσσεῖται ἄρα καὶ

βάσις ἁ ΒΓ βάσει τᾷ ΒΗ ἴσα. Πάλιν ἐπεὶ ἐν δυσὶ τριγώνοις τοῖς ΓΒ, ΗΒ δύο πλευραὶ αἱ ΓΒ, ΒΗ ἴσαι ἀλλάλαις ἐντί, γωνίαι δὲ αἱ ποτὶ τῷ Β ἴσαι, κοινὰ δὲ πλευρὰ ἁ Β, ἐσσεῖται ἄρα γωνία ἁ ὑπὸ ΒΓ γωνίᾳ τᾷ ὑπὸ ΒΗ, τουτέστιν ἐπιπέμπτῳ ὀρθᾶς, ἴσα· ἔστι BD δὲ ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΒΓ, ΒΗ γωνιῶν γωνίᾳ τᾷ ἐκτὸς τοῦ ἐν τῷ κύκλῳ τετραπλεύτοῦ ῥοῦ ΒΑΓ, τουτέστι τᾷ ΑΕ, ἴσα γωνία ἄρα ἁ ὑπὸ ΑΒ γωνίᾳ τᾷ ὑπὸ ΗΑ ἔστιν ἴσα, καὶ πλευρὰ ἁ Α τᾷ Η. Καὶ ἐπεὶ γωνία ἁ ὑπὸ ΘΗ βε ὀρθᾶς ἐστι καὶ ἁ ὑπὸ ΗΘ ἐπίπεμπτος ὀρθᾶς, γωνία ἄρα ἁ ὑπὸ ΘΗ βέ ὀρθᾶς ἐστιν πλευρὰ ἄρα ἁ Η πλευρᾷ τᾷ ΗΘ ἐστὶν ἴσα. Πάλιν, ἐπεὶ γωνία ἁ ὑπὸ ΑΕ τοῦ ἐν τῷ κύκλῳ τετραπλεύρου τοῦ ΑΓΒ ἐκτός ἐστιν, ἐσσεῖται ἄρα γωνία ἁ ὑπὸ ΑΕ γωνίᾳ τᾷ ὑπὸ ΑΒΓ ἴσα· ἔστι δὲ γωνία ἁ ὑπὸ ΑΒΓ βγ ὀρθᾶς γωνία ἄρα ἁ ὑπὸ ΑΕ γωνίᾳ τᾷ ὑπὸ ΗΘ ἐστὶν ἴσα. Καὶ ἐπεὶ ἐν δυσὶ τριγώνοις τοῖς ΕΑ, ΘΗ δύο γωνίαι αἱ ὑπὸ ΕΑ, ΑΕ δυσὶ ταῖς ὑπὸ ΘΗ. ΗΘ ἑκατέρα ἑκατέρᾳ ἴσαι ἐντί, βάσις δὲ ἁ Α βάσει τᾷ Η ἴσα, πλευρὰ ἄρα ἁ ΕΑ πλευρᾷ τᾷ ΘΗ ἴσα ἐστίν. Κοινὰ ποτικείσθω ἁ ΑΗ εὐθεῖα ἄρα ἁ ΕΗ εὐθείᾳ τᾷ ΑΘ, τουτέστι τᾷ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου, ἴσα ἐστίν· δέδεικται οὖν τὸ προτεθέν.

ΠΟΡΙΣΜΑ

Ἐκ τούτου δὴ φανερὸν ὅτι εὐθεῖα ἁ Ε τᾷ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου ἐστὶν ἴσα. Ἐπεὶ γὰρ γωνία ἁ ὑπὸ ΑΕ γωνίᾳ τᾷ ὑπὸ ΗΘ ἴσα ἐστίν, ἐσσεῖται καὶ πλευρὰ ἁ Θ πλευρᾷ τᾷ Ε, τουτέστι τᾷ ΑΘ, ἴσα.

ΠΟΡΙΣΜΑ

Καὶ ἔτι δῆλον ὅτι εὐθεῖα ἁ ΑΓ ἄκρον καὶ μέσον τέτμαται κατὰ τὸ σαμεῖον τμᾶμα δὲ τὸ Ε τὸ μεῖζόν ἐστιν, ἐπεὶ ἁ Ε πλευρὰ τοῦ ἑξαγώνου, ἁ δὲ Γ πλευρὰ τοῦ δεκαγώνου τῶν ἐν τῷ κύκλῳ ἐγγραφομένων.