De lineis spiralibus (1)

Εἴ κα κατά τινος γραμμᾶς ἐνεχθῇ τι σαμεῖον ἰσοταχέως
αὐτὸ ἑαυτῷ φερόμενον, καὶ λαφθέωντι ἐν αὐτᾷ δύο γραμμαί, αἱ ἀπολαφθεῖσαι τὸν αὐτὸν ἑξοῦντι λόγον ποτʼ ἀλλάλας ὅνπερ οἱ χρόνοι, ἐν οἷς τὸ σαμεῖον τὰς γραμμὰς ἐπορεύθη.

Ἐνηνέχθω γάρ τι σαμεῖον κατὰ τᾶς ΑΒ γραμμᾶς
ἰσοταχέως, καὶ λελάφθωσαν ἐν αὐτᾷ δύο γραμμαὶ αἱ Γ, Ε, ἔστω δὲ ὁ χρόνος, ἐν ᾧ τὰν Γ γραμμὰν τὸ

σαμεῖον διεπορεύθη, ὁ ΖΗ, ἐν ᾧ δὲ τὰν Ε, ὁ ΗΘ. Δεωκτέον ὅτι τὸν αὐτὸν ἔχοντι λόγον ἁ Γ γραμμὰ ποτὶ τὰν Ε γραμμάν, ὃν ὁ χρόνος ὁ ΖΗ ποτὶ τὸν ΗΘ.

Συγκείσθωσαν γὰρ ἐκ τᾶν Γ, Ε γραμμᾶν αἱ Α, Β
γραμμαὶ καθ' ἁντινοῦν σύνθεσιν οὕτως, ὥστε ὑπερέχειν τὰν Α τᾶς Β, καὶ ὁσάκις μὲν σύγκειται ἁ Γ γραμμὰ ἐν τᾷ Α, τοσαυτάκις συγκείσθω ὁ χρόνος ὁ ΖΗ ἐν τῷ χρόνῳ τῷ ΛΗ, ὁσάκις δὲ σύγκειται ἁ Ε γραμμὰ ἐν τᾷ Β, τοσαυτάκις συγκείσθω ὁ ΘΗ χρόνος ἐν τῷ ΚΗ χρόνῳ.
Ἐπεὶ οὖν ὑπόκειται τὸ σαμεῖον ἰσοταχέως ἐνηνέχθαι κατὰ τᾶς ΑΒ γραμμᾶς, δῆλον ὡς, ἐν ὅσῳ χρόνῳ τὰν Γ ἐνήνεκται, ἐν τοσούτῳ καὶ ἑκάσταν ἐνήνεκται τᾶν ἰσᾶν τᾷ Γ · φανερὸν οὖν ὅτι καὶ συγκειμέναν τὰν Α γραμμὰν ἐν τοσούτῳ χρόνῳ ἐνήνεκται, ὅσος ἐστὶν ὁ
ΛΗ χρόνος, ἐπειδὴ τοσαυτάκις σύγκειται ἅ τε Γ γραμμὰ ἐν τᾷ Α γραμμᾷ καὶ ὁ ΖΗ χρόνος ἐν τῷ ΛΗ χρόνῳ. Διὰ ταὐτὰ δὴ καὶ τὰν Β γραμμὰν ἐν τοσούτῳ χρόνῳ τὸ σαμεῖον ἐνήνεκται, ὅσος ἐστὶν ὁ ΚΗ χρόνος. Ἐπεὶ οὖν μείζων ἐστὶν ἁ Α γραμμὰ τᾶς Β, δῆλον ὅτι ἐν
πλείονι χρόνῳ τὸ σαμεῖον τὰν Α διαπορεύεται γραμμὰν ἢ τὰν Β· ὥστε ὁ χρόνος ὁ ΛΗ μείζων ἐστὶ τοῦ ΚΗ χρόνου. Ὁμοίως δὲ δειχθήσεται, καὶ εἴ κα ἐκ τῶν χρόνων τῶν ΖΗ, ΗΘ συντεθέωντι χρόνοι καθʼ ἁντινοῦν σύνθεσιν, ὥστε ὑπερέχειν τὸν ἕτερον τοῦ ἑτέρου, ὅτι καὶ τᾶν ἐκ
τᾶν γραμμᾶν τᾶν Γ, Ε κατὰ τὰν αὐτὰν σύνθεσιν συντεθεισᾶν

ὑπερέξει ἁ ὁμόλογος τῷ ὑπερέχοντι χρόνῳ δῆλον οὖν ὅτι τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον ἁ Γ ποτὶ τὰν Ε, ὃν ὁ χρόνος ὁ ΖΗ ποτὶ τὸν χρόνον τὸν ΗΘ.