Harmonics (2.69-2.70)

ἑκάστου γένους ληπτέον ἐστὶ τὰς ὁδούς-δεῖ γὰρ ἕκαστον τῶν ἐν τῇ μουσικῇ καθʼ ὃ πεπέρασται κατὰ τοῦτο τιθέναι
τε καὶ τάττειν εἰς τὰς ἐπιστήμας, ᾗ δʼ ἄπειρόν ἐστιω ἐᾶν.
κατὰ μὲν οὖν τὰ μεγέθη τῶν διστημάτων καὶ τὰς τῶν φθόγγων τάσεις ἄπειρά πως φαίνεται εἶναι τὰ περὶ μέλος, κατὰ δὲ τὰς δυνάμεις καὶ κατὰ τὰ εἴδη καὶ κατὰ τὰς θέσεις
πεπερασμένα τε καὶ τεταγμένα. Εὐθέως οὖν ἀπὸ τοῦ
πυκνοῦ αἱ ὁδοὶ ἐπὶ τὸ βαρὺ τῇ τε δυνάμει καὶ τοῖς εἴδεσιν· ὡρισμέναι τʼ εἰσὶ καὶ δύο μόνον τὸν ἀριθμόν, ἡ μὲν γὰρ
κατὰ τόνον εἰς διάζευξιν ἄγει τὸ τοῦ συστήματος εἶδος, ἡ δὲ κατὰ θάτερον διάστημα, ὅ τι δήποτʼ ἔχει μέγεθος, εἰς συναφήν. δῆλον δʼ ἐκ τούτων ὅτι καὶ ἀπὸ τοῦ τόνου μία
τʼ ἔσται ἐφʼ ἑκάτερα ὁδὸς καὶ ἑνὸς εἴδους συστήματος
αἰτίαι αἱ συναμφότεραι ὁδοί, τῆς διαζεύξεως. Ὅτι δʼ ἄν [*]

τις μὴ κατὰ μίαν χρόαν ἑνὸς γένους ἐπιχειρῇ τὰς ἀπὸ τῶν
διαστημάτων ὁδοὺς ἐπισκο πεῖν ἀλλʼ ἅμα κατὰ πάσας ἁπάντων τῶν γενῶν εἰς ἀπειρίαν ἐμπεσεῖται, φανερὸν ἔκ τε τῶν εἰρημένων καὶ ἐξ αὐτοῦ τοῦ πράγματος.

Ἐν χρώματι δὲ καὶ ἁρμονίᾳ πᾶς φθόγγος πυκνοῦ μετέχει.
Πᾶς μὲν γὰρ φθόγγος ἐν τοῖς εἰρημένοις γένεσιν ἤτοι πυκνοῦ ζμέρος ὁρίζει ἢ τόνον ἤ τι τοιοῦτον οἷον τὸ

μέσης καὶ λιχανοῦ διάστημα. oἱ μὲν οὖν τὰ τοῦ πυκνοῦ μέρη ὁρίζοντες οὐδὲν δέονται λόγου, φανεροὶ γάρ εἰσι πυκνοῦ μετέχοντες· οἱ δὲ τὸν τόνον περιέχοντες ἐδείχθησαν

ἔμπροσθεν πυκνοῦ βαρύτατοι ὄντες ἀμφότεροι· τῶν δὲ τὸ λοιπὸν διάστημα περιεχόντων ὁ μὲν βαρύτερος ὀξύτατος ἐδείχθη πυκνοῦ ὁ δʼ ὀξύτερος βαρύτατος. Ὥστ’ ἐπειδὴ
τοσαῦτα μέν ἐστι μόνα τὰ ἀσύν θετα, ἕκαστον δʼ αὐτῶν ὑπὸ τοιούτων φθόγγων περιέχεται ὧν ἑκάτερος πυκνοῦ μετέχει,
δῆλον ὅτι πᾶς φθόγγος ἐν ἁρμονίᾳ καὶ χρώματι πυκνοῦ μετέχει.

Ὅτι δὲ τῶν ἐν πυκνῷ κειμένων φθόγγων τρεῖς εἰσι χῶραι, ῥᾴδιον συνιδεῖν, ἐπειδήπερ πρὸς πυκνῷ οὔτε πυκνὸν τίθεται οὔτε πυκνοῦ μέρος. δῆλον γὰρ ὅτι διὰ ταύτην τὴν

αἰτίαν οὐκ ἔσονται πλείους τῶν εἰρημένων χῶραι φθόγγων.

Ὅτι δὲ ἀπὸ μόνου τοῦ βαρυτάτου δύο ὁδοί εἰσιν ἐφʼ ἑκάτερα, ἀπὸ δὲ τῶν λοιπῶν μία ὁδὸς ἐφʼ ἑκάτερα, δεικτέον.
ἦν δὲ δεδειγμένον ἐν τοῖς ἔμπροσθεν, ὅτι ἀπὸ πυκνοῦ ἐπὶ τὸ βαρὺ δύο ὁδοί εἰσιν, ἡ μὲν ἐπὶ τὸν τόνον ἡ δʼ ἐπὶ τὸ
[*]

δίτονον. ἔστι δὲ τὸ ἀπὸ πυκνοῦ δύο ὁδοὺς εἶναι τὸ αὐτὸ τῷ ἀπὸ τοῦ βαρυτάτου τῶν ἐν τῷ πυκνῷ κειμένων δύο ὁδοὺς ἐπὶ τὸ βαρὺ εἶναι, οὗτος γάρ ἐστιν ὁ περαίνων τὸ πυκνόν· ἐδέδεικτο οὖν ὅτι ἀπὸ διτόνου ἐπὶ τὸ ὀξὺ δύο ὁδοί εἰσιν,

ἡ μὲν ἐπὶ τὸν τόνον ἡ δʼ ἐπὶ τὸ πυκνόν· ἔστι δὲ τὸ ἀπὸ διτόνου δύο ὁδοὺς εἶναι τὸ αὐτὸ τῷ ἀπὸ τοῦ ὀξυτέρου τῶν τὸ δίτονον ὁριζόντων δύο ὁδοὺς ἐπὶ τὸ ὀξὺ εἶναι, οὗτος γάρ ἐστιν ὁ ὁρίζων τὸ δίτονον ἐπὶ τὸ ὀξύ. δῆλον δʼ ὅτι