Scaife ATLAS

CTS Library / De Opificio Mundi

De Opificio Mundi (106-110)

urn:cts:greekLit:tlg0018.tlg001.1st1K-grc1:106-110
Refs {'start': {'reference': '106', 'human_reference': 'Section 106'}, 'end': {'reference': '110', 'human_reference': 'Section 110'}}
Ancestors []
Children []
prev
plain textXML
next

μὲν οὖν ἀπὸ μονάδος τρίτος ἐν διπλασίονι λόγῳ, τέτταρα, τετράγωνός ἐστιν, δὲ τέταρτος, ὀκτώ, κύβος, δὲ ἕβδομος,
τέσσαρα πρὸς τοῖς ἑξήκοντα, κύβος ὁμοῦ καὶ τετράγωνος· ὡς εἶναι τελεσφόρον ὄντως τὸν ἕβδομον ἀριθμόν, ἀμφοτέρας τὰς ἰσότητας καταγγέλλοντα τήν τ ἐπίπεδον διὰ τετραγώνου κατὰ τὴν πρὸς τριάδα συγγένειαν καὶ τὴν στερεὰν διὰ κύβου κατὰ τὴν πρὸς τετράδα οἰκειότητα· ἐκ τριάδος δὲ καὶ τετράδος ἑβδομάς.


37
Ἔστι δὲ οὐ τελεσφόρος μόνον, ἀλλὰ καὶ ὡς ἔπος εἰπεῖν ἁρμονικωτάτη καὶ τρόπον τινὰ πηγὴ τοῦ καλλίστου διαγράμματος, πάσας μὲν τὰς ἁρμονίας, τὴν διὰ τεττάρων, τὴν διὰ πέντε, τὴν διὰ πασῶν, πάσας δὲ τὰς ἀναλογίας, τὴν ἀριθμητικήν, τὴν γεωμετρικήν, ἔτι δὲ τὴν ἁρμονικὴν περιέχει. τὸ δὲ πλινθίον συνέστηκεν ἐκ τῶνδε
τῶν ἀριθμῶν, ἓξ ὀκτὼ ἐννέα δώδεκα· μὲν ὀκτὼ πρὸς ἓξ ἐν ἐπιτρίτῳ λόγῳ, καθ ὃν διὰ τεττάρων ἁρμονία ἐστίν· δὲ ἐννέα πρὸς ἓξ ἐν ἡμιολίῳ, καθ ὃν διὰ πέντε· δὲ δώδεκα πρὸς ἓξ ἐν διπλασίονι, καθ ὃν διὰ πασῶν.

ἔχει δὲ ὡς ἔλεγον καὶ τὰς ἀναλογίας πάσας· ἀριθμητικὴν μὲν ἐκ τῶν ἓξ καὶ ἐννέα καὶ δώδεκα· οἷς γὰρ ὑπερέχει μέσος
τοῦ πρώτου τρισίν, τούτοις ὑπερέχεται ὑπὸ τοῦ τελευταίου· γεωμετρικὴν δὲ ἐκ τῶν τεσσάρων· ὃν γὰρ λόγον ἔχει τὰ ὀκτὼ πρὸς ἕξ,

p. 27 Μ.
τοῦτον τὰ δώδεκα πρὸς ἐννέα· δὲ λόγος ἐπίτριτος· ἁρμονικὴν δὲ ἐκ τριῶν, τοῦ ἓξ καὶ ὀκτὼ καὶ δώδεκα.

ἁρμονικῆς δ ἀναλογίας διττὴ κρίσις· μία μέν, ὅταν ὃν λόγον ἔχει ἔσχατος πρὸς τὸν πρῶτον τοῦτον ἔχῃ ὑπεροχὴ
[*]

v.1.p.39
ὑπερέχει ἔσχατος τοῦ μέσου πρὸς τὴν ὑπεροχὴν ὑπερέχεται ὑπὸ τοῦ μέσου πρῶτος. ἐναργεστάτην δὲ πίστιν λάβοι τις ἂν ἐκ τῶν προκειμένων ἀριθμῶν, τοῦ ἓξ καὶ ὀκτὼ καὶ δώδεκα· μὲν γὰρ τελευταῖος τοῦ πρώτου διπλάσιος, δ ὑπεροχὴ πάλιν διπλασία· τὰ μὲν γὰρ δώδεκα
τῶν ὀκτὼ τέτταρσιν ὑπερέχει, τὰ δὲ ὀκτὼ τῶν ἓξ δυσί· τὰ δὲ τέσσαρα τῶν δυοῖν διπλάσια. ἑτέρα δὲ βάσανος τῆς ἁρμονικῆς

ἀναλογίας, ὅταν μέσος τῶν ἄκρων ἴσῳ μορίῳ καὶ ὑπερέχῃ καὶ ὑπερέχηται· γὰρ ὄγδοος μέσος ὢν ὑπερέχει μὲν τοῦ πρώτου τρίτῳ μορίῳ· ὑφαιρεθέντων γὰρ τῶν ἕξ, τὰ λοιπὰ δύο τρίτον ἐστὶ τοῦ πρώτου·
ὑπερέχεται δ ὑπὸ τοῦ τελευταίου τῷ ἴσῳ· εἰ γὰρ ὑφαιρεθείη τῶν δώδεκα τὰ ὀκτώ, τὰ λοιπὰ τέσσαρα γίνεται τοῦ τελευταίου τρίτον.

Tokens

1 w 1
μὲν 1 w 4
οὖν 1 w 7
ἀπὸ 1 w 10
μονάδος 1 w 17
τρίτος 1 w 23
ἐν 1 w 25
διπλασίονι 1 w 35
λόγῳ 1 w 39
τέτταρα 1 w 47
τετράγωνός 1 w 58
ἐστιν 1 w 63
2 w 65
δὲ 1 w 67
τέταρτος 1 w 75
ὀκτώ 1 w 80
κύβος 1 w 86
3 w 88
δὲ 2 w 90
ἕβδομος 1 w 97
τέσσαρα 1 w 105
πρὸς 1 w 109
τοῖς 1 w 113
ἑξήκοντα 1 w 121
κύβος 2 w 127
ὁμοῦ 1 w 131
καὶ 1 w 134
τετράγωνος 1 w 144
ὡς 1 w 147
εἶναι 1 w 152
τελεσφόρον 1 w 162
ὄντως 1 w 167
τὸν 1 w 170
ἕβδομον 1 w 177
ἀριθμόν 1 w 184
ἀμφοτέρας 1 w 194
τὰς 1 w 197
ἰσότητας 1 w 205
καταγγέλλοντα 1 w 218
τήν 1 w 221
τ 28 w 222
ἐπίπεδον 1 w 231
διὰ 1 w 234
τετραγώνου 1 w 244
κατὰ 1 w 248
τὴν 1 w 251
πρὸς 2 w 255
τριάδα 1 w 261
συγγένειαν 1 w 271
καὶ 2 w 274
τὴν 2 w 277
στερεὰν 1 w 284
διὰ 2 w 287
κύβου 1 w 292
κατὰ 2 w 296
τὴν 3 w 299
πρὸς 3 w 303
τετράδα 1 w 310
οἰκειότητα 1 w 320
ἐκ 1 w 323
τριάδος 1 w 330
δὲ 3 w 332
καὶ 3 w 335
τετράδος 1 w 343
ἑβδομάς 1 w 350
Ἔστι 1 w 355
δὲ 4 w 357
οὐ 1 w 359
τελεσφόρος 1 w 369
μόνον 1 w 374
ἀλλὰ 1 w 379
καὶ 4 w 382
ὡς 2 w 384
ἔπος 1 w 388
εἰπεῖν 1 w 394
ἁρμονικωτάτη 1 w 406
καὶ 5 w 409
τρόπον 1 w 415
τινὰ 1 w 419
πηγὴ 1 w 423
τοῦ 1 w 426
καλλίστου 1 w 435
διαγράμματος 1 w 447
1 w 449
πάσας 1 w 454
μὲν 2 w 457
τὰς 2 w 460
ἁρμονίας 1 w 468
τὴν 4 w 472
διὰ 3 w 475
τεττάρων 1 w 483
τὴν 5 w 487
διὰ 4 w 490
πέντε 1 w 495
τὴν 6 w 499
διὰ 5 w 502
πασῶν 1 w 507
πάσας 2 w 513
δὲ 5 w 515
τὰς 3 w 518
ἀναλογίας 1 w 527
τὴν 7 w 531
ἀριθμητικήν 1 w 542
τὴν 8 w 546
γεωμετρικήν 1 w 557
ἔτι 1 w 561
δὲ 6 w 563
τὴν 9 w 566
ἁρμονικὴν 1 w 575
περιέχει 1 w 583
τὸ 2 w 586
δὲ 7 w 588
πλινθίον 1 w 596
συνέστηκεν 1 w 606
ἐκ 2 w 608
τῶνδε 1 w 613
τῶν 2 w 616
ἀριθμῶν 1 w 623
ἓξ 1 w 626
ὀκτὼ 1 w 630
ἐννέα 1 w 635
δώδεκα 1 w 641
5 w 643
μὲν 3 w 646
ὀκτὼ 2 w 650
πρὸς 4 w 654
ἓξ 2 w 656
ἐν 3 w 658
ἐπιτρίτῳ 1 w 666
λόγῳ 2 w 670
καθ 1 w 674
ὃν 1 w 677
1 w 678
διὰ 6 w 681
τεττάρων 2 w 689
ἁρμονία 2 w 696
ἐστίν 1 w 701
6 w 703
δὲ 8 w 705
ἐννέα 2 w 710
πρὸς 5 w 714
ἓξ 3 w 716
ἐν 5 w 718
ἡμιολίῳ 1 w 725
καθ 2 w 729
ὃν 2 w 732
3 w 733
διὰ 7 w 736
πέντε 2 w 741
7 w 743
δὲ 9 w 745
δώδεκα 2 w 751
πρὸς 6 w 755
ἓξ 4 w 757
ἐν 6 w 759
διπλασίονι 2 w 769
καθ 3 w 773
ὃν 3 w 776
4 w 777
διὰ 8 w 780
πασῶν 2 w 785
ἔχει 1 w 790
δὲ 10 w 792
ὡς 3 w 794
ἔλεγον 1 w 800
καὶ 6 w 803
τὰς 4 w 806
ἀναλογίας 2 w 815
πάσας 3 w 820
ἀριθμητικὴν 1 w 832
μὲν 4 w 835
ἐκ 3 w 837
τῶν 3 w 840
ἓξ 5 w 842
καὶ 7 w 845
ἐννέα 3 w 850
καὶ 8 w 853
δώδεκα 3 w 859
οἷς 1 w 863
γὰρ 1 w 866
ὑπερέχει 1 w 874
8 w 875
μέσος 1 w 880
τοῦ 2 w 883
πρώτου 1 w 889
τρισίν 1 w 895
τούτοις 1 w 903
ὑπερέχεται 1 w 913
ὑπὸ 1 w 916
τοῦ 3 w 919
τελευταίου 1 w 929
γεωμετρικὴν 1 w 941
δὲ 11 w 943
ἐκ 4 w 945
τῶν 4 w 948
τεσσάρων 1 w 956
ὃν 4 w 959
γὰρ 2 w 962
λόγον 1 w 967
ἔχει 2 w 971
τὰ 7 w 973
ὀκτὼ 3 w 977
πρὸς 7 w 981
ἕξ 1 w 983
τοῦτον 1 w 990
τὰ 8 w 992
δώδεκα 4 w 998
πρὸς 8 w 1002
ἐννέα 4 w 1007
9 w 1009
δὲ 12 w 1011
λόγος 1 w 1016
ἐπίτριτος 1 w 1025
ἁρμονικὴν 2 w 1035
δὲ 13 w 1037
ἐκ 5 w 1039
τριῶν 1 w 1044
τοῦ 5 w 1048
ἓξ 6 w 1050
καὶ 9 w 1053
ὀκτὼ 4 w 1057
καὶ 10 w 1060
δώδεκα 5 w 1066
ἁρμονικῆς 1 w 1076
δ 45 w 1077
ἀναλογίας 3 w 1087
διττὴ 1 w 1092
κρίσις 1 w 1098
μία 1 w 1102
μέν 1 w 1105
ὅταν 1 w 1110
ὃν 5 w 1112
λόγον 2 w 1117
ἔχει 3 w 1121
10 w 1122
ἔσχατος 1 w 1129
πρὸς 9 w 1133
τὸν 2 w 1136
πρῶτον 1 w 1142
τοῦτον 2 w 1148
ἔχῃ 1 w 1151
5 w 1152
ὑπεροχὴ 1 w 1159
2 1 w 1160
τεσσάρων 2 w 1168
M 1 w 1169
τὸν 3 w 1172
τὸ 5 w 1175
P 1 w 1176
διπλασιάζει 1 w 1187
ABPG 1 w 1191
4 1 w 1192
καὶ 11 w 1195
om 1 w 1197
M 2 w 1199
5 1 w 1200
τέτταρα 2 w 1207
add 1 w 1210
Wendle 1 w 1217
6 1 w 1219
τοῖς 2 w 1223
ἑξήκοντα 2 w 1231
MF2 1 w 1234
ἑξήκοντα 3 w 1243
om 2 w 1246
τοῖς 3 w 1251
G 2 w 1253
τοῖς 4 w 1258
ἑπτὰ 1 w 1262
F1HP2 1 w 1267
τὰ 10 w 1270
τρία 1 w 1274
ABP1 1 w 1278
7 1 w 1279
8 1 w 1281
καταγγέλλοντα 2 w 1294
ἀποτελοῦσιν 1 w 1306
ἑπτὰ 2 w 1310
M 4 w 1311
8 2 w 1312
πρὸς 10 w 1316
τριάδα 2 w 1322
M 5 w 1323
τριάδος 2 w 1331
ceteri 1 w 1337
10 1 w 1339
δὲ 14 w 1341
om 3 w 1343
ABP1 2 w 1348
11 1 w 1350
δ 51 w 1351
M 6 w 1353
οὐ 2 w 1355
μόνον 2 w 1360
τελεσφόρος 2 w 1370
M 7 w 1371
12 1 w 1373
7 w 1374
MF2 2 w 1377
1 w 1379
ABPF1GL2 1 w 1387
1 w 1389
HL1 1 w 1392
13 1 w 1394
τεσσάρων 3 w 1402
Β 1 w 1403
16 1 w 1405
ἕκτου 1 w 1410
ἐνάτου 1 w 1416
δωδεκάτου 1 w 1425
G 4 w 1426
11 w 1427
μὲν 5 w 1430
οὑν 1 w 1433
MF 3 w 1435
17 1 w 1437
καθ 4 w 1440
ὃν 6 w 1443
scripsi 1 w 1450
καθ 5 w 1454
ἢν 1 w 1457
codd 1 w 1461
τεσσάρων 4 w 1470
MB 1 w 1472
ἓξ 7 w 1474
ς 56 w 1476
MABP 1 w 1480
τὰ 12 w 1483
ς 57 w 1484
F 6 w 1485
18 1 w 1487
καθ 6 w 1490
ἣν 1 w 1493
codd 2 w 1497
18 2 w 1500
19 1 w 1503
καθ 7 w 1506
ἣν 2 w 1509
codd 3 w 1513
19 2 w 1516
6 w 1517
12 w 1519
ABP 6 w 1522
διὰ 9 w 1525
πασῶν 3 w 1530
ς 58 w 1531
M 12 w 1532
ἔχει 4 w 1536
εἰ 2 w 1539
M 13 w 1540
ἁπάσας 1 w 1546
Η 1 w 1547
20 1 w 1549
ἐκ 6 w 1551
τῶν 5 w 1554
ἐν 10 w 1557
ταῖς 1 w 1561
ABP 7 w 1564
οἷς 2 w 1567
M 14 w 1568
ὡς 4 w 1571
ceteri 2 w 1577
περιέχει 2 w 1585
M 15 w 1586
21 1 w 1588
τούτοις 2 w 1595
ὑπερέχεται 2 w 1605
Μ 1 w 1606
τούτοις 3 w 1614
om 4 w 1616
ceteri 3 w 1623
γεωμετρικὴ 2 w 1633
P 10 w 1634
22 1 w 1636
ἐκ 7 w 1638
τῶν 6 w 1641
τεσσάρων 5 w 1649
Markland 1 w 1657
Mang 1 w 1662
7 w 1666
τῶν 7 w 1669
διὰ 10 w 1672
τεσσάρων 6 w 1680
codd 4 w 1684
πρὸς 11 w 1689
ἐξ 1 w 1691
M 18 w 1692
πρὸς 12 w 1697
τὰ 13 w 1699
ἓξ 8 w 1701
ceteri 4 w 1707
23 1 w 1709
πρὸς 13 w 1713
τὰ 14 w 1715
ἐννέα 5 w 1720
ABPL 1 w 1724
πρὸς 14 w 1729
τὸν 4 w 1732
ἐννέα 6 w 1737
v 1 w 1738
δ 56 w 1739
M 19 w 1741
23 2 w 1743
24 1 w 1746
τοῦ 7 w 1749
πρὸς 15 w 1753
ἓξ 9 w 1755
M 20 w 1756
24 2 w 1758
μίαν 1 w 1762
Β 2 w 1763
25 1 w 1765
13 w 1766
ἔσχατος 2 w 1773
τοῦ 8 w 1776
μέσου 1 w 1781
MABPH 1 w 1786
τοῦ 9 w 1790
μέσου 2 w 1795
eras 1 w 1799
in 1 w 1801
FG 1 w 1803
omisi 1 w 1809
Gelenium 1 w 1817
secutus 1 w 1824
τοῦτον 3 w 1830
τὸν 5 w 1834
αὐτὸν 1 w 1839
Β 3 w 1840
ἔχη 1 w 1843
F 8 w 1844
ἔχει 5 w 1849
ceteri 5 w 1855
8 w 1856
ὑπεροχὴ 2 w 1863
om 6 w 1865
ABP 10 w 1869
1 w 1870
ὑπερέχει 2 w 1878
14 w 1879
ἔσχατος 3 w 1886
τοῦ 11 w 1889
μέσου 3 w 1894
πρὸς 16 w 1898
τὴν 10 w 1901
ὑπεροχὴν 1 w 1909
2 w 1910
ὑπερέχεται 3 w 1920
ὑπὸ 2 w 1923
τοῦ 12 w 1926
μέσου 4 w 1931
15 w 1932
πρῶτος 1 w 1938
ἐναργεστάτην 1 w 1951
δὲ 15 w 1953
πίστιν 1 w 1959
λάβοι 1 w 1964
τις 1 w 1967
ἂν 1 w 1969
ἐκ 8 w 1971
τῶν 8 w 1974
προκειμένων 1 w 1985
ἀριθμῶν 2 w 1992
τοῦ 13 w 1996
ἓξ 10 w 1998
καὶ 12 w 2001
ὀκτὼ 5 w 2005
καὶ 13 w 2008
δώδεκα 6 w 2014
16 w 2016
μὲν 6 w 2019
γὰρ 3 w 2022
τελευταῖος 1 w 2032
τοῦ 14 w 2035
πρώτου 2 w 2041
διπλάσιος 1 w 2050
9 w 2052
δ 61 w 2053
ὑπεροχὴ 4 w 2061
πάλιν 1 w 2066
διπλασία 1 w 2074
τὰ 15 w 2077
μὲν 7 w 2080
γὰρ 4 w 2083
δώδεκα 7 w 2089
τῶν 9 w 2092
ὀκτὼ 6 w 2096
τέτταρσιν 1 w 2105
ὑπερέχει 3 w 2113
τὰ 16 w 2116
δὲ 16 w 2118
ὀκτὼ 7 w 2122
τῶν 10 w 2125
ἓξ 11 w 2127
δυσί 1 w 2131
τὰ 17 w 2134
δὲ 17 w 2136
τέσσαρα 2 w 2143
τῶν 11 w 2146
δυοῖν 1 w 2151
διπλάσια 1 w 2159
ἑτέρα 1 w 2165
δὲ 18 w 2167
βάσανος 1 w 2174
τῆς 1 w 2177
ἁρμονικῆς 2 w 2186
ἀναλογίας 4 w 2195
ὅταν 2 w 2200
17 w 2201
μέσος 2 w 2206
τῶν 12 w 2209
ἄκρων 1 w 2214
ἴσῳ 1 w 2217
μορίῳ 1 w 2222
καὶ 14 w 2225
ὑπερέχῃ 1 w 2232
καὶ 15 w 2235
ὑπερέχηται 1 w 2245
18 w 2247
γὰρ 5 w 2250
ὄγδοος 1 w 2256
μέσος 3 w 2261
ὢν 1 w 2263
ὑπερέχει 4 w 2271
μὲν 8 w 2274
τοῦ 15 w 2277
πρώτου 3 w 2283
τρίτῳ 2 w 2288
μορίῳ 2 w 2293
ὑφαιρεθέντων 1 w 2306
γὰρ 6 w 2309
τῶν 13 w 2312
ἕξ 2 w 2314
τὰ 18 w 2317
λοιπὰ 1 w 2322
δύο 1 w 2325
τρίτον 1 w 2331
ἐστὶ 1 w 2335
τοῦ 16 w 2338
πρώτου 4 w 2344
ὑπερέχεται 4 w 2355
δ 73 w 2356
ὑπὸ 3 w 2360
τοῦ 17 w 2363
τελευταίου 2 w 2373
τῷ 1 w 2375
ἴσῳ 2 w 2378
εἰ 3 w 2381
γὰρ 7 w 2384
ὑφαιρεθείη 1 w 2394
τῶν 14 w 2397
δώδεκα 8 w 2403
τὰ 19 w 2405
ὀκτώ 2 w 2409
τὰ 20 w 2412
λοιπὰ 2 w 2417
τέσσαρα 3 w 2424
γίνεται 1 w 2431
τοῦ 18 w 2434
τελευταίου 3 w 2444
τρίτον 2 w 2450