Scholia in Euclidis catoptrica (scholia vetera) (11-15)

11 Σχόλιον. ἐπειδὴ γάρ, ὅση ἐστὶν ἡ ἀπὸ τοῦ ὄμματος ἐπὶ τὸ ἔνοπτρον εὐθεῖα, τοσαύτη ἐστὶ καὶ ἡ ἀντανακλωμένη ἀπὸ τοῦ ἐνόπτρου πρὸς ἴσας γωνίας αὐτῇ διὰ τὸν ὅρον, ἔστι διὰ τοῦτο ἡ μὲν ΒΓ τῇ Γ ἴση, ἡ δὲ ΒΑ τῇ ΑΕ, ἐπειδὴ τὸ ὄμμα πρὸς τῷ Β
ἐστιν. ἄνισος δὲ ἡ ΒΓ τῇ ΒΑ ἄνισος ἄρα καὶ ἡ Γ τῇ ΑΕ. οὐκ ἄρα συμπεσοῦνται διὰ τοῦτο διὰ τὸ τὴν μὲν μείζονα εἶναι, τὴν δὲ ἐλάττονα. οὐδὲ ἐξέσται αὐξῆσαι τὴν Γ καὶ ἀγαγεῖν ἕως τοῦ Ε· τοσαύτη γὰρ εἶναι ὀφείλει, ὅσηπερ καὶ ἡ ΒΓ εὐθεῖα ἡ ἀκτίς, τοσαύτης
δὲ αὐτῆς ὑποκειμένης πρὸς τὴν ΑΕ οὐ γενήσεται σύμπτωσις.

12. Ἴσαι ἄρα εἰσίν p. 294, 17 κατὰ τὸ ἐφαρμόζεσθαι τὰ ἡμικύκλια.

13. Μείζων ἡ Ζ γωνία p. 296, 4 ἐπειδὴ παντὸς κύκλου τμήματος αἱ γωνίαι ἴσαι εἰσίν· οἷον τμήματος τοῦ ΑΒΓ ἐὰν τέμνωμεν δίχα τὴν ΑΒ οἷον κατὰ τὸ Ν καὶ πρὸς ὀρθὰς ἀναστήσωμεν
τὴν ΝΓ, ἐφαρμόζουσιν αἱ πρὸς τοῖς Ζ, Β γωνίαι, καὶ κατὰ τὸν τῶν ἐφαρμοζόντων λόγον καὶ ἴσαι ἔσονται, ἐπειδὴ καὶ τὸ ΓΝΒ ἐφαρμόζει τῷ ΓΝΑ. διὰ τὰ αὐτὰ καὶ αἱ τοῦ ΓΒ
τμήματος γωνίαι ἴσαι εἰσίν. ἐπεὶ οὖν μείζων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΖΒΓ γωνία τῆς ὑπὸ ΓΒΡ, μείζων καὶ ἡ Ζ τῆς Θ· ἴση γὰρ ἡ μὲν Ζ τῇ ὑπὸ ΖΒΓ γωνίᾳ, ἡ δὲ ὑπὸ ΓΒΡ τῇ πρὸς τῷ Γ. καὶ ταῦτα μὲν ὡς ἐπὶ τοῦ ῥητοῦ. ὅτι δὲ καθόλου ἡ τοῦ μείζονος τμήματος γωνία οἷον ὡς
ἡ ὑπὸ ΓΖ μείζων ἐστὶν τῆς τοῦ ἐλάττονος τμήματος γωνίας τῆς ὑπὸ ΕΖΘ, δείξωμεν οὕτως· ἔστω γὰρ ἡ ὑποκειμένη καταγραφὴ κέντρου ὄντος τοῦ Η. ἐπεὶ οὖν αἱ τῶν ἡμικυκλίων γωνίαι ἴσαι εἰσὶν
κατὰ τὸν τῶν ἐφαρμοζόντων λόγον, ἴση ἡ ὑπὸ ΚΘ τῇ ὑπὸ ΛΖΘ, ὧν ἡ ὑπὸ ΚΓ ἐλάττων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΛΖΕ· ἐπὶ ἐλάττονος γὰρ περιφερείας
βέβηκεν τῆς ΓΚ· λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΘ μείζων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΕΖΘ. ὅπου γίνεται γὰρ τὸ ἔλαττον, ἐκεῖ τὸ μεῖζον. ο). ἔστι δὲ αὐτόθεν [*] [*]

14. Τοῦ γὰρ μείζονος τμήματος ἡ γωνία. καὶ πάλιν ἐὰν τὴν ἀπὸ τοῦ κέντρου ἐπιζεύξωμεν ἐπὶ τὰ Γ, Α, κατὰ τὰ αὐτὰ ἔσται.

15. Αἱ ἄρα Ζ, p. 296, 51) ἐὰν γὰρ ἀπὸ τοῦ κέντρου ἐπὶ τὸ Α καὶ Γ ἐπιζεύξωμεν, αἱ γινόμεναι πρὸς τῷ Α τῶν ἡμικυκλίων δύο γωνίαι, τουτέστιν αἱ γ ἅμα αἱ Η, Λ, Ζ, ταῖς γινομέναις πρὸς τῷ Γ τῶν ἡμικυκλίων δύο γωνίαις, τουτέστιν ταῖς τρισὶν ἅμα
ταῖς Κ, Μ, Θ, ἴσαι εἰσίν· ὧν αἱ Η, Ζ μείζονες ἐδείχθησαν τῶν Κ, Θ· λοιπὴ ἄρα ἡ Λ λοιπῆς τῆς Μ ἐλάττων ἐστίν· ὅπου γὰρ τὸ μεῖζον, ἐκεῖ τὸ ἔλαττον.