Scholia in opticorum recensionem Theonis (scholia vetera) (82-87)

82. Ἔστι τις τόπος, οὗ τοῦ ὄμματος μεθισταμένου, τῶν δὲ ὁρωμένων ἴσων μενόντων καὶ πρὸς ὀρθὰς τῷ [*] [*]

ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ, ποτὲ μὲν ἴσα, ποτὲ δὲ ἄνισα φαίνεται.

ἔστω ἴσα μεγέθη τὰ ΑΒ, Γ πρὸς ὀρθὰς ὄντα τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ. λέγω, ὅτι ἔστι τις τόπος, οὗ τοῦ ὄμματος μεθισταμένου, τοῦ δὲ ὁρωμένου μένοντος, τὰ
ΑΒ, Γ ποτὲ μὲν ἴσα, ποτὲ δὲ ἄνισα φαίνεται. ἐπεζεύχθω ἡ Β καὶ τετμήσθω δίχα κατὰ τὸ Ε, καὶ ἤχθω πρὸς ὀρθὰς αὐτῇ ἡ ΕΖ. λέγω, ὅτι, ἐὰν ἐπὶ τῆς ΕΖ τὸ ὄμμα τεθῇ, τὰ ΑΒ, Γ ἴσα φαίνεται. κείσθω γὰρ ἐπὶ τοῦ Ζ, καὶ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΒΖ, ΖΑ,
ΖΓ, ΖΔ. ἴση ἄρα ἡ ΒΖ τῇ Ζ. ἀλλὰ καὶ ἡ ΑΒ τῇ Γ ὑπόκειται ἴση· δύο δὴ αἱ ΑΒ, ΒΖ δυσὶ ταῖς Γ, Ζ ἴσαι εἰσίν· καὶ γωνίας ὀρθὰς περιέχουσιν· βάσις ἄρα ἡ ΑΖ βάσει τῇ ΖΓ ἴση ἐστίν. ὥστε καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΖ τῇ ὑπὸ ΖΓ ἴση. ὥστε τὰ ΑΒ,
ΓΔ ἴσα ὀφθήσεται. μετακείσθω δὴ τὸ ὄμμα καὶ ἔστω τὸ Η. λέγω, ὅτι ἄνισα ὀφθήσεται. προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΗΒ, ΗΑ, ΗΓ, Η. μείζων ἄρα ἡ ΒΗ τῆς Η. ἀφῃρήσθω οὖν ἀπὸ τῆς ΗΒ τῇ Η ἴση ἡ ΒΘ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΘ. ἴση ἄρα γωνία ἡ ὑπὸ
ΒΘΑ τῇ ὑπὸ ΓΗ. ἀλλʼ ἡ ὑπὸ ΒΘΑ τῆς ὑπὸ ΑΗΘ μείζων· ἐκτὸς γάρ· καὶ ἡ ὑπὸ ΓΗ ἄρα τῆς ὑπὸ ΒΗΑ μείζων. ὥστε καὶ ἡ Γ μείζων τῆς ΑΒ φανήσεται.

Ad prop. XLIII.

83. Ἐφάψεται δή p. 228, 24 ἐὰν γὰρ τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς μέσης, καὶ διὰ τοῦτο διὰ τὸ λδ τοῦ γʹ τῆς Ἐπιπέδου ἐφάπτεται.

[*]

84. Ἄλλως τὸ ν.

ἔστω ὁρώμενον μέγεθος τὸ Κ, εὐθεῖα δὲ πλαγία ἔστω ἡ ΒΓ, καὶ προσεκβεβλήσθω ἐπʼ εὐθείας τῇ Κ ἡ ΚΓ καὶ συμβαλλέτω τῇ ΒΓ κατὰ τὸ Γ, καὶ εἰλήφθω
τῶν Γ ΓΚ μέση ἀνάλογον ἡ ΓΖ, καὶ ἔστω τὸ ὄμμα τὸ Ζ, καὶ μετακεκινήσθω τὸ ὄμμα τὸ Ζ καὶ ἔστω ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας τὸ Β. λέγω, ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν Ζ, Β ὁρώμενον ἄνισον
φανήσεται. ἐπεζεύχθωσαν εὐθεῖαι αἱ ΚΖ, Ζ, ΚΒ, Β, καὶ γεγράφθω περὶ τὸ ΚΖ τρίγωνον τμῆμα κύκλου τὸ ΚΖ, καὶ κείσθω τῇ ὑπὸ
τῶν ΓΒ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ τῶν ΓΚΗ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ Η. ἐν κύκλῳ ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΚΗΒ. ἐπεὶ οὖν μείζων ἡ ὑπὸ ΚΖ τῆς ὑπὸ ΚΗ· ἐπιζευχθείσης γὰρ τῆς ΟΚ φανερὸν τοῦτο· ἴση δὲ ἡ ὑπὸ ΚΗ τῇ ὑπὸ ΚΒ, ἐπειδήπερ ἐν τῷ αὐτῷ τμήματί ἐστιν, καὶ ἡ
ὑπὸ ΚΖ ἄρα τῆς ὑπὸ ΚΒ μείζων ἐστίν.

ἔχομεν γάρ· τῶν ἐν τοῖς κύκλοις τετραπλεύρων αἱ ἀπεναντίον γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν· ὥστε καὶ τὸ ἀντίστροφον· ἐὰν τετραπλεύρου αἱ ἀπεναντίον δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι ὦσιν, ἐν κύκλῳ ἐστὶ τὸ τετράπλευρον, ὡς
δείξομεν. ἐπεὶ οὖν ἡ ὑπὸ ΓΚΗ ἴση τῇ ὑπὸ ΓΒ, [*] [*]

κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΗΚ· αἱ ὑπὸ ΓΚΗ ἄρα ΗΚ ταῖς ὑπὸ ΗΚ, ΗΒ ἴσαι. ἀλλʼ αἱ ῦπὸ ΓΚΗ, ΒΚ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι· καὶ αἰ ὑπὸ ΗΚ, HΒ ἄρα δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. ὥστε καὶ αἱ λοιπαί. ὅτι δέ, ἐὰν τετραπλεύρου αἱ ἀπεναντίον δυσὶν
ὀρθαῖς ἴσαι ὦσιν, ἐν κύκλῳ ἐστὶ τὸ τετράπλευρον, δέδεικται ἐν τῷ ὑπομνήματι.

Ad prop. XLV.

S5. Τὸ αὐτὸ τῷ νβ.

ἔστι τις τόπος κοινός, ἐν ᾧ τοῦ ὄμματος τεθέντος
τὰ ἴσα μεγέθη ἄνισα φαίνεται. ἔστω ἴσα μεγέθη τὰ ΑΒ, ΒΓ. καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Β πρὸς ὀρθὰς ἡ Β καὶ ἐκβεβλήσθω. λέγω, ὅτι καθʼ ὁποιονοῦν τῆς Β μέρος τεθῇ τὸ ὄμμα, τὰ ΑΒ, ΒΓ ἴσα φαίνεται. καί ἐστι αὐτόθεν δῆλον. μετακείσθω
δὴ τὸ ὄμμα καὶ ἔστω τὸ Ε. λέγω, ὅτι ἀπὸ τοῦ Ε ἄνισα φαίνεται. προσπιπτέτωσαν γὰρ ἀκτῖνες αἱ ΑΕ, ΕΒ, ΕΓ. καὶ γεγράφθω περὶ τὸ ΑΓΕ τρίγωνον κύκλος, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΕΒ ἐπὶ τὸ Η. ἐπεὶ οὖν ἴση ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ, μείζων δὲ ἡ ΓΕ τῆς ΑΕ, μείζων ἄρα καὶ
γωνία ἡ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ τῆς ὑπὸ τῶν ΒΕ, ΕΓ. μείζων ἄρα φανήσεται ἡ ΑΒ τῆς ΒΓ. ὡσαύτως δέ, κἂν μὲν ἐπὶ τῆς ΒΖ τεθῇ, ἴσα φαίνεται, ἐὰν δὲ ἐπὶ τῆς ΒΗ, ἄνισα. ὁμοίως δὲ καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων τοῦ κύκλου μερῶν χωρὶς τῆς πρὸς ὀρθὰς ἐὰν τεθῇ τὸ ὄμμα,
ἄνισα φαίνεται.

[*][*]

86. Ὅτι δὲ δυνατὸν τέμνεσθαι τὸ ἡμικύκλιον ὑπὸ τοῦ μείζονος τμήματος καὶ ποῦ, οὕτως ἔσται δῆλον· ἔστωσαν ἴσαι αἱ ΑΒ, ΒΓ, καὶ περιγεγράφθω ἡμικύκλιον περὶ τὸ ΑΒ τὸ ΑΘΒ, καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΒΓ
καὶ τῷ Β σημείῳ γωνία ὀξεῖα ἡ ὑπὸ ΓΒ, πρὸς δὲ τῷ Γ ἴση τῇ Β ἡ Γ. καὶ συμπιπτέτω κατὰ τὸ , καὶ ἀπὸ τοῦ ἐπὶ τὸ κέντρον τοῦ ΑΘΒ, ὅ ἐστι τὸ Ε, ἐπεζεύχθω ἡ Ε, καὶ κείσθω τῇ ΒΖ περιφερείᾳ ἴση ἡ ΖΘ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ Θ, ΘΕ. ἐπεὶ οὖν ἡ ΘΕ
τῇ ΕΒ ἴση, κοινὴ δὲ ἡ Ε, καὶ γωνίας ἴσας περιέχουσιν, ἐπεὶ καὶ ἡ ΘΖ περιφέρεια τῇ ΖΒ ἐστιν ἴση, ἴση ἄρα ἡ Θ τῇ Β. ἡ δὲ Β τῇ Γ· ὥστε ὁ κέντρῳ τῷ , διαστήματι δὲ τῷ Θ γραφόμενος κύκλος τεμεῖ τὸ ἡμικύκλιον καὶ διὰ τοῦ Β ἐλεύσεται.

Ad prop. XLIX.

87, Ἐκ τοῦ θεωρήματος φανερώτερον γίνεται τῷ συμπίπτειν αὐτά.

[*][*][*]