Scholia in Euclidis optica (scholia vetera) (16-20)

16. Ἡ ΑΡ ἄρα ἐπὶ τὴν ΡΞ p. 10, 20 διὰ τὸ δειχθὲν παρὰ τοῦ Πάππου λημμάτιον ἐν τοῖς εἰς τὰ Ὀπτικὰ Εὐκλείδου· ἐὰν ἀπὸ μετεώρου σημείου ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον κάθετος ἀχθῇ, ἀπὸ δὲ τοῦ σημείου, καθʼ ὃ προσβάλλει τῷ ἐπιπέδῳ ἡ κάθετος, ἀχθῇ
πάλιν κάθετος πρός τινα εὐθεῖαν ἐν τῷ ἐπιπέδῳ οὖσαν, καὶ ἡ ἀγομένη ἀπὸ τοῦ μετεώρου σημείου ἐπʼ αὐτὴν κάθετος ἔσται cfr. Pappus VI, 81.

17. Μείζων ἄρα γωνία p. 10, 24 ἐπεὶ ὀρθογώνιά ἐστιν, αἱ δὲ βάσεις ἴσαι, αἱ δὲ πλευραὶ ἄνισοι.

18. Δεικτέον, πῶς μείζων ἡ ὑπὸ ΞΑΡ τῆς ὑπὸ ΠΑΝ. ἐπεὶ ὀρθογώνιά ἐστι τὰ τρίγωνα, ἡ δὲ ΠΑ τῆς ΑΡ μείζων· τριγώνου γὰρ τοῦ ΠΑΡ μείζων γωνία [*]

ὅτι δὲ ἡ ὑπὸ ΠΡΑ γωνία ἀμβλεῖά ἐστιν, ἐκδηλότερον οὕτω δειχθήσεται· ἐπεὶ τὸ ΑΒΡ τρίγωνον ὀρθογώνιόν
ἐστιν· ὀρθὴ γὰρ ἡ πρὸς τῷ Β· ἐκτὸς δὲ αὐτοῦ ἡ ὑπὸ ΠΡΑ, μείζων ἔσται τῆς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον· ἀμβλεῖα ἄρα. ἀλλὰ καὶ τριγώνου τοῦ ΑΞΝ ἡ πρὸς τῷ Ξ γωνία μείζων τῆς πρὸς τῷ Ν· ὥστε καὶ ἡ ὑποτείνουσα τὴν μείζονα γωνίαν μείζων. ἡ ἄρα ΑΝ μείζων τῆς ΑΞ.

19. Πρὸς ὀρθὰς γωνίας ἴσαι p. 12, 18 εἰ γάρ τις εἴποι, ὡς ἡ ΗΓ κάθετός ἐστι πρὸς τὴν Γ, ὡσαύτως δὲ καὶ ἡ ΖΒ πρὸς τὴν ΒΑ, δῆλον ἔσται τὸ ἄτοπον. [*] [*]

20. Κείσθω πρὸς τῷ γωνία ὀρθὴ ἡ ΑΕ· διάμετρος ἄρα ἡ ΑΕ. ὥστε ἡ ὑπὸ ΕΓ γωνία ὀξεῖα καὶ ἡ κατὰ κορυφὴν αὐτῇ, ἡ δὲ ὑπὸ ΒΓΕ ἀμβλεῖα
καὶ ἡ κατὰ κορυφὴν αὐτῇ ἡ ὑπὸ ΗΓ. ὥστε ἡ πρὸς ὀρθὰς ἀγομένη τῇ Γ ἡ ΚΓ δηλαδὴ ἐντὸς πεσεῖται. πάλιν ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ΒΓΕ ἀμβλεῖα, ὀξεῖα ἡ ὑπὸ ΓΒΕ καὶ ἡ κατὰ κορυφὴν αὐτῇ ἡ ὑπὸ ΖΒΑ. ὥστε ἡ πρὸς ὀρθὰς ἀγομένη τῇ ΑΒ ἐκτὸς πεσεῖται ἡ ΘΒ δηλονότι.
ἐκβεβλήσθωσαν ἡ ΘΒ καὶ ΚΓ ἐπὶ τὴν περιφέρειαν, καὶ ἀπὸ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου ἤχθωσαν πρὸς ὀρθὰς ἐπὶ τὴν ΘΒ καὶ ΚΓ ἐκβεβλημένας ἡ ΛΜ, ΛΝ· τέμνουσιν ἄρα ταύτας δίχα κατὰ τὰ M, Ν σημεῖα διὰ τὸ γʹ τοῦ γʹ τῶν Στοιχείων. ἐπεζεύχθω ἡ ΛΘ, ΑΚ.
καὶ ἐπεὶ ἴσαι εἰσὶν αὗται· ἐκ κέντρου γὰρ τοῦ Λ· καὶ ὑποτείνουσιν ὀρθὰς γωνίας τὰς πρὸς τῷ Μ καὶ Ν, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΛΘ ἴσον ἔσται τοῖς ἀπὸ ΘΜ, ΜΛ, ὡσαύτως δὲ καὶ τὸ ἀπὸ ΚΛ ἴσον τοῖς ἀπὸ ΚΝ, ΝΛ. ἀλλὰ ἡ ΘΜ τῇ ΚΝ ἴση· ὥστε καὶ ἡ ΜΛ τῇ ΛΝ ἴση.
ἴσαι ἄρα ἡ ΘΒΞ, ΚΓΠ. ἂν δὴ τοίνυν ἴσας ταύταις ἑτέρας δύο εὐθείας ἀγάγωμεν· δυνατὸν γάρ· τὴν Α τυχὸν καὶ PΣ τεμνούσας πρὸς ὀρθὰς τὴν ΘΒΖ, ΚΓΠ κατά τε τὰ Β, Γ καὶ Τ, Υ σημεῖα, καὶ ἴσων ἀφαιρεθεισῶν τῶν ΓΒ, ΒΤ ἴσαι γὰρ διὰ τὴν ἴσην ἀπὸ
[*]