Commentarius in libros de planorum aequilibriis (2.1-2.2)

Ἀκριβῶς ἐπεξελθόντες τῷ πρώτῳ καὶ σαφηνίσαντες τὰ ἐν αὐτῷ δυσθεώρητα ἀναγκαῖον ἡγούμεθα καὶ τὰ ἐν
τῷ δευτέρῳ δυσχερῶς εἰρημένα μετρίως ἐκθέσθαι. Φησὶν τοίνυν ἐν τῇ προτάσει τοῦ πρώτου θεωρήματος· ὑποκείσθω τὰ ΑΒ, Γ χωρία περιεχόμενα ὑπὸ εὐθείας καὶ ὀρθογωνίου κώνου τομᾶς, δυνάμεθα παρὰ τὰν δοθεῖσαν εὐθεῖαν παραβαλεῖν. Τοῦτο δὲ αὐτόθεν μὲν διὰ τῶν ἐνταῦθα
δεδειγμένων οὐκ ἔστιν εὑρεῖν· ἐπεὶ δὲ δέδεικται αὐτῷ, ὡς καὶ ἐν τῷ Περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου εἶπεν, ὅτι τὸ τοιοῦτον σχῆμα ἐπίτριτόν ἐστι τργώνου τοῦ τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχοντος αὐτῷ καὶ ὕψος ἴσον, τῷ δὲ ἐπιτρίτῳ τοῦ τριγώνου ἐπιπέδῳ εὐθυγράμμῳ ὄντι δυνάμεθα ἴσον παρὰ
τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν παραβαλεῖν, φανερὸν ὅτι καὶ τοῖς τοιούτοις σχήμασιν. Τὰ δὲ ἐν τῇ κατασκευῇ εἰρημένα πάντα δῆλά ἐστι διὰ τοῦ δεκάτου θεωρήματος τοῦ πρώτου τούτων τῶν βιβλίων.

Τοῦ δευτέρου θεωρήματος προλέγει τινὰ δηλοῦντα πῶς δυνατὸν ἐν τῇ τοῦ ὀρθογωνίου κώνου τομῇ σχῆμα γνωρίμως ἐγγράφεσθαι, καὶ φησιν ταῦτα δεικτέον ἐν

ταῖς τάξεσιν. Ἐπειδὴ οὖν ἀσαφές ἐστιν τὸ λεγόμενον, ἀναγκαῖον εἰπεῖν βραχέα περὶ αὐτοῦ ἐκ τῶν Ἀπολλωνίου Κωνικῶν εὑρεθέντα.

Ἔστω σχῆμα περιεχόμενον ὑπὸ παραβολῆς τῆς ΑΒΓ
καὶ εὐθείας τῆς ΑΓ, οὗ διάμετρος ἔστω ἡ Β· φανερὸν δὴ ὅτι κορυφή ἐστι τοῦ τμήματος τὸ Β σημεῖον· κορυφὰς γὰρ ἐκάλει τῶν γραμμῶν ὁ Ἀπολλώνιος τὰ πρὸς ταῖς γραμμαῖς πέρατα τῶν διαμέτρων. Ἐὰν δὴ ἐπιζεύξωμεν τὰς ΑΒ, ΒΓ, ἔσται τὸ ἀπὸ ΑΒΓ τρίγωνον τὴν αὐτὴν
βάσιν ἔχον τῷ τμήματι καὶ ὕψος ἴσον τὴν ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ τὴν ΑΓ κάθετον ἀγομένην· οὐ γὰρ πάντως ἄξων ἐστὶν ἡ Β. Ἑὰν δὴ λαβόντες τὰς κορυφὰς τῶν ΑΒ, ΒΓ τμημάτων τὰς Ε, Ζ δι αὐτῶν παραλλήλους ἀγάγωμεν τῇ Β, ὡς τὰς ΕΗΘ, ΖϚΚ, ἔσονται αὗται διάμετροι τῶν ΑΒ, ΒΓ
τμημάτων· δέδεικται γὰρ ἐπὶ τῆς παραβολῆς ὅτι πᾶσαι αἱ παρὰ τὴν διάμετρον ἀγόμεναι διάμετροί εἰσι τῆς τομῆς. Ἔσονται δὴ τὰ Ε, Ζ κορυφαὶ τῶν τμημάτων καὶ αἱ διὰ τῶν Ε, Ζ ἐφαπτόμεναι παράλληλοι ταῖς ΑΒ,

ΒΓ· ἔσται δὴ καὶ ἡ ΕΛΖ παρὰ τὴν ΑΓ, ἐπειδὴ αἱ ΕΘ, ΖΚ παράλληλοί εἰσι καὶ ἴσαι διάμετροι οὖσαι τῶν ἴσων τμημάτων καὶ ἐφαρμόζουσαι ἀλλήλαις, ὡς ἐν τῷ Ϛ τῶν Κωνικῶν δέδεικται. Καὶ ἐπεὶ ἡ ΕΗΘ παράλληλός
ἐστι τῇ Β, ἔστιν ὡς ἡ ΒΗ πρὸς ΗΑ, ἡ Θ πρὸς ΘΑ. Ἴδη δὲ ἡ ΗΒ τῇ ΑΗ· δίχα γὰρ αὐτὴν τέμνει ἡ ΕΗ διάμετρος παράλληλον οὖσαν τῇ ἐφαπτομένῃ ἴση ἄρα καὶ ἡ Θ τῇ ΘΑ. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ Κ τῇ ΚΓ ἐστὶν ἴση. Ἴση δὲ ὅλη ἡ Α τῇ Γ· ἴση ἄρα καὶ ἡ Θ τῇ Κ
καὶ διὰ τοῦτο καὶ ἡ ΕΛ τῇ ΛΖ. Ὥστε ἀληθῶς λέγει ὅτι ἡ τὰς κορυφὰς τῶν τμημάτων ἐπιζευγνύουσα παράλληλος ἔσται τῇ βάσει τοῦ τμήματος καὶ δίχα διαιρεθήσεται ὑπὸ τῆς τοῦ τμήματος διαμέτρου.

Ἐπεζεύχθωσαν δὴ καὶ αἱ ΑΕ, ΕΒ, ΒΖ, ΖΓ καὶ δίχα
τετμήσθωσαν κατὰ τὰ Μ, Ν, Ξ, Ο σημεῖα, καὶ ἤχθωσαν διὰ τῶν Μ, Ν, Ξ, Ο παρὰ τὴν Β αἱ ΠΜΡΣ, ΤΝΥΦ, ΧΞΨΩ, ϚΟϥϠ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΠ, ΠΕ, ΕΤ, ΤΒ, ΒΧ, ΧΖ, ΖϚ, ϚΓ καὶ αἱ Τ ΑΧ καὶ Π Β Γ Ε ϚϚ· φανερὸν δὴ ἐκ τῶν προδεδειγμένων ὅτι ἡ ΤΧ καὶ ἡ ΕΖ καὶ ἡ ΠϚ παράλληλοί
εἰσι τῇ ΑΓ, καὶ ὅτι ἴση ἡ Τ Α τῇ ΑΧ καὶ ἡ ΕΛ τῇ ΛΖ καὶ ἡ Π τῇ Ϛ.

Λέγω οὖν ὅτι τέμνουσι τὴν Β εἰς τοὺς ἑξῆς περισσοὺς ἀριθμούς, τουτέστιν οἵου ἐστὶν ἑνὸς ἡ Β Α, τοιούτων τριῶν ἡ ΑΛ καὶ ἡ Λ πέντε καὶ ἡ ἑπτά.

Ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΗ τῇ ΗΒ, καὶ παράλληλος ἡ ΕΘ τῇ Β, ἴση ἄρα καὶ ἡ ΑΘ τῇ Θ Η Α ἄρα τῆς

Θ διπλῆ ἐστιν ὥστε καὶ τῆς ΕΛ· τὸ ἀπὸ τῆς Α ἄρα τετραπλάσιον τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΛ. Ὡς δὲ τὸ ἀπὸ Α πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΛ, οὕτως δέδεικται ἡ Β πρὸς ΒΛ· τετραπλασία ἄρα καὶ ἡ Β τῆς ΒΛ. Τριπλῆ ἄρα ἡ Λ τῆς ΛΒ· οἵου
ἄρα ἐστὶν ἑνὸς ἡ ΛΒ, τοιούτων τριῶν ἐστιν ἡ Λ. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ οἵων ἄρα ἡ ΛΒ τεσσάρων, ἡ Λ δώδεκα. Καὶ ἐπεὶ ἴση ἡ ΕΝ τῇ ΝΒ καὶ ἡ Ε Ζ τῇ ΖΛ καὶ ἡ ΘΦ τῇ Φ διπλασία ἐστὶν ἡ ΕΛ τῆς Λ Ζ, τουτέστι τῆς Τ Α· τετραπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ ΕΛ τοῦ ἀπὸ Τ Α. Τετραπλασία
ἄρα καὶ ἡ ΛΒ τῆς Β Α· ὥστε τριπλασία ἡ Λ Α τῆς ΑΒ· οἵων ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΒ τεσσάρων, τοιούτων ἡ μὲν Β Α ἑνός, ἡ δὲ ΑΛ τριῶν, ἡ δὲ Λ δώδεκα. Πάλιν, ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΜ τῇ ΜΕ καὶ ἡ ΑΡ τῇ ΡΗ καὶ ἡ ΑΣ τῇ ΣΘ, ἴσαι εἰσὶ καὶ αἱ ΑΣ, ΣΘ, ΘΦ, Φ· οἵων ἄρα ἐστὶν ἡ Α τεσσάρων,
τοιούτων ἡ Σ τριῶν, τουτέστιν ἡ Π . Οἵων ἄρα τὸ ἀπὸ Α δεκαέξ, τοιούτων τὸ ἀπὸ Π ἐννέα· καὶ οἵων ἄρα ἡ Β δεκαέξ, ἡ Β ἐννέα· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ἑπτά. Ἐπεὶ οὖν δέδεικται οἵων ἡ Β δεκαέξ, τοιούτων ἡ μὲν Β Α ἑνός, ἡ δὲ Α τριῶν, ἡ δὲ ἑπτά, καὶ λοιπὴ ἡ
Λ ἐστὶ πέντε. Τέμνεται ἄρα ἡ Β ὑπὸ τῶν παραλλήλων εἰς τοὺς τῶν ἑξῆς περισσῶν ἀριθμῶν λόχους ἑνὸς λεγομένου τοῦ πρὸς τῇ κορυφῇ τοῦ τμήματος. Δῆλον οὖν ἐστιν ἐκ τῆς καταγραφῆς ὅτι αἱ καταγόμεναι ὑπὸ τῶν διαμέτρων εἰς τοὺς ἀπὸ μονάδος ἑξῆς κειμένους ἀριθμοὺς τέμνονται. Οἵου γάρ ἐστιν ἑνὸς ἡ Τ Α, τοιούτων ἐστὶ δύο ἡ ΕΛ, τριῶν δὲ ἡ Π τεσσάρων δὲ ἡ Α· παράλληλοι γὰρ οὖσαι πᾶσαι εἰς ἴσα τέμνουσιν ἀλλήλας. Ὠνομάσθη δὲ
ὑπ Ἀρχιμήδους τὸ ΑΠΕΤΒΧΖϚΓ σχῆμα γνωρίμως ἐγγραφόμενον.