Commentarii in libros de sphaera et cylindro (41-45)

Καὶ ἐπεὶ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΕΖΗ τμῆμα τῷ ΘΚΛ τμήματι,
ὅμοιος ἄρα ἐστὶ καὶ ὁ ΕΖΩ κῶνος τῷ ΨΘΚ κώνῳ Νενοήσθωσαν γὰρ χωρὶς κείμεναι αἱ καταγραφαὶ καὶ ἐπεζευγμέναι αἱ ΕΗ, ΗΖ, ΕΟ, ΟΖ, ΘΛ, ΛΚ, ΘΞ, ΞΚ. Ἐπεὶ οὖν ὅμοιά ἐστι τὰ ΕΖΗ, ΘΚΛ τμήματα, ἴσαι εἰσὶν καὶ αἱ ὑπὸ ΕΗΖ, ΘΛΚ γωνίαι· ὥστε καὶ αἱ ἡμίσειαι αὐτῶν.
Καί εἰσιν ὀρθαὶ αἱ πρὸς τοῖς Φ, Υ· καὶ ἡ λοιπὴ ἄρα τῇ λοιπῇ ἐστιν ἴση. Ἰσογώνιον ἄρα τὸ ΗΦΖ τρίγωνον τῷ ΛΥΚ, καὶ ἔστιν ὡς ἡ ΗΦ πρὸς ΦΖ, ἡ ΛΥ πρὸς ΥΚ. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ἰσογωνίων ὄντων τῶν ΦΖΟ, ΥΚΞ τριγώνων ἐστὶν ὡς ἡ ΖΦ πρὸς ΦΟ, ἡ ΚΥ πρὸς ΥΞ· δι ἴσου ἄρα,

ὡς ἡ ΗΦ πρὸς ΦΟ, ἡ ΛΥ πρὸς ΥΞ. Καὶ συνθέντι ὡς ἡ ΗΟ πρὸς ΟΦ, ἡ ΛΞ πρὸς ΞΥ· καὶ τῶν ἡγουμένων τὰ ἡμίση ὡς ἡ ΣΟ πρὸς ΟΦ, ἡ ΡΞ πρὸς ΞΥ· καὶ συνθέντι ὡς συναμφότερος ἡ ΣΟΦ πρὸς ΦΟ, τουτέστιν ἡ ΩΦ
πρὸς ΦΗ, οὕτως συναμφότερος ἡ ΡΞΥ πρὸς ΞΥ, τουτέστιν ἡ ΨΥ πρὸς ΥΛ. Ἀλλ ὡς ἡ ΗΦ πρὸς ΦΖ, ἡ ΛΥ πρὸς ΥΚ· καὶ διʼ ἴσου ἄρα ὡς ἡ ΩΦ πρὸς ΦΖ, ἡ ΨΥ πρὸς ΥΚ· καὶ τῶν ἑπομένων τὰ διπλάσια ὡς ἄρα ἡ ΩΦ πρὸς ΕΖ, ἡ ΨΥ πρὸς ΘΚ. Τῶν ἄρα ΩΕΖ, ΨΘΚ κώνων ἀνάλογόν
εἰσιν οἱ ἄξονες καὶ αἱ διάμετροι τῶν βάσεων· ὅμοιοι ἄρα εἰσὶν οἱ κῶνοι· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Λόγος δὲ τῆς ΩΦ πρὸς τὴν ΕΖ δοθείς Ἐπεὶ γὰρ δέδοται τὰ τμήματα τῶν σφαιρῶν, δεδομέναι εἰσὶ καὶ αἱ διάμετροι τῶν βάσεων καὶ τὰ ὕψη τῶν τμημάτων· ὥστε
δὲδοται ἡ ΕΖ καὶ ἡ ΗΦ. Καὶ ἡ ἡμίσεια ἄρα τῆς ΕΖ ἡ ΕΦ δοθήσεται ὥστε καὶ τὸ ἀπ αὐτῆς. Καί ἐστιν ἴσον τῷ ὑπὸ ΗΦΟ. Ἐὰν δὲ δοθὲν παρὰ δοθεῖσαν παραβληρῇ, πλάτος ποιεῖ δοθεῖσαν δοθεῖσα ἄρα ἡ ΦΟ. Ἀλλὰ καὶ ἡ ΦΗ· καὶ ὅλη ἄρα ἡ διάμετρος τῆς σφαίρας
δοθεῖσά ἐστι, καὶ διὰ τοῦτο καὶ ἡ ἡμίσεια αὐτῆς δέδοται ἡ ΣΟ. Ἀλλὰ μὴν καὶ ἡ ΟΦ δέδοται ἄρα καὶ ὁ τῆς ΣΟ πρὸς ΟΦ λόγος. Καὶ συνθέντι ὁ συναμφοτέρου τῆς ΣΟΦ πρὸς τὴν ΟΦ λόγος δοθείς ἐστιν, τουτέστι τῆς ΩΦ πρὸς ΦΗ. Καὶ δέδοται ἡ ΦΗ· δέδοται ἄρα καὶ ἡ ΩΦ. Ἀλλὰ
μὴν καὶ ἡ ΕΖ· δέδοται ἄρα καὶ ὁ τῆς ΩΦ πρὸς ΕΖ λόγος.

Τὰ αὐτὰ δὲ ἂν ῥηθείη καὶ ἐπὶ τοῦ ΑΒΓ τμήματος, καὶ συναχθήσεται ὁ τῆς ΧΤ πρὸς ΑΒ λόγος δοθείς· καὶ διὰ τὸ δοθεῖσαν εἶναι τὴν ΑΒ δοθεῖσα ἔσται καὶ ἡ XT.

Ὅτι δέ, ἂν τὰ τμήματα δεδομένα ᾗ, καὶ τὰ ὕψη αὐτῶν

δοθήσονται πρόδηλον μέν, ἵνα δὲ καὶ τοῦτο ἀκολούθως τῇ στοιχειώσει τῶν Δεδομένων δοκῇ συνάγεσθαι, λεχθήσεται.

Ἐπειδὴ δέδοται τὰ τμήματα τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει,
δέδοται καὶ ἡ ΕΖ καὶ ἡ ἐν τῷ τμήματι γωνία· ὥστε καὶ ἡ ἡμίσεια αὐτῆς. Καὶ ἐὰν νοήσωμεν ἐπιζευγνυμένην τὴν ΕΗ, δεδομένης τῆς πρὸς τῷ Φ ὀρθῆς δεδομένη ἔσται καὶ ἡ λοιπὴ καὶ τὸ ΕΗΦ τρίχωνον τῷ εἴδει· ὥστε καὶ ὁ τῆς ΕΦ πρὸς ΦΗ λόγος δοθεὶς ἔσται. Καὶ δέδοται
ἡ ΕΦ ἡμίσεια οὖσα τῆς ΕΖ δέδοται ἄρα καὶ ἡ ΦΗ.

Ἔνεοτι δὲ καὶ ἄλλως λέγειν. Ἐπειδὴ δέδοται ἡ ΕΖ τῇ θέσει, καὶ ἀπὸ δεδομένου τοῦ Φ, διχοτομία γάρ ἐστι τῆς ΕΖ, πρὸς ὀρθὰς ἦκται ἡ ΦΗ τῇ θέσει, δέδοται δὲ καὶ ἡ περιφέρεια τοῦ τμήματος τῇ θέσει, δέδοται ἄρα
τὸ Η. Ἦν δὲ καὶ τὸ Φ δεδομένον δέδοται ἄρα καὶ ἡ ΦΗ.

Ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΨΥ πρὸς ΧΤ, τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΚ, οὕτως ἡ ΚΘ πρὸς Ἐπεὶ γὰρ γέγονεν ὡς ἡ ΨΥ πρὸς ΘΚ, ἡ ΧΤ πρὸς , ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΨΥ πρὸς ΧΤ, ἡ ΚΘ πρὸς . Ἀλλ ὡς ἡ ΨΥ πρὸς ΧΤ,
τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΚ· ἴσων γὰρ ὄντων τῶν κώνων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν, ὡς δὲ αἱ βάσεις πρὸς ἀλλήλας, οὕτως τὰ ἀπὸ τῶν διαμέτρων τετράγωνα καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΒΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΚ, ἡ ΘΚ πρὸς τὴν .

Καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΘΚ, ἡ Ϛ πρὸς Ἐπειδὴ τῷ λόγῳ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΚ ὁ αὐτὸς ἐδείχθη ὁ τῆς ΒΑ πρὸς Ϛ καὶ ὁ τῆς ΚΘ πρὸς , καὶ ὁ τῆς ΒΑ ἄρα πρὸς Ϛ ὁ αὐτός ἐστι τῷ τῆς ΚΘ πρὸς · ὥστε ἐναλλάξ ἐστιν ὡς ἡ ΒΑ πρὸς ΘΚ, ἡ Ϛ πρὸς .

Ἐπειδὴ ἀνάλογόν εἰσιν αἱ ΑΒ, ΘΚ, Ϛ, , ἔστιν ὡς τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΚ, ἡ ΘΚ πρὸς Καθόλου γάρ, ἐὰν ὦσιν τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον, ἔσται ὡς τὸ ἀπὸ
τῆς πρώτης πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας, ἡ δευτέρα πρὸς τὴν τετάρτην. Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν δευτέραν, ἡ τρίτη πρὸς τὴν τετάρτην, ἐναλλὰξ ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην, ἡ δευτέρα πρὸς τὴν τετάρτην. Ἀλλ ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς
πρώτης πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας· καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας, ἡ δευτέρα πρὸς τὴν τετάρτην.

Ἐπεὶ δὲ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΚΛΜ τῷ ΑΒΓ τμήματι, ἔστιν
ἄρα ὡς ἡ ΡΛ πρὸς ΡΝ, ἡ ΒΠ πρὸς ΠΘ Ἐὰν γὰρ ἐπιζευχθῶσιν αἱ ΜΝ, ΓΘ, ἐπεὶ ὅμοιά εἰσιν τὰ τμήματα, ἴσαι εἰσὶ καὶ αἱ πρὸς τοῖς Β, Λ γωνίαι. Εἰσὶν δὲ καὶ αἱ πρὸς τοῖς Μ, Γ ὀρθαί· καὶ ἡ λοιπὴ ἄρα τῇ λοιπῇ, καὶ ἰσογώνια τὰ τρίγωνα, καὶ ἔστιν ὡς ἡ ΘΒ πρὸς ΘΓ, οὕτως ἡ ΛΝ
πρὸς ΝΜ. Ἀλλ ὡς ἡ ΘΓ πρὸς ΘΠ, οὕτως ἡ ΜΝ πρὸς ΝΡ διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΓΘΠ, ΜΝΡ τριγώνων· καὶ διʼ ἴσου ἄρα ὡς ἡ ΒΘ πρὸς ΘΠ, ἡ ΛΝ πρὸς ΝΡ· ὥστε καὶ διελόντι ὡς ἡ ΒΠ πρὸς ΠΘ, οὕτως ἡ ΛΡ πρὸς ΡΝ.

Λόγος δὲ τῆς ΕΖ πρὸς ΒΓ δοθείς· δοθεῖσα γὰρ ἑκατέρα
Ἐπεὶ γὰρ δέδοται τὰ τμήματα τῶν σφαιρῶν, δεδομέναι

εἰσὶ καὶ αἱ διάμετροι τῶν βάσεων καὶ τὰ ὕψη τῶν τμημάτων· ὥστε, ἐπεὶ δέδοται ἡ ΑΓ, δέδοται καὶ ἡ ἡμίσεια αὐτῆς ἡ ΓΠ. Δέδοται δὲ καὶ ἡ ΒΠ, καὶ ὀρθὴν γωνίαν περιέχουσιν δέδοται ἄρα καὶ ἡ ΒΓ. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ
ἡ ΕΖ δοθεῖσά ἐστιν· ὥστε καὶ ὁ τῆς ΒΓ πρὸς ΕΖ λόγος δοθείς ἐστιν.

Ὅμοια ἄρα ἐστὶ τὰ ἐπὶ τῶν ΚΜ, ΑΓ τμήματα κύκλων Ἐὰν γάρ, ὡς ἐν τῇ ἀναλύσει, ἐπιζευχθῶσιν αἱ ΓΘ, ΜΝ,
ἐπεὶ ὀρθαί εἰσιν αἱ πρὸς τοῖς Γ, Μ, καὶ κάθετοι αἱ ΓΠ, ΜΡ, μέσαι ἀνάλογόν εἰσιν τῶν τῆς βάσεως τμημάτων ὥστε ἐστὶν ὡς ἡ πρώτη ἡ ΒΠ πρὸς τὴν τρίτην τὴν ΠΘ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης τῆς ΠΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας τῆς ΠΓ. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡς ἡ ΛΡ πρὸς ΡΝ,
οὕτως τὸ ἀπὸ ΛΡ πρὸς τὸ ἀπὸ ΡΜ. Καὶ ἔστιν ὡς ἡ ΒΠ πρὸς ΠΘ, ἡ ΡΛ πρὸς ΡΝ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΒΠ πρὸς τὸ ἀπὸ ΠΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΛΡ πρὸς τὸ ἀπὸ ΡΜ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΠΒ πρὸς ΠΓ, ἡ ΛΡ πρὸς ΡΜ. Καὶ περὶ ἴσας γωνίας αἱ πλευραὶ ἀνάλογόν εἰσιν ἰσογώνια ἄρα τὰ
τρίγωνα. Ἴσαι ἄρα αἱ πρὸς τοῖς Β, Λ γωνίαι καὶ αἱ διπλασίους αὐτῶν αἱ ἐν τοῖς τμήμασιν ὅμοια ἄρα εἰσὶν τὰ τμήματα.

Λόγος ἄρα δεδομένος συναμφοτέρου τῆς ΕΖ πρὸς
Ζ· ὥστε καὶ ἡ ΑΓ Ἐπεὶ γὰρ συναμφότερος ἡ Ε, πρὸς ΔΖ λόγον ἔχει δεδομένον, ἐὰν δεδομένον μέγεθος πρός τι μόριον ἑαυτοῦ λόγον ἔχῃ δεδομένον, καὶ πρὸς

τὸ λοιπὸν λόγον ἕξει δεδομένον ὥστε συναμφότερος ἡ ΕΖ πρὸς Ε λόγον ἔχει δεδομένον. Ἐπεὶ οὖν ἑκατέρα τῶν Ε, Ζ πρὸς συναμφότερον τὴν ΕΖ λόγον ἔχει δεδομένον, καὶ πρὸς ἀλλήλας λόχον ἔχουσι δεδομένον
δέδοται ἄρα ὁ τῆς Ε πρὸς Ζ λόγος. Καὶ δέδοται ἡ Ε· δέδοται γὰρ ἡ διάμετρος· δέδοται ἄρα καὶ ἡ Ζ. Λοιπὴ ἄρα ἡ ΖΒ δοθήσεται· ὥστε καὶ τὸ ὑπὸ ΖΒ, τουτέστι τὸ ἀπὸ ΑΖ, τουτέστιν ἡ ΑΖ, δοθεῖσα ἔσται· καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΑΓ.

Καὶ ἄλλως δὲ λέγοις ἂν ὅτι ἡ ΑΓ δοθεῖσά ἐστιν. Ἐπεὶ γὰρ δέδοται ἡ διάμετρος ἡ Β τῇ θέσει, δέδοται δὲ καὶ τὸ Ζ, ὡς ᾔτηται, καὶ ἀπὸ δεδομένου τοῦ Ζ πρὸς ὀρθὰς ἦκται ἡ ΑΓ, δέδοται ἡ ΑΓ θέσει. Ἀλλὰ καὶ ἡ τοῦ κύκλου περιφέρεια δοθέντα ἄρα τὰ A, Γ, καὶ αὐτὴ
ἡ ΑΖΓ δοθεῖσά ἐστιν.

Καὶ ἐπεὶ συναμφότερος μὲν ἡ ΕΖ πρὸς Ζ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ συναμφότερος ἡ ΕΒ πρὸς Β Ἐπεὶ γὰρ ἡ Ε μείζων ἢ ἡμίσειά ἐστι τῆς Ζ, συναμφότερος ἄρα ἡ ΕΖ τῆς Ζ μείζων ἐστὶν ἢ ἡμιολία. Συναμφότερος
δὲ ἡ Ε, Β τῆς Β ἡμιολία μείζονα ἄρα λόγον ἔχει ἡ ΕΖ πρὸς ΔΖ ἤπερ ἡ ΕΒ πρὸς Β.

Ἢ καὶ ἄλλως. Ἐπεὶ μείζων ἐστὶν ἡ Β τῆς Ζ, ἄλλη δὲ τις ἡ Ε, ἡ Ε ἄρα πρὸς Ζ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΕΔ πρὸς Β· συνθέντι συναμφότερος ἡ ΕΖ
πρὸς Ζ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ συναμφότερος ἡ ΕΒ πρὸς ΔΒ.

Ἡ σύνθεσις τοῦ θεωρήματος σαφὴς διὰ τῶν ἐνταῦθα εἰρημένων.