Commentarii in libros de sphaera et cylindro (4)

Καὶ ἀπὸ τοῦ τῇ Θ ἴση κατήχθω ἡ ΚΜ Δυνατὸν γὰρ τοῦτο προσεκβληθείσης τῆς ΚΛ ὡς ἐπὶ τὸ Χ καὶ τεθείσης τῇ Θ ἴσης τῆς καὶ κέντρῳ τῷ Κ, διαστήματι δὲ τῷ
ΚΧ, κύκλου γραφέντος ὡς τοῦ ΧΜΝ. ἔσται γὰρ ἡ ΚΜ ἴση τῇ ΚΧ, τουτέστι τῇ Θ.

Ἡ ἄρα ΝΓ πολυγώνου ἐστὶ ἰσοπλεύρου καὶ ἀρτιοπλεύρου πλευρά Τῆς γὰρ μιᾶς ὀρθῆς ἐπὶ τεταρτημορίου βεβηκυίας καὶ τῆς τομῆς κατὰ ἀρτίαν διαίρεσιν ἀπὸ τῆς ὀρθῆς
γινομένης δῆλον ὅτι καὶ ἡ τοῦ τεταρτημορίου περιφέρεια εἰς ἀρτιακισαρτίους τὸν ἀριθμὸν ἴσας διαιρεθήσεται περιφερείας ὥστε καὶ ἡ ὑποτείνουσα εὐθεῖα μίαν τῶν περιφερειῶν πολυγώνου ἐστὶν ἰσοπλεύρου καὶ ἀρτιοπλεύρου πλευρά.

Ὥστε καὶ ἡ ΟΠ πολυγώνου ἐστὶν ἰσοπλεύρου πλευρά Ἐὰν γὰρ τῇ ὑπὸ ΞΗΝ γωνίᾳ ἴσην ποιήσαντες τὴν ὑπὸ ΠΗ ἀπὸ τοῦ Π ἐπὶ τὸ ἐπιζεύξωμεν καὶ προσεκβάλωμεν ἄχρι τῆς ΗΘ τῆς μετὰ Η γωνίαν περιεχούσης ἴσην τῇ ὑπὸ ΠΗ , ἔσται ἴση ἡ ΠΘ τῇ ΠΟ καὶ ἐφαπτομένη τοῦ
κύκλου. Ἐπεὶ γὰρ ἡ ΞΗ ἴση ἐστὶ τῇ Η , κοινὴ δὲ ἡ ΗΠ,

καὶ γωνίας ἴσας περιέχουσν, καὶ βάσις ἄρα ἡ ΞΠ τῷ Π ἴση ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΠΞΗ ὀρθὴ οὖσα τῇ ὑπὸ Π Η· ὥστε ἐφάπτεται ἡ Π. Ἐπεὶ οὖν αἱ πρὸς τῷ ὀρθαί εἰσιν, εἰσὶν δὲ καὶ αἱ ὑπὸ ΠΗ , ΗΘ ἴσαι, καὶ ἡ πρὸς ταῖς
ἴσαις κοινὴ ἡ Η, ἴση ἐστὶ καὶ ἡ Π τῇ Θ . Ἀλλ ἡ ΞΠ τῇ Π ἐδείχθη ἴση· καὶ ἡ ΘΠ ἄρα τῇ ΠΟ ἐστὶν ἴση καὶ πάσαις ταῖς ὁμοίως ἐφαπτομέναις. Ὥστε ἡ ΘΠ πολυγώνου ἐστὶν ἰσοπλεύρου καὶ ἀρτιοπλεύρου πλευρὰ τοῦ περὶ τὸν κύκλον περιγραφομένου.

Ὅτι δὲ καὶ ὁμοίου τῷ ἐγγραφομένῳ αὐτόθεν δῆλον. Ἴσης γὰρ οὔσης τῆς μὲν ΟΗ τῇ ΗΠ, τῆς δὲ ΓΗ τῇ ΗΝ, παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΟΠ τῇ ΓΝ· διὰ τὰ αὐτὰ καὶ ἡ ΠΘ τῇ ΝΚ. ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΓΝΚ τῇ ὑπὸ ΟΠΘ ἴση ἐστί. Καὶ διὰ τοῦτο ὅμοιόν ἐστι τὸ περιγεγραμμένον τῷ
ἐγγεγραμμένῳ.

Ἡ ἄρα ΜΚ πρὸς ΚΛ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΓΗ πρὸς ΗΤ Μείζονος γὰρ οὔσης τῆς πρὸς τῷ Κ γωνίας τῆς ὑπὸ ΓΗΤ, ἐὰν τῇ ὑπὸ ΓΗΤ ἴσην συστησώμεθα τὴν

ὑπὸ ΛΚΡ νοῦ Ρ μεταξὺ τῶν Λ, Μ νοουμένου, τὸ ΛΚΡ τρίγωνον τῷ ΓΗΤ ὅμοιόν ἐστιν, καί ἐστιν ὡς ἡ ΡΚ πρὸς ΚΛ, οὕτως ἡ ΓΗ πρὸς ΗΤ· ὥστε καὶ ἡ ΜΚ πρὸς ΚΛ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΓΗ πρὸς ΗΤ.