Commentarii in libros de sphaera et cylindro (38-41)

Τὴν δοθεῖσαν σφαῖραν ἐπιπέδῳ τεμεῖν, ὥστε τὰ τμήματα αὐτῆς πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχειν τὸν δοθέντα.

Ἔστω ἡ δοθεῖσα σφαῖρα, ἧς διάμετρος ἡ ΑΒ, ὁ δὲ δοθεὶς λόγος, ὃν ἔχει ἡ Γ πρὸς Ε. Δδεῖ δὴ τεμεῖν
τὴν σφαῖραν ἐπιπέδῳ ὀρθῷ πρὸς τὴν ΑΒ, ὥστε τὸ τμῆμα, οὗ κορυφὴ τὸ Α, πρὸς τὸ τμῆμα, οὗ κορυφὴ τὸ Β, λόχον ἔχειν, ὃν ἔχει ἡ Γ πρὸς Ε.

Ἐκβεβλήσθω ἡ ΒΑ ἐπὶ τὸ Ζ, καὶ κείσθω τῆς ΑΒ ἡμίσεια ἡ ΑΖ, καὶ ὃν ἔχει λόγον ἡ ΓΕ πρὸς Ε, ἐχέτω ἡ ΖΑ

πρὸς ΑΗ, καὶ ἔστω ἡ ΑΗ πρὸς ὀρθὰς τῇ ΑΒ, καὶ τῶν ΖΑ, ΑΗ μέση ἀνάλογον εἰλήφθω ἡ ΑΘ μείζων ἄρα ἡ ΑΘ τῆς ΑΗ. Καὶ περὶ ἄξονα τὴν ΖΒ διὰ τοῦ Ζ γεγράφθω παραβολή, ὥστε τὰς καταχομένας δύνασθαι παρὰ τὴν
ΑΗ ἥξει ἄρα διὰ τοῦ Θ, ἐπειδὴ τὸ ὑπὸ ΖΑΗ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΑΘ γεγράφθω οὖν, καὶ ἔστω ὡς ἡ ΖΘΚ, καὶ διὰ τοῦ Β ἀνήχθω παρὰ τὴν ΑΘ ἡ ΒΚ καὶ τεμνέτω τὴν παραβολὴν κατὰ τὸ Κ, καὶ διὰ τοῦ Η περὶ ἀσυμπτώτους τὰς ΖΒΚ γεγράφθω ὑπερβολή τεμεῖ δὴ τὴν παραβολὴν
μεταξὺ τῶν Θ, Κ. Τεμνέτω κατὰ τὸ Λ, καὶ ἀπὸ τοῦ Λ ἐπὶ τὴν ΑΒ κάθετος ἤχθω ἡ ΛΜ, καὶ διὰ Η, Λ τῇ ΑΒ παράλληλοι ἤχθωσαν αἱ ΗΝ, ΛΞ. Ἐπεὶ οὖν ὑπερβολή ἐστιν ἡ ΗΛ, ἀσύμπτωτοι δὲ αἱ ΑΒΚ, καὶ παράλληλοι ταῖς ΑΗΝ αἱ ΜΛΞ, ἴσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ ΑΗΝ τῷ ὑπὸ ΜΛΞ διὰ
τὸ η θεώρημα τοῦ δευτέρου βιβλίου τῶν Ἀπολλωνίου Κωνικῶν στοιχείων. Ἀλλ ἡ μὲν ΗΝ τῇ ΑΒ ἐστὶν ἴση, ἡ δὲ ΛΞ τῇ ΜΒ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΛΜΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΗΑΒ καὶ διὰ τὸ τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσον εἶναι τῷ ὑπὸ τῶν μέσων αἱ τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογόν εἰσιν ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΛΜ
πρὸς ΗΑ, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς ΒΜ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΛΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΑ, οὕτως τὸ ἀτὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΜ, Καὶ ἐπεὶ διὰ τὴν παραβολὴν τὸ ἀπὸ ΛΜ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΖΜ, ΑΗ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΖΜ πρὸς ΜΛ, οὕτως ἡ ΜΛ πρὸς ΑΗ· καὶ ὡς ἄρα ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην, οὕτως
τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας καὶ τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς τρίτης ὡς ἄρα ἡ ΖΜ πρὸς ΑΗ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΛΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΑ. Ἀλλ ὡς τὸ ἀπὸ ΛΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΗ, οὕτως ἐδείχθη τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΜ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΒ
πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΜ, οὕτως ἡ ΖΜ πρὸς ΑΗ. Ἀλλ ὡς τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΜ, οὕτως ὁ κύκλος, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΑΒ, πρὸς τὸν κύκλον, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΒΜ· καὶ ὡς ἄρα ὁ κύκλος, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΑΒ, πρὸς τὸν κύκλον, οὗ
ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῷ ΒΜ, οὕτως ἡ ΖΜ πρὸς ΑΗ· ὁ ἄρα κῶνος ὁ βάσιν ἔχων τὸν κύκλον, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΑΒ, ὕψος δὲ τὴν ΑΗ, ἴσος ἐστὶ τῷ κώνῳ τῷ βάσιν μὲν ἔχοντι τὸν κύκλον, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΒΜ, ὕψος δὲ τὴν ΖΜ· ὧν γὰρ κώνων
ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν, σοι εἰσὶν ἐκεῖνοι. Ἀλλ ὁ κῶνος ὁ βάσιν ἔχων τὸν κύκλον, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΑΒ, ὕψος δὲ τὴν ΖΑ, πρὸς τὸν κῶνον τὸν βάσιν μὲν ἔχοντα τὴν αὐτήν, ὕψος δὲ τὴν ΑΗ, ἐστὶν ὡς ἡ ΖΑ πρὸς ΑΗ, τουτέστιν ἡ ΓΕ πρὸς Ε· ἐπὶ γὰρ
τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντες πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς τὰ ὕψη· καὶ ὁ κῶνος ἄρα ὁ βάσιν ἔχων τὸν κύκλον, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΑΒ, ὕψος δὲ τὴν ΖΑ, πρὸς τὸν κῶνον τὸν βάσιν ἔχοντα τὸν κύκλον, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΒΜ, ὕψος δὲ τὴν ΖΜ, ἐστὶν ὡς ἡ ΤΕ πρὸς Ε.
Ἀλλ ὁ κῶνος ὁ βάσιν ἔχων τὸν κύκλον, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΑΒ, ὕψος δὲ τὴν ΖΑ, ἴσος ἐστὶ τῇ σφαίρᾳ, ὁ δὲ κῶνος ὁ βάσιν ἔχων τὸν κύκλον, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΒΜ, ὕψος δὲ τὴν ΖΜ, ἴσος ἐστὶ τῷ τμήματι τῆς σφαίρας, οὗ κορυφὴ μέν ἐστι τὸ Β,
ὕψος δὲ ἡ ΒΜ, ὡς ἑξῆς δειχθήσεται· καὶ ἡ σφαῖρα ἄρα πρὸς τὸ εἰρημένον τμῆμα λόγον ἔχει, ὃν ἡ ΓΕ πρὸς Ε καὶ διελόντι τὸ τμῆμα, οὗ κορυφὴ τὸ Α, ὕψος δὲ ἡ ΑΜ, πρὸς τὸ τμῆμα, οὗ κορυφὴ τὸ Β, ὕψος δὲ ἡ ΒΜ, τοῦτον ἔχει τὸν λόγον, ὃν ἔχει ἡ Γ πρὸς Ε. Τὸ ἄρα διὰ τῆς ΛΜ ἐπίπεδον ἐκβαλλόμενον ὀρθὸν πρὸς τὴν ΑΒ τέμνει
τὴν σφαῖραν εἰς τὸν δοθέντα λόγον ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.

Ὅτι δὲ ὁ κῶνος ὁ βάσιν ἔχων τὸν κύκλον, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΒΜ, ὕψος δὲ τὴν ΖΜ, ἴσος ἐστὶ τῷ τμήματι τῆς σφαίρας, οὗ κορυφὴ μὲν τὸ Β, ὕψος δὲ ἡ ΒΜ, δειχθήσεται οὕτως.

Γεγονέτω γὰρ ὡς ἡ ΖΜ πρὸς ΜΑ, οὕτως ἡ ΟΜ πρὸς ΜΒ ὁ ἄρα κῶνος ὁ βάσιν ἔχων τὴν αὐτὴν τῷ τμήματι, ὕψος δὲ τὴν ΟΜ, ἴσος ἐστὶ τῷ τμήματι. Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΖΜ πρὸς ΜΑ, οὕτως ἡ ΟΜ πρὸς ΜΒ, καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΖΜ πρὸς ΜΟ, οὕτως ἡ ΑΜ πρὸς ΜΒ, ἀλλ ὡς ἡ
ΑΜ πρὸς ΜΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΠΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΒ, καὶ ὡς τὸ ἀπὸ ΠΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΒ, οὕτως ὁ κύκλος, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΠΜ, πρὸς τὸν κύκλον, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΜΒ, ὡς ἄρα ὁ κύκλος, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΠΜ, πρὸς τὸν κύκλον, οὗ
ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΜΒ, οὕτως ἡ ΜΖ πρὸς ΜΟ. Ὁ ἄρα κῶνος ὁ βάσιν ἔχων τὸν κύκλον, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΜΒ, ὕψος δὲ τὴν ΖΜ, ἴσος ἐστὶ τῷ κώνῳ τῷ βάσιν μὲν ἔχοντι τὸν κύκλον, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΠΜ, ὕψος δὲ τὴν ΜΟ· ἀντιπεπόνθασιν γὰρ
αὐτῶν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν ὥστε καὶ τῷ τμήματι ἴσος ἐστίν.

Γράφει δὲ καὶ ὁ Διοκλῆς ἐν τῷ Περὶ πυρίων προλέγων τάδε.

Ἐν τῷ Περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου Ἀρχιμήδης
ἀπέδειξεν ὅτι πᾶν τμῆμα σφαίρας ἴσον ἐστὶ κώνῳ τῷ βάσιν μὲν ἔχοντι τὴν αὐτὴν τῷ τμήματι, ὕψος δὲ εὐθεῖάν τινα λόγον ἔχουσαν πρὸς τὴν ἀπὸ τῆς τοῦ τμήματος κορυφῆς ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετον, ὃν ἔχει συναμφότερος ἥ τε ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας καὶ ἡ τοῦ ἐναλλὰξ
τμήματος κάθετος πρὸς τὴν τοῦ ἐναλλὰξ τμήματος κάθετον. Οἷον ἐὰν ᾖ σφαῖρα ἡ ΑΒΓ καὶ τμηθῇ ἐπιπέδῳ τινὶ τῷ περὶ διάμετρον τὴν Γ κύκλῳ, καὶ διαμέτρου οὔσης τῆς ΑΒ, κέντρου δὲ τοῦ Ε, ποιήσωμεν ὡς συναμφότερον τὴν ΕΑ, ΖΑ πρὸς ΖΑ, οὕτως τὴν ΗΖ πρὸς ΖΒ,
ἔτι τε ὡς συναμφότερον τὴν ΕΒ, ΒΖ πρὸς ΖΒ, οὕτως τὴν ΘΖ πρὸς ΖΑ, ἀποδέδεικται ὅτι τὸ μὲν ΓΒ τμῆμα τῆς σφαίρας ἴσον ἐστὶ τῷ κώνῳ, οὗ βάσις μέν ἐστιν ὁ περὶ διάμετρον τὴν Γ κύκλος, ὕψος δὲ ἡ ΖΗ, τὸ δὲ ΓΑ τμῆμα ἴσον ἐστὶ τῷ κώνῳ, οὗ βάσις μέν ἐστιν ἡ αὐτή,
ὕψος δὲ ἡ ΘΖ. Προταθέντος οὖν αὐτῷ τοῦ τὴν δοθεῖσαν

σφαῖραν ἐπιπέδῳ τεμεῖν, ὥστε τὰ τμήματα τῆς σφαίρας πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχειν τὸν δοθέντα, κατασκευάσας τὰ εἰρημένα φησί· λόγος ἄρα δοθεὶς καὶ τοῦ κώνου, οὗ βάσις ἐστὶν ὁ περὶ διάμετρον τὴν Γ κύκλος, ὕψος
δὲ ἡ ΖΘ, πρὸς τὸν κῶνον, οὗ βάσις μέν ἐστιν ἡ αὐτή, ὕψος δὲ ἡ ΖΗ καὶ γὰρ καὶ τοῦτο ἀπεδείχθη. Οἱ δὲ κῶνοι οἱ ἐπ ἴσων βάσεων ὄντες πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς τὰ ὕψη λόγος ἄρα τῆς ΘΖ πρὸς ΖΗ δοθείς. Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΘΖ πρὸς ΖΑ, οὕτως συναμφότερος ἡ ΕΒΖ πρὸς
τὴν ΖΒ, διελόντι ὡς ἡ ΘΑ πρὸς ΑΖ, οὕτως ἡ ΕΒ πρὸς ΖΒ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡς ἡ ΗΒ πρὸς ΖΒ, οὕτως ἡ αὐτὴ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΖΑ. Γέγονεν οὖν πρόβλημα τοιοῦτον θέσει οὔσης εὐθείας τῆς ΑΒ καὶ δύο δοθέντων σημείων τῶν Α, Β καὶ δοθείσης τῆς ΕΒ τεμεῖν τὴν ΑΒ κατὰ τὸ Ζ
καὶ προσθεῖναι τὰς ΘΑ, ΒΗ, ὥστε λόγον εἶναι τῆς ΘΖ πρὸς ΖΗ δοθέντα, ἔτι τε εἶναι ὡς μὲν τὴν ΘΑ πρὸς ΑΖ, οὕτως τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν πρὸς τὴν ΖΒ, ὡς δὲ τὴν ΗΒ πρὸς ΒΖ, οὕτως τὴν αὐτὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν πρὸς ΖΑ. Τοῦτο δὲ ἑξῆς δέδεικται· ὁ γὰρ Ἀρχιμήδης μακρότερον
αὐτὸ δείξας καὶ οὕτως εἰς πρόβλημα ἕτερον ἀπάγει, ὃ οὐκ ἀποδείκνυσιν ἐν τῷ Περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου.

θέσει δεδομένης εὐθείας τῆς ΑΒ καὶ δύο δοθέντων σημείων τῶν Α, Β καὶ λόχου τοῦ ὃν ἔχει ἡ πρὸς τὴν , τεμεῖν τὴν ΑΒ κατὰ τὸ Ε καὶ προσθεῖναι τὰς ΖΑ,
ΗΒ, ὥστε εἶναι ὡς τὴν Γ πρὸς τὴν , οὕτως τὴν ΖΕ πρὸς τὴν ΕΗ, ἔτι τε εἶναι ὡς τὴν ΖΑ πρὸς ΑΕ, οὕτως δοθεῖσάν τινα εὐθεῖαν πρὸς τὴν ΒΕ, ὡς δὲ τὴν ΗΒ πρὸς ΒΕ, οὕτως τὴν αὐτὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν πρὸς τὴν ΕΑ.

Γεγονέτω, καὶ τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἤχθωσαν αἱ ΘΑΚ,
ΛΒΜ, καὶ τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ ἴση κείσθω ἑκατέρα τῶν

ΑΚ, ΒΜ. Ἐπιζευχθεῖσαι αἱ ΚΕ, ΜΕ ἐκβεβλήσθωσαν ἐπὶ τὰ Λ, Θ, ἐπεζεύχθω δὲ καὶ ἡ ΚΜ, καὶ διὰ τοῦ Λ παράλληλος ἤχθω τῇ ΑΒ ἡ ΛΝ, διὰ δὲ τοῦ Ε τῇ ΝΚ ἡ ΞΕΟΠ. Ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΖΑ πρὸς ΑΕ, οὕτως ἡ
ΜΒ πρὸς ΒΕ, ὑπόκειται γάρ, ὡς δὲ ἡ ΜΒ πρὸς ΒΕ, οὕτως ἡ ΘΑ πρὸς ΑΕ διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν τριγώνων, ὡς ἄρα ἡ ΖΑ πρὸς ΑΕ, οὕτως ἡ ΘΑ πρὸς ΑΕ· ἴση ἄρα ἡ ΖΑ τῇ ΘΑ. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΒΗ τῇ ΒΛ. Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς συναμφότερος ἡ ΘΑΕ πρὸς συναμφότερον
τὴν ΜΒΕ, οὕτως συναμφότερος ἡ ΚΑΕ πρὸς συναμφότερον τὴν ΛΒΕ· ἑκάτερος γὰρ τῶν λόγων ὁ αὐτός ἐστὶ τῷ τῆς ΑΕ πρὸς ΕΒ τὸ ἄρα ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΘΑΕ καὶ συναμφοτέρου τῆς ΛΒΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΚΑΕ καὶ συναμφοτέρου τῆς ΜΒΕ. Κείσθω τῇ ΚΑ
ἴση ἑκατέρα τῶν ΑΡ, ΒΣ. Ἐτεὶ οὖν συναμφότερος μὲν ἡ ΘΑΕ ἴση ἐστὶ τῇ ΖΕ, συναμφότερος δὲ ἡ ΛΒΕ ἴση τῇ ΕΗ, συναμφότερος δὲ ἡ ΚΑΕ ἴση τῇ ΡΕ, συναμφότερος δὲ ἡ ΜΒΕ ἴση τῇ ΣΕ, καὶ ἐδείχθη τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΘΑΕ καὶ συναμφοτέρου τῆς ΛΒΕ ἴσον τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΚΑΕ καὶ συναμφοτέρου τῆς ΜΒΕ, τὸ ἄρα ὑπὸ ΖΕΗ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΡΕΣ. Διὰ δὴ τοῦτο, ὅταν τὸ P μεταξὺ τῶν Α, Ζ πίπτῃ, τότε τὸ Σ ἐξωτέρω
τοῦ Η πεσεῖται, καὶ τὸ ἀνάπαλιν, Ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ Γ πρὸς τὴν , οὕτως ἡ ΖΕ πρὸς ΕΗ, ὡς δὲ ἡ ΖΕ πρὸς ΕΗ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΖΕΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΗ, ὡς ἄρα ἡ πρὸς τὴν , οὕτως τὸ ὑπὸ ΖΕΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΗ. Τὸ δὲ ὑπὸ ΖΕΗ ἴσον ἐδείχθη τῷ ὑπὸ ΡΕΣ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Γ πρὸς τὴν
, οὕτως τὸ ὑπὸ ΡΕΣ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΗ. Κείσθω τῇ ΒΕ ἴση ἡ ΕΟ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΒΟ ἐκβεβλήσθω ἐφʼ ἑκάτερα, καὶ ἀπὸ τῶν Σ, Ρ πρὸς ὀρθὰς ἀχθεῖσαι αἱ ΣΤ, ΡΥ συμβαλλέτωσαν αὐτῇ κατὰ τὰ Τ, Υ. Ἐτεὶ οὖν διὰ δεδομένου τοῦ Β πρὸς θέσει δεδομένην τὴν ΑΒ ἦκται ἡ ΤΥ δεδομένην
ποιοῦσα γωνίαν τὴν ὑπὸ ΕΒΟ ἡμίσειαν ὀρθῆς, δέδοται ἡ ΤΥ τῇ θέσει. Καὶ ἀπὸ δεδομένων τῶν Σ, Ρ θέσει ἠγμέναι αἱ ΣΤ, ΡΥ τέμνουσιν αὐτὴν κατὰ τὰ Τ, Υ· δοθέντα ἄρα ἐστὶ τὰ Τ, Υ· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ΤΥ τῷ θέσει καὶ τῇ μεγέθει. Καὶ ἐπεὶ διὰ τὴν τῶν ΕΟΒ, ΣΤΒ τριγώνων
ὁμοιότητά ἐστιν ὡς ἡ ΤΒ πρὸς ΒΟ, οὕτως ἡ ΣΒ πρὸς ΒΕ, καὶ συνθέντι ἐστὶν ὡς ἡ ΤΟ πρὸς ΟΒ, οὕτως ἡ ΣΕ πρὸς ΕΒ. Ἀλλ ὡς ἡ ΒΟ πρὸς ΟΥ, οὕτως ἡ ΒΕ πρὸς ΕΡ· καὶ δι ἴσου ἄρα ὡς ἡ ΤΟ πρὸς ΟΥ, οὕτως ἡ ΣΕ πρὸς ΕΡ. Ἀλλ ὡς ἡ ΤΟ πρὸς ΟΥ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΤΟΥ πρὸς τὸ
ἀπὸ ΟΥ, ὡς δὲ ἡ ΣΕ πρὸς ΕΡ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΣΕΡ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΡ καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑηὸ ΤΟΥ πρὸς τὸ ἀπὸ ΟΥ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΣΕΡ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΡ· καὶ ἐναλλὰξ ὡς τὸ ὑπὸ ΤΟΥ πρὸς τὸ ὑπὸ ΣΕΡ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΟΥ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΡ. Τὸ δὲ ἀπὸ ΟΥ τοῦ ἀπὸ ΕΡ διπλάσιον, ἐπειδὴ καὶ τὸ ἀπὸ ΟΒ τοῦ ἀπὸ ΒΕ· καὶ τὸ ὑπὸ ΤΟΥ ἄρα τοῦ ὑπὸ ΣΕΡ ἐστὶ διπλάσιον. Τὸ δὲ ὑπὸ ΣΕΡ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΗ ἐδείχθη λόγον ἔχεν, ὃν ἔχει ἡ πρὸς τὴν · καὶ τὸ
ὑπὸ ΤΟΥ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΗ λόγον ἔχει, ὃν ἡ διπλασία τῆς πρὸς τὴν . Τὸ δὲ ἀπὸ ΕΗ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΞΟ· ἑκατέρα γὰρ τῶν ΕΗ, ΞΟ ἴση ἐστὶ συναμφοτέρῳ τῇ ΛΒΕ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΤΟΥ πρὸς τὸ ἀπὸ ΞΟ λόγον ἔχει, ὃν ἡ διπλασία τῆς Γ πρὸς τὴν . Καὶ δέδοται ὁ τῆς
διπλασίας τῆς πρὸς τὴν λόγος δέδοται ἄρα καὶ ὁ τοῦ ὑπὸ ΤΟΥ πρὸς τὸ ἀπὸ ΞΟ λόγος. Ἐὰν ἄρα ποιήσωμεν ὡς τὴν πρὸς τὴν διπλασίαν τῆς Γ, οὕτως τὴν ΤΥ πρὸς ἄλλην τινὰ ὡς τὴν Φ, καὶ περὶ τὴν ΤΥ γράψωμεν ἔλλειψιν, ὥστε τὰς καταγομένας ἐν τῇ ὑπὸ ΞΟΒ γωνίᾳ, τουτέστιν
ἐν ἡμισείᾳ ὀρθῆς, δύνασθαι τὰ παρὰ τὴν Φ ἐλλείποντα ὁμοίῳ τῷ ὑπὸ ΤΥ, Φ, ἥξει διὰ τοῦ διὰ τὴν ἀντιστροφὴν τοῦ εἰκοστοῦ θεωρήματος τοῦ πρώτου βιβλίου τῶν Ἀπολλωνίου Κωνικῶν στοιχείων. Γεγράφθω καὶ ἔστω ὡς ἡ ΥΞΤ τὸ ἄρα Ξ σημεῖον ἅπτεται θέσει δεδομένης
ἐλλείψεως. Καὶ ἐπεὶ διαγώνιός ἐστιν ἡ ΛΚ τοῦ ΝΜ παραλληλογράμμου, ἴσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ ΝΞΠ τῷ ὑπὸ ΑΒΜ. Ἐὰν ἄρα διὰ τοῦ Β περὶ ἀσυμπτώτους τὰς ΘΚΜ γράψωμεν ὑπερβολήν, ἥξει διὰ τοῦ Ξ καὶ ἔσται θέσει δεδομένη διὰ τὸ καὶ τὸ Β σημεῖον τῇ θέσει δεδόσθαι καὶ ἑκατέραν τῶν
ΑΒ, ΒΜ καὶ διὰ τοῦτο τὰς ΘΚΜ ἀσυμπτώτους. Γεγράφθω καὶ ἔστω ὡς ἡ ΞΒ· τὸ ἄρα σημεῖον ἅπτεται θέσει δεδομένης ὑπερβολῆς. Ἥπτετο δὲ καὶ θέσει δεδομένης ἐλλείψεως· δέδοται ἄρα τὸ Ξ. Καὶ ἀπ αὐτοῦ κάθετος ἡ ΞΕ· δέδοται ἄρα τὸ Ε. Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΜΒ πρὸς ΒΕ, οὕτως ἡ ΖΑ πρὸς ΑΕ, καὶ δὲδοται ἡ ΑΕ, δέδοται ἄρα καὶ ἡ ΑΖ. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ δέδοται καὶ ἡ ΗΒ.

Συντεθήσεται δὲ οὕτως· ὡς γὰρ ἐπὶ τῆς αὐτῆς καταγραφῆς ἔστω ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα, ἣν δεῖ τεμεῖν, ἡ ΑΒ,
ἡ δὲ δοθεῖσα ἑτέρα ἡ ΑΚ, ὁ δὲ δοθεὶς λόγος ὁ τῆς Γ πρὸς τὴν . Ἤχθω τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΒΜ ἴση οὖσα τῇ ΑΚ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΚΜ, καὶ τῇ μὲν ΚΑ ἴση κείσθω ἡ ΑΡ καὶ ἡ ΒΣ, ἀπὸ δὲ τῶν Ρ, Σ πρὸς ὀρθὰς ἤχθωσαν αἱ ΡΥ, ΣΤ, καὶ πρὸς τῷ Β σημείῳ συνεστάτω ἡμίσεια
ὀρθῆς ἡ ὑπὸ ΑΒΟ, καὶ ἐκβληθεῖσα ἡ ΒΟ ἐφ ἑκάτερα τεμνέτω τὰς ΣΤ, ΡΥ κατὰ τὰ Τ, Υ, καὶ γεγονέτω ὡς ἡ πρὸς τὴν διπλασίαν τῆς Γ, οὕτως ἡ ΤΥ πρὸς τὴν Φ, καὶ περὶ τὴν ΤΥ γεγράφθω ἔλλειψις, ὥστε τὰς καταγομένας ἐν ἡμισείᾳ ὀρθῆς δύνασθαι τὰ παρακείμενα
παρὰ τὴν Φ ἐλλείποντα ὁμοίῳ τῷ ὑπὸ ΤΥ, Φ, διὰ δὲ τοῦ Β περὶ ἀσυμπτώτους τὰς ΑΚ, ΚΜ γεγράφθω ὑπερβολὴ ἡ ΒΞ τέμνουσα τὴν ἔλλειψιν κατὰ τὸ Ξ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ξ ἐπὶ τὴν ΑΒ κάθετος ἤχθω ἡ ΞΕ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Π, διὰ δὲ τοῦ Ξ τῇ ΑΒ παράλληλος ἤχθω ἡ ΛΞΝ,
καὶ ἐκβεβλήσθωσαν αἱ ΚΑ, ΜΒ ἐπὶ τὰ , Θ, καὶ ἡ ΜΕ ἐπιζευχθεῖσα ἐκβεβλήσθω καὶ συμπιπτέτω τῇ ΚΝ κατὰ τὸ Θ. Ἐπεὶ οὖν ὑπερβολή ἐστιν ἡ ΒΞ, ἀσύμπτωτοι δὲ αἱ ΘΚ, ΚΜ, ἴσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ ΝΞΓ τῷ ὑπὸ ΑΒΜ διὰ τὸ η θεώρημα τοῦ δευτέρου βιβλίου τῶν Ἀπολλωνίου
Κωνικῶν στοιχείων, καὶ διὰ τοῦτο εὐθεῖά ἐστιν ἡ ΚΕΛ. Κείσθω οὖν τῇ μὲν ΘΑ ἴση ἡ ΑΖ, τῇ δὲ ΛΒ ἴση ἡ ΒΗ. Ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ διπλασία τῆς πρὸς τὴν , οὕτως ἡ Φ πρὸς τὴν ΤΥ, ὡς δὲ ἡ Φ πρὸς τὴν ΤΥ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΤΟΥ πρὸς τὸ ἀπὸ ΞΟ διὰ τὸ κ θεώρημα τοῦ πρώτου

βιβλίου τῶν Ἀπολλωνίου Κωνικῶν στοιχείων, ὡς ἄρα ἡ διπλασία τῆς πρὸς τὴν , οὕτως τὸ ὑπὸ ΤΟΥ πρὸς τὸ ἀπὸ ΞΟ. Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΤΒ πρὸς ΒΟ, οὕτως ἡ ΣΒ πρὸς ΒΕ, καὶ συνθέντι ὡς ἡ ΤΟ πρὸς ΟΒ, οὕτως ἡ
ΣΕ πρὸς ΕΒ. Ἀλλ ὡς ἡ ΒΟ πρὸς ΟΥ, οὕτως ἡ ΒΕ πρὸς ΕΡ καὶ διʼ ἴσου ἄρα ὡς ἡ ΤΟ πρὸς ΟΥ, οὕτως ἡ ΣΕ πρὸς ΕΡ. Καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΤΟΥ πρὸς τὸ ἀπὸ ΟΥ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΣΕΡ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΡ· ἐναλλὰξ ὡς τὸ ὑπὸ ΤΟΥ πρὸς τὸ ὑπὸ ΣΕΡ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΟΥ πρὸς
τὸ ἀπὸ ΕΡ, Ἀλλὰ τὸ ἀπὸ ΟΥ τοῦ ἀπὸ ΕΡ διπλάσιον διὰ τὸ καὶ τὸ ἀπὸ ΒΟ τοῦ ἀπὸ ΒΕ ἴση γάρ ἐστιν ἡ ΒΕ τῇ ΕΟ ἡμισείας ὀρθῆς οὔσης ἑκατέρας τῶν πρὸς τοῖς Β, Ο· καὶ τὸ ὑπὸ ΤΟΥ ἄρα διπλάσιόν ἐστι τοῦ ὑπὸ ΣΕΡ. Ἐπεὶ οὖν ἐδείχθη ὡς ἡ διπλασία τῆς Γ πρὸς
τὴν , οὕτως τὸ ὑπὸ ΤΟΥ πρὸς τὸ ἀπὸ ΞΟ, καὶ τῶν ἡγουμένων τὰ ἡμίση ὡς ἄρα ἡ πρὸς τὴν , οὕτως τὸ ὑπὸ ΡΕΣ πρὸς τὸ ἀπὸ ΞΟ, τουτέστι πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΗ ἴση γὰρ ἡ ΞΟ τῷ ΕΗ διὰ τὸ ἑκατέραν αὐτῶν ἴσην εἶναι συναμφοτέρῳ τῇ ΛΒΕ. Ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς συναμφότερος
ἡ ΘΑΕ πρὸς συναμφότερον τὴν ΜΒΕ, οὕτως συναμφότερος ἡ ΚΑΕ πρὸς συναμφότερον τὴν ΛΒΕ ἑκάτερος γὰρ τῶν λόγων ὁ αὐτὸς ἐστι τῷ τῆς ΑΕ πρὸς ΕΒ· τὸ ἄρα ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΘΑΕ καὶ συναμφοτέρου τῆς ΛΒΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς
ΚΑΕ καὶ συναμφοτέρου τῆς ΜΒΕ. Ἀλλὰ συναμφοτέρῳ μὲν τῇ ΘΑΕ ἴση ἐστὶν ἡ ΖΕ, συναμφοτέρῳ δὲ τῇ ΛΒΕ ἴση ἡ ΕΗ, συναμφοτέρῳ δὲ τῇ ΚΑΕ ἴση ἡ ΡΕ, συναμφοτέρῳ δὲ τῇ ΜΒΕ ἴση ἡ ΕΣ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΖΕΗ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΡΕΣ. Ἀλλ ὡς ἡ πρὸς τὴν , οὕτως τὸ ὑπὸ ΡΕΣ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΗ· καὶ ὡς ἄρα ἡ πρὸς τὴν , οὕτως τὸ ὑπὸ ΖΕΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΗ. Ἀλλ ὡς τὸ ὑπὸ ΖΕΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΗ, οὕτως ἡ ΖΕ πρὸς ΕΗ καὶ ὡς ἄρα ἡ
Γ πρὸς τὴν , οὕτως ἡ ΖΕ πρὸς ΕΗ. Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΜΒ πρὸς ΒΕ, οὕτως ἡ ΘΑ πρὸς ΑΕ, ἴση δὲ ἡ ΘΑ τῇ ΖΑ, ὡς ὄρα ἡ ΜΒ πρὸς ΒΕ, οὕτως ἡ ΖΑ πρὸς ΑΕ. Διὰ τὰ αὐτὰ καὶ ὡς ἡ ΚΑ πρὸς ΑΕ, οὕτως ἡ ΗΒ πρὸς ΒΕ. Εὐθείας ἄρα δοθείσης τῆς ΑΒ καὶ ἑτέρας τῆς ΑΚ καὶ
λόγου τοῦ τῆς πρὸς τὴν εἴληπται ἐπὶ τῆς ΑΒ τυχὸν σημεῖον τὸ Ε, καὶ προσετέθησαν εὐθεῖαι αἱ ΖΑ, ΗΒ, καὶ γέγονεν ἐν τῷ δοθέντι λόγῳ ἡ ΖΕ πρὸς ΕΗ, ἔτι τὲ ἐστιν ὡς ἡ δοθεῖσα ἡ ΜΒ πρὸς ΒΕ, οὕτως ἡ ΖΑ πρὸς ΑΕ, ὡς δὲ αὐτὴ ἡ δοθεῖσα ἡ ΚΑ πρὸς ΑΕ, οὕτως ἡ ΗΒ
πρὸς ΒΕ ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.

Τούτων δεδειγμένων δυνατόν ἐστι τὴν δοθεῖσαν σφαῖραν εἰς τὸν δοθέντα λόχον τεμεῖν οὕτως· ἔστω γὰρ τῆς δοθείσης σφαίρας διάμετρος ἡ ΑΒ, ὁ δὲ δοθεὶς λόχος. ὃν δεῖ ἔχεν τὰ τμήματα τῆς σφαίρας πρὸς ἄλληλα, ὁ
τῆς πρὸς τὴν κέντρον δὲ τῆς σφαίρας ἔστω τὸ Ε, καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ΑΒ σημεῖον τὸ Ζ, καὶ προσκείσθωσαν αἱ ΗΑ, ΘΒ, ὥστε εἶναι ὡς τὴν πρὸς τὴν , οὕτως τὴν ΗΖ πρὸς τὴν ΖΘ, ἔτι τε εἶναι ὡς μὲν τὴν ΗΑ πρὸς ΑΖ,

οὕτως δοθεῖσαν τὴν ΕΒ πρὸς ΒΖ, ὡς δὲ τὴν ΘΒ πρὸς ΒΖ, οὕτως τὴν αὐτὴν δοθεῖσαν τὴν ΕΑ πρὸς ΑΖ· τοῦτο γὰρ ὡς δυνατὸν ποιεῖν προδέδεικται καὶ διὰ τοῦ Ζ τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΚΖΛ, καὶ διὰ τῆς ΚΛ ἐπίπεδον
ἐκβληθὲν ὀρθὸν πρὸς τὴν ΑΒ τεμνέτω τὴν σφαῖραν. Λέγω ὅτι τὰ τμήματα τῆς σφαίρας πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχει τὸν τῆς Γ πρὸς τὴν .

Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ ΗΑ πρὸς ΑΖ, οὕτως ἡ ΕΒ πρὸς ΒΖ, καὶ συνθέντι· ὡς ἄρα ἡ ΗΖ πρὸς ΖΑ, οὕτως συναμφότερος
ἡ ΕΒ, ΒΖ πρὸς ΒΖ· ὁ ἄρα κῶνος ὁ βάσιν μὲν ἔχων τὸν κύκλον τὸν περὶ διάμετρον τὴν ΚΛ, ὕψος δὲ τὴν ΖΗ, ἴσος ἐστὶ τῷ τμήματι τῆς σφαίρας τῷ βάσιν μὲν ἔχοντι τὴν αὐτήν, ὕψος δὲ τὴν ΖΑ. Πάλιν, ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΘΒ πρὸς ΒΖ, οὕτως ἡ ΕΑ πρὸς ΑΖ, καὶ συνθέντι
ἐστὶν ὡς ἡ ΘΖ πρὸς ΒΖ, οὕτως συναμφότερος ἡ ΕΑ, ΑΖ πρὸς ΑΖ ὁ ἄρα κῶνος ὁ βάσιν ἔχων τὸν περὶ διάμετρον τὴν ΚΛ κύκλον, ὕψος δὲ τὴν ΖΘ, ἴσος ἐστὶ τῷ τμήματι τῆς σφαίρας τῷ βάσιν μὲν ἔχοντι τὴν αὐτήν, ὕφος δὲ τὴν ΒΖ. Ἐπεὶ οὖν οἱ εἰρημένοι κῶνοι ἐπὶ τῆς αὐτῆς
βάσεως ὄντες πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς τὰ ὕψη, τουτέστιν ὡς ἡ ΗΖ πρὸς ΖΘ, τουτέστιν ἡ Γ πρὸς τὴν , καὶ τὰ τμήματα ἄρα τῆς σφαίρας πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχει τὸν δοθέντα ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.

Ὡς δὲ δεῖ διὰ τοῦ δοθέντος σημείου περὶ τὰς δοθείσας
ἀσυμπτώτους γράψαι ὑπερβολὴν δείξομεν οὕτως, ἐπειδὴ οὐκ αὐτόθεν κεῖται ἐν τοῖς κωνικοῖς στοιχείοις.

Ἔστωσαν δύο εὐθεῖαι αἱ ΓΑ, ΑΒ τυχοῦσαν γωνίαν περιέχουσαι τὴν πρὸς τῷ Α, καὶ δεδόσθω σημεῖόν τι τὸ , καὶ προκείσθω διὰ τοῦ περὶ ἀσυμπτώτους τὰς

ΓΑ, ΑΒ γράψαι ὑπερβολήν. Ἐπεζεύχθω ἡ Α καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ε, καὶ κείσθω τῇ Α ἴση ἡ ΑΕ, καὶ διὰ τοῦ τῇ ΑΒ παράλληλος ἤχθω ἡ Ζ, καὶ κείσθω τῇ ΑΖ ἴση ἡ ΖΓ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ Γ ἐκβεβλήσθω
ἐπὶ τὸ Β, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΒ ἴσον ἔστω τὸ ὑπὸ Ε, Η, καὶ ἐκβληθείσης τῆς Α γεγράφθω περὶ αὐτὴν διὰ τοῦ ὑπερβολή, ὥστε τὰς καταγομένας δύνασθαι τὰ παρὰ τὴν Η ὑπερβάλλοντα ὁμοίῳ τῷ ὑπὸ Ε, Η. Λέγω ὅτι τῆς γεγραμμένης ὑπερβολῆς ἀσύμπτωτοί εἰσιν αἱ ΓΑ, ΑΒ.

Ἐπεὶ γὰρ παράλληλός ἐστιν ἡ Ζ τῇ ΒΑ, καὶ ἴση ἡ ΓΖ τῇ ΖΑ, ἴση ἄρα καὶ ἡ Γ τῇ Β· ὥστε τὸ ἀπὸ τῆς ΓΒ τετραπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς Γ. Καί ἐστι τὸ ἀπὸ ΓΒ ἴσον τῷ ὑπὸ Ε, Η· ἑκάτερον ἄρα τῶν ἀπὸ Γ, Β τέταρτον μέρος ἐστὶ τοῦ ὑπὸ Ε, Η εἴδους. Αἱ ἄρα ΓΑ,
ΑΒ ἀσύμπτωτοί εἰσι τῆς ὑπερβολῆς διὰ τὸ πρῶτον θεώρημα τοῦ β βιβλίου τῶν Ἀπολλωνίου Κωνικῶν στοιχείων.

Ἐν δὲ τῇ συνθέσει προσεκβάλλων τὴν διάμετρον τῆς σφαίρας τὴν Β καὶ ἀποθέμενος τῇ ἡμισείᾳ αὐτῆς ἴσην τὴν ΖΒ καὶ τεμὼν αὐτὴν εἰς τὸν δοθέντα λόχον κατὰ
τὸ Θ καὶ ἐπὶ τῆς Β λαβὼν τὸ Χ οὕτως, ὥστε εἶναι ὡς τὴν ΧΖ πρὸς ΘΖ, οὕτως τὸ ἀπὸ Β πρὸς τὸ ἀπὸ Χ, τὰ αὐτὰ κατασκευάζων τοῖς πρότερόν φησι ὅτι γεγονέτω ὡς συναμφότερος ἡ ΚΧ πρὸς Χ, οὕτως ἡ ΡΧ πρὸς ΧΒ, καὶ τίθησιν τὸ Ρ μεταξὺ τῶν Θ, Ζ.

Ὅτι δὲ τοῦτο οὕτως ἔχει δεικτέον. Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς συναμφότερος ἡ ΚΧ πρὸς Χ, ἡ ΡΧ πρὸς ΧΒ, διελόντι ὡς ἡ Κ πρὸς Χ, ἡ ΡΒ πρὸς ΧΒ· ἐναλλὰξ ὡς ἡ Κ πρὸς ΡΒ, ἡ Χ πρὸς ΒΧ. Μείζων δὲ ἡ ΔΧ τῆς ΧΒ· μείζων ἄρα καὶ ἡ ΚΒ τῆς ΒΡ, τουτέστιν ἡ ΖΒ τῆς ΒΡ· ὥστε
τὸ Ρ ἐντὸς τοῦ Ζ πεσεῖται. Ὅτι δὲ καὶ ἐκτὸς τοῦ Θ δειχθήσεται ὁμοίως τοῖς ἐν τῇ ἀναλύσει προελθούσης πάσης τῆς συνθέσεως τοῦ θεωρήματος. Συνάγεται γὰρ ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΡΧ πρὸς ΧΛ, ἡ ΒΘ πρὸς ΘΖ· ὥστε καὶ συνθέντι, Καὶ διὰ τοῦτο γίνεται ἀκόλουθος τοῖς ἄνω
εἰρημένοις καὶ ἐνταῦθα ἡ δεῖξις.

Καὶ διʼ ἴσου ἐν τῇ τεταραχμένῃ ἀναλογίᾳ Τεταραγμένην ἀναλογίαν ἐν τοῖς Στοιχείοις ἐμάθομεν τριῶν ὄντων μεγεθῶν καὶ ἄλλων αὐτοῖς ἴσων τὸ πλῆθος, ὅταν ᾖ ὡς μὲν ἡγούμενον πρὸς ἑπόμενον ἐν τοῖς πρώτοις
μεγέθεσιν, οὕτως ἐν τοῖς δευτέροις μεγέθεσιν ἡφούμενον πρὸς ἑπόμενον, ὡς δὲ ἑπόμενον πρὸς ἄλλο τι ἐν τοῖς

πρώτοις, οὕτως ἐν τοῖς δευτέροις ἄλλο τι πρὸς ἡγούμενον. Κἀνταῦθα οὖν δέδεικται ὡς μὲν ἡγούμενον ἡ ΡΛ πρὸς ἑπόμενον τὴν Λ, οὕτως ἡγούμενον ἡ ΧΖ πρὸς ἑπόμενον τὴν ΖΘ, ὡς δὲ ἑπόμενον ἡ Λ πρὸς ἄλλο τι τὴν ΛΧ,
οὕτως ἄλλο τι ἡ ΒΖ πρὸς ἡγούμενον τὴν ΧΖ. Ἕπεται ἄρα καὶ διʼ ἴσου, ὡς δέδεικται ἐν τῷ πέμπτῳ τῶν Στοιχείων, ὡς ἡ ΡΛ πρὸς ΛΧ, οὕτως ἡ ΒΖ πρὸς ΖΘ.

Καὶ ἐπεὶ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΕΖΗ τμῆμα τῷ ΘΚΛ τμήματι,
ὅμοιος ἄρα ἐστὶ καὶ ὁ ΕΖΩ κῶνος τῷ ΨΘΚ κώνῳ Νενοήσθωσαν γὰρ χωρὶς κείμεναι αἱ καταγραφαὶ καὶ ἐπεζευγμέναι αἱ ΕΗ, ΗΖ, ΕΟ, ΟΖ, ΘΛ, ΛΚ, ΘΞ, ΞΚ. Ἐπεὶ οὖν ὅμοιά ἐστι τὰ ΕΖΗ, ΘΚΛ τμήματα, ἴσαι εἰσὶν καὶ αἱ ὑπὸ ΕΗΖ, ΘΛΚ γωνίαι· ὥστε καὶ αἱ ἡμίσειαι αὐτῶν.
Καί εἰσιν ὀρθαὶ αἱ πρὸς τοῖς Φ, Υ· καὶ ἡ λοιπὴ ἄρα τῇ λοιπῇ ἐστιν ἴση. Ἰσογώνιον ἄρα τὸ ΗΦΖ τρίγωνον τῷ ΛΥΚ, καὶ ἔστιν ὡς ἡ ΗΦ πρὸς ΦΖ, ἡ ΛΥ πρὸς ΥΚ. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ἰσογωνίων ὄντων τῶν ΦΖΟ, ΥΚΞ τριγώνων ἐστὶν ὡς ἡ ΖΦ πρὸς ΦΟ, ἡ ΚΥ πρὸς ΥΞ· δι ἴσου ἄρα,

ὡς ἡ ΗΦ πρὸς ΦΟ, ἡ ΛΥ πρὸς ΥΞ. Καὶ συνθέντι ὡς ἡ ΗΟ πρὸς ΟΦ, ἡ ΛΞ πρὸς ΞΥ· καὶ τῶν ἡγουμένων τὰ ἡμίση ὡς ἡ ΣΟ πρὸς ΟΦ, ἡ ΡΞ πρὸς ΞΥ· καὶ συνθέντι ὡς συναμφότερος ἡ ΣΟΦ πρὸς ΦΟ, τουτέστιν ἡ ΩΦ
πρὸς ΦΗ, οὕτως συναμφότερος ἡ ΡΞΥ πρὸς ΞΥ, τουτέστιν ἡ ΨΥ πρὸς ΥΛ. Ἀλλ ὡς ἡ ΗΦ πρὸς ΦΖ, ἡ ΛΥ πρὸς ΥΚ· καὶ διʼ ἴσου ἄρα ὡς ἡ ΩΦ πρὸς ΦΖ, ἡ ΨΥ πρὸς ΥΚ· καὶ τῶν ἑπομένων τὰ διπλάσια ὡς ἄρα ἡ ΩΦ πρὸς ΕΖ, ἡ ΨΥ πρὸς ΘΚ. Τῶν ἄρα ΩΕΖ, ΨΘΚ κώνων ἀνάλογόν
εἰσιν οἱ ἄξονες καὶ αἱ διάμετροι τῶν βάσεων· ὅμοιοι ἄρα εἰσὶν οἱ κῶνοι· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Λόγος δὲ τῆς ΩΦ πρὸς τὴν ΕΖ δοθείς Ἐπεὶ γὰρ δέδοται τὰ τμήματα τῶν σφαιρῶν, δεδομέναι εἰσὶ καὶ αἱ διάμετροι τῶν βάσεων καὶ τὰ ὕψη τῶν τμημάτων· ὥστε
δὲδοται ἡ ΕΖ καὶ ἡ ΗΦ. Καὶ ἡ ἡμίσεια ἄρα τῆς ΕΖ ἡ ΕΦ δοθήσεται ὥστε καὶ τὸ ἀπ αὐτῆς. Καί ἐστιν ἴσον τῷ ὑπὸ ΗΦΟ. Ἐὰν δὲ δοθὲν παρὰ δοθεῖσαν παραβληρῇ, πλάτος ποιεῖ δοθεῖσαν δοθεῖσα ἄρα ἡ ΦΟ. Ἀλλὰ καὶ ἡ ΦΗ· καὶ ὅλη ἄρα ἡ διάμετρος τῆς σφαίρας
δοθεῖσά ἐστι, καὶ διὰ τοῦτο καὶ ἡ ἡμίσεια αὐτῆς δέδοται ἡ ΣΟ. Ἀλλὰ μὴν καὶ ἡ ΟΦ δέδοται ἄρα καὶ ὁ τῆς ΣΟ πρὸς ΟΦ λόγος. Καὶ συνθέντι ὁ συναμφοτέρου τῆς ΣΟΦ πρὸς τὴν ΟΦ λόγος δοθείς ἐστιν, τουτέστι τῆς ΩΦ πρὸς ΦΗ. Καὶ δέδοται ἡ ΦΗ· δέδοται ἄρα καὶ ἡ ΩΦ. Ἀλλὰ
μὴν καὶ ἡ ΕΖ· δέδοται ἄρα καὶ ὁ τῆς ΩΦ πρὸς ΕΖ λόγος.

Τὰ αὐτὰ δὲ ἂν ῥηθείη καὶ ἐπὶ τοῦ ΑΒΓ τμήματος, καὶ συναχθήσεται ὁ τῆς ΧΤ πρὸς ΑΒ λόγος δοθείς· καὶ διὰ τὸ δοθεῖσαν εἶναι τὴν ΑΒ δοθεῖσα ἔσται καὶ ἡ XT.

Ὅτι δέ, ἂν τὰ τμήματα δεδομένα ᾗ, καὶ τὰ ὕψη αὐτῶν

δοθήσονται πρόδηλον μέν, ἵνα δὲ καὶ τοῦτο ἀκολούθως τῇ στοιχειώσει τῶν Δεδομένων δοκῇ συνάγεσθαι, λεχθήσεται.

Ἐπειδὴ δέδοται τὰ τμήματα τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει,
δέδοται καὶ ἡ ΕΖ καὶ ἡ ἐν τῷ τμήματι γωνία· ὥστε καὶ ἡ ἡμίσεια αὐτῆς. Καὶ ἐὰν νοήσωμεν ἐπιζευγνυμένην τὴν ΕΗ, δεδομένης τῆς πρὸς τῷ Φ ὀρθῆς δεδομένη ἔσται καὶ ἡ λοιπὴ καὶ τὸ ΕΗΦ τρίχωνον τῷ εἴδει· ὥστε καὶ ὁ τῆς ΕΦ πρὸς ΦΗ λόγος δοθεὶς ἔσται. Καὶ δέδοται
ἡ ΕΦ ἡμίσεια οὖσα τῆς ΕΖ δέδοται ἄρα καὶ ἡ ΦΗ.

Ἔνεοτι δὲ καὶ ἄλλως λέγειν. Ἐπειδὴ δέδοται ἡ ΕΖ τῇ θέσει, καὶ ἀπὸ δεδομένου τοῦ Φ, διχοτομία γάρ ἐστι τῆς ΕΖ, πρὸς ὀρθὰς ἦκται ἡ ΦΗ τῇ θέσει, δέδοται δὲ καὶ ἡ περιφέρεια τοῦ τμήματος τῇ θέσει, δέδοται ἄρα
τὸ Η. Ἦν δὲ καὶ τὸ Φ δεδομένον δέδοται ἄρα καὶ ἡ ΦΗ.

Ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΨΥ πρὸς ΧΤ, τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΚ, οὕτως ἡ ΚΘ πρὸς Ἐπεὶ γὰρ γέγονεν ὡς ἡ ΨΥ πρὸς ΘΚ, ἡ ΧΤ πρὸς , ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΨΥ πρὸς ΧΤ, ἡ ΚΘ πρὸς . Ἀλλ ὡς ἡ ΨΥ πρὸς ΧΤ,
τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΚ· ἴσων γὰρ ὄντων τῶν κώνων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν, ὡς δὲ αἱ βάσεις πρὸς ἀλλήλας, οὕτως τὰ ἀπὸ τῶν διαμέτρων τετράγωνα καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΒΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΚ, ἡ ΘΚ πρὸς τὴν .

Καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΘΚ, ἡ Ϛ πρὸς Ἐπειδὴ τῷ λόγῳ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΚ ὁ αὐτὸς ἐδείχθη ὁ τῆς ΒΑ πρὸς Ϛ καὶ ὁ τῆς ΚΘ πρὸς , καὶ ὁ τῆς ΒΑ ἄρα πρὸς Ϛ ὁ αὐτός ἐστι τῷ τῆς ΚΘ πρὸς · ὥστε ἐναλλάξ ἐστιν ὡς ἡ ΒΑ πρὸς ΘΚ, ἡ Ϛ πρὸς .