Commentarii in libros de sphaera et cylindro (30)

Ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι ἄνισοι αἱ ΑΒ, ΒΓ· δεῖ δὴ τῶν ΑΒ, ΒΓ δύο μέσας ἀνάλογον εὑρεῖν ἐν συνεχεῖ ἀναλογίᾳ.

Ἤχθω ἀπὸ τοῦ Β τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΒΕ, καὶ κέντρῳ τῷ Β, διαστήματι δὲ τῷ ΒΑ, ἡμικύκλιον γεγράφθω τὸ ΑΕ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τὸ Γ εὐθεῖα ἐπιζευχθεῖσα διήχθω ἐπὶ τὸ Ζ, καὶ ἀπὸ τοῦ διήχθω τις εὐθεῖα οὕτως ὥστε ἴσην εἶναι τὴν ΗΘ τῇ ΘΚ· τοῦτο γὰρ δυνατόν
καὶ ἢχθωσαν ἀπὸ τῶν Η, ἐπὶ τὴν δὲ κἀθετοι αἱ ΗΛ, ΚΝΜ. Ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΚΘ πρὸς ΘΗ, ἡ ΜΒ πρὸς ΒΛ, ἴση δὲ ἡ ΚΘ τῇ ΘΗ, ἴση ἄρα καὶ ἡ ΜΒ τῇ ΒΛ ὥστε καὶ λοιπὴ ἡ ΜΕ τῇ Λ. Καὶ ὅλη ἄρα ἡ Μ τῇ ΛΕ ἐστὶν ἴση, καὶ διὰ τοῦτό ἐστιν ὡς ἡ Μ πρὸς Λ, ἡ ΛΕ πρὸς ΕΜ.
Ἀλλ ὡς μὲν ἡ Μ πρὸς Λ, ἡ ΚΜ πρὸς ΗΛ, ὡς δὲ ἡ ΛΕ πρὸς ΕΜ, ἡ ΗΛ πρὸς ΝΜ. Πάλιν ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ Μ πρὸς ΜΚ, ἡ ΚΜ πρὸς ΜΕ, ὡς ἄρα ἡ Μ πρὸς Ε, οὕτως τὸ ἀπὸ Μ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΚ, τουτέστι τὸ ἀπὸ Β πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΘ, τουτέστι τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΘ· ἴση
γὰρ ἡ Β τῇ ΒΑ. Πάλιν ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ Μ πρὸς Β,

ἡ ΛΕ πρὸς ΕΒ, ἀλλ ὡς μὲν ἡ Μ πρὸς Β ἡ ΚΜ πρὸς ΘΒ, ὡς δὲ ἡ ΛΕ πρὸς ΕΒ, ἡ ΗΛ πρὸς ΓΒ, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΚΜ πρὸς ΘΒ, ἡ ΗΛ πρὸς ΓΒ · καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΚΜ πρὸς ΗΛ, ἡ ΘΒ πρὸς ΓΒ. Ἀλλ ὡς ἡ ΚΜ πρὸς ΗΛ, ἡ Μ
πρὸς Λ τουτέστιν ἡ Μ πρὸς ΜΕ, τουτέστι τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΒ · καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΒ, ἡ ΒΘ πρὸς ΒΓ. Εἰλήφθω τῶν ΘΒ, ΒΓ μέση ἀνάλογον ἡ Ξ. Ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΘ, ἡ ΘΒ πρὸς ΒΓ, ἀλλὰ τὸ μὲν ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ
ἀπὸ ΒΘ διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΒ πρὸς ΒΘ, ἡ δὲ ΘΒ πρὸς ΒΓ διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΘΒ πρὸς Ξ, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΒ πρὸς ΒΘ, ἡ ΒΘ πρὸς Ξ. Ἀλλ ὡς ἡ ΘΒ πρὸς Ξ, ἡ Ξ πρὸς ΒΓ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΒ πρὸς ΒΘ, ἡ ΘΒ πρὸς Ξ καὶ ἡ Ξ πρὸς ΒΓ.

Φανερὸν δὲ ὅτι καὶ αὕτη ἡ αὐτή ἐστιν τῇ τε ὑπὸ Πάππου καὶ Διοκλέους γεγραμμένῃ.