Commentarii in libros de sphaera et cylindro (28)

Ἐν κύκλῳ διήχθωσαν δύο διάμετροι πρὸς ὀρθὰς αἱ ΑΒ, Γ, καὶ δύο περιφέρειαι ἴσαι ἀπειλήφθωσαν ἐφ ἑκάτερα τοῦ Β αἱ ΕΒ, ΒΖ, καὶ διὰ τοῦ Ζ παράλληλος τῇ ΑΒ ἤχθω ἡ ΖΗ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ Ε. Λέγω ὅτι τῶν ΓΗ, ΗΘ
δύο μέσαι ἀνάλογόν εἰσιν αἱ ΖΗ, Η.

Ἤχθω γὰρ διὰ τοῦ Ε τῇ ΑΒ παράλληλος ἡ ΕΚ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ΕΚ τῇ ΖΗ, ἡ δὲ ΚΓ τῇ Η. Ἔσται γὰρ τοῦτο δῆλον ἀπὸ τοῦ Λ ἐπὶ τὰ Ε, Ζ ἐπιζευχθεισῶν εὐθειῶν· ἴσαι γὰρ γίνονται αἱ ὑπὸ ΓΛΕ, ΖΛ, καὶ ὀρθαὶ αἱ πρὸς
τοῖς Κ, Η· καὶ πάντα ἄρα πᾶσιν διὰ τὸ τὴν ΛΕ τῇ ΛΖ

ἴσην εἶναι· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΓΚ τῇ Η ἴση ἐστίν. Ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ Κ πρὸς ΚΕ, ἡ Η πρὸς ΗΘ, ἀλλ ὡς ἡ Κ πρὸς ΚΕ, ἡ ΕΚ πρὸς ΚΓ· μέση γὰρ ἀνάλογον ἡ ΕΚ τῶν Κ, ΚΓ· ὡς ἄρα ἡ Κ πρὸς ΚΕ καὶ ἡ ΕΚ πρὸς
ΚΓ, οὕτως ἡ Η πρὸς ΗΘ. Καί ἐστιν ἴση ἡ μὲν Κ τῇ ΓΗ, ἡ δὲ ΚΕ τῇ ΖΗ, ἡ δὲ ΚΓ τῇ Η· ὡς ἄρα ἡ ΓΗ πρὸς ΗΖ, ἡ ΖΗ πρὸς Η καὶ ἡ Η πρὸς ΗΘ. Ἐὰν δὴ παῤ ἑκάτερα τοῦ Β ληφθῶσιν περιφέρειαι ἴσαι αἱ ΜΒ, ΒΝ, καὶ διὰ μὲν τοῦ Ν παράλληλος ἀχθῇ τῇ ΑΒ ἡ ΝΞ, ἐπιζευχθῇ δὲ ἡ
Μ, ἔσονται πάλιν τῶν ΓΞ, Ξ0 μέσαι ἀνάλογον αἱ ΝΞ, Ξ. Πλειόνων οὖν οὕτως καὶ συνεχῶν παραλλήλων ἐκβληθεισῶν μεταξὺ τῶν Β, καὶ ταῖς ἀπολαμβανομέναις ὑπʼ αὐτῶν περιφερείαις πρὸς τῷ Β ἴσων τεθεισῶν ἀπὸ τοῦ Β ὡς ἐπὶ τὸ Γ καὶ ἐπὶ τὰ γενόμενα σημεῖα ἐπιζευχθεισῶν
εὐθειῶν ἀπὸ τοῦ , ὡς τῶν ὁμοίων ταῖς Ε, Μ, τμηθήσονται αἱ παράλληλοι αἱ μεταξὺ τῶν Β, κατά τινα σημεῖα, ἐπὶ τῆς προκειμένης καταγραφῆς τὰ Ο, Θ, ἐφ ἃ κανόνος παραθέσει ἐπιζεύξαντες εὐθείας ἕξομεν καταγεγραμμένην ἐν τῷ κύκλῳ τινὰ γραμμήν, ἐφ ἧς ἐὰν ληφθῇ
τυχὸν σημεῖον καὶ διʼ αὐτοῦ παράλληλος ἀχθῇ τῇ ΛΒ, ἔσται ἡ ἀχθεῖσα καὶ ἡ ἀπολαμβανομένη ὑπ αὐτῆς ἀπὸ τῆς διαμέτρου πρὸς τῷ μέσαι ἀνάλογον τῆς τε ἀπολαμβανομένης ὑπʼ αὐτῆς ἀπὸ τῆς διαμέτρου πρὸς τῷ Γ σημείῳ καὶ τοῦ μέρους αὐτῆς τοῦ ἀπὸ τοῦ ἐν τῇ γραμμῇ
σημείου ἐπὶ τὴν Γ διάμετρον.

Τούτων προκατεσκευασμένων ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι, ὧν δεῖ δύο μέσας ἀνάλογον εὑρεῖν, αἱ Α, Β, καὶ ἔστω κύκλος, ἐν ᾧ δύο διάμετροι πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις αἱ Γ, ΕΖ, καὶ γεγράφθω ἐν αὐτῷ ἡ διὰ τῶν συνεχῶν
σημείων γραμμή, ὡς προείρηται, ἡ ΘΖ, καὶ γεγονέτω ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, ἡ ΓΗ πρὸς ΗΚ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΓΚ καὶ ἐκβληθεῖσα τεμνέτω τὴν γραμμὴν κατὰ τὸ Θ, καὶ διὰ τοῦ Θ τῇ ΕΖ παράλληλος ἤχθω ἡ ΛΜ· διὰ ἄρα τὰ προγεγραμμένα τῶν ΓΛ, ΛΘ μέσαι ἀνάλογόν εἰσιν
αἱ ΜΛ, Λ. Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΓΛ πρὸς ΛΘ, οὕτως ἡ ΓΗ πρὸς ΗΚ, ὡς δὲ ἡ ΓΗ πρὸς ΗΚ, οὕτως ἡ Α πρὸς τὴν Β, ἐὰν ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ταῖς ΓΛ, ΛΜ, Λ, ΛΘ παρεμβάλωμεν μέσας τῶν Α, Β, ὡς τὰς Ν, Ξ, ἔσονται εἰλημμέναι τῶν Α, Β μέσαι ἀνάλογον αἱ Ν, Ξ· ὅπερ ἕδει
εὑρεῖν.