Commentarii in libros de sphaera et cylindro (26-30)

Ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΒΓ, ὧν δεῖ δύο μέσας ἀνάλογον εὑρεῖν. Κείσθωσαν ὥστε ὀρθὴν γωνίαν περιέχειν τὴν πρὸς τῷ Β, καὶ ἐπιζευχθείσης
τῆς ΑΓ γεγράφθω περὶ αὐτὴν ἡμικύκλιον τὸ ΑΒΕΓ, καὶ πρὸς ὀρθὰς ἤχθωσαν τῇ μὲν ΒΑ ἡ Α, τῇ δε ΒΓ

ἡ ΓΖ, καὶ παρακείσθω κανὼν κινούμενος πρὸς τῷ Β τέμνων τὰς Α, ΓΖ καὶ κεκινήσθω περὶ τὸ Β, ἄχρις ἂν ἡ ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ τὸ ἴση γένηται τῇ ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τὸ Ζ, τουτέστι τῇ μεταξὺ τῆς τε περιφερείας τοῦ κύκλου
καὶ τῆς ΓΖ. Νενοήσθω οὖν ἔχον τὸ κανόνιον θέσιν, οἵαν ἔχει ἡ ΒΕΖ, ἴσης οὔσης, ὡς εἴρηται, τῆς Β τῇ ΕΖ. Λέγω ὅτι αἱ Α, ΓΖ μέσαι ἀνάλογόν εἰσιν τῶν ΑΒ, ΒΓ.

Νενοήσθωσαν γὰρ ἐκβεβλημέναι αἱ Α, ΖΓ καὶ συμπίπτουσαι κατὰ τὸ Θ· φανερὸν δὴ ὅτι παραλλήλων
οὐσῶν τῶν ΒΑ, ΖΘ ἡ πρὸς τῷ Θ γωνία ὀρθή ἐστιν, καὶ ὁ ΑΕΓ κύκλος ἀναπληρούμενος ἥξει καὶ διὰ τοῦ Θ. Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ Β τῇ ΕΖ, καὶ τὸ ὑπὸ ΕΒ ἄρα ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΒΖΕ. Ἀλλὰ τὸ μὲν ὑπὸ ΕΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΘΑ· ἑκάτερον γὰρ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ
τῆς ἐφαπτομένης ἀπὸ τοῦ · τὸ δὲ ὑπὸ ΒΖΕ ἴσον τῷ ὑπὸ ΘΖΓ· ἑκάτερον γὰρ ὁμοίως ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ἐφαπτομένης ἀπὸ τοῦ Ζ· ὥστε καὶ τὸ ὑπὸ ΘΑ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΘΖΓ, καὶ διὰ τοῦτό ἐστιν ὡς ἡ Θ πρὸς ΘΖ, οὕτως ἡ ΓΖ πρὸς Α. Ἀλλ ὡς ἡ Θ πρὸς ΘΖ,
οὕτως ἥ τε ΒΓ πρὸς ΓΖ καὶ ἡ Α πρὸς ΑΒ· τριγώνου

γὰρ τοῦ ΘΖ παρὰ μὲν τὴν Θ ἦκται ἡ ΒΓ, παρὰ δὲ τὴν ΘΖ ἡ ΒΑ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΓ πρὸς ΓΖ, ἡ ΓΖ πρὸς Α καὶ ἡ Α πρὸς ΑΒ· ὅπερ προέκειτο δεῖξαι.

Ἰστέον δὲ ὅτι ἡ τοιαύτη κατασκευὴ σχεδὸν ἡ αὐτή
ἐστι τῇ ὑπὸ Ἥρωνος· τὸ γὰρ ΒΘ παραλληλόγραμμον τὸ αὐτό ἐστι τῷ ληφθέντι ἐπὶ τῆς Ἥρωνος κατασκευῆς καὶ αἱ προσεκβαλλόμεναι πλευραὶ αἱ ΘΑ, ΘΓ καὶ ὁ πρὸς τῷ Β κινούμενος κανών. Ταύτῃ δὲ μόνον διαφέρει, ὅτι ἐκεῖ μὲν μέχρι τοσούτου ἐκινοῦμεν περὶ τὸ Β τὸν
κανόνα, ἄχρις ἂν αἱ ἀπὸ τῆς διχοτομίας τῆς ΑΓ, τουτέστι τοῦ Κ, ἴσαι ὑπʼ αὐτοῦ ἀπετέμνοντο πρὸς τὰς Θ, ΘΖ προσπίπτουσαι, ὡς αἱ Κ, ΚΖ, ἐνταῦθα δέ, ἄχρις ἂν ἡ Β ἴση γένηται τῇ ΕΖ. Ἐφ ἑκατέρας δὲ κατασκευῆς τὸ αὐτὸ ἀκολουθεῖ, τὸ δὲ νῦν εἰρημένον πρὸς χρῆσιν
εὐθετώτερον τὰς γὰρ Β, ΕΖ ἴσας τηρεῖν ἐνδέχεται διῃρημένου τοῦ κανόνος εἰς ἴσα καὶ συνεχῆ πολύ γε εὐκολώτερον τοῦ καρκίνῳ διαπειράζειν τὰς ἀπὸ τοῦ Κ ἴσας πρὸς τὰ , Ζ.

Ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι, ὧν δεῖ δύο μέσας ἀνάλογον εὑρεῖν, αἱ ΒΑΓ ὀρθὴν περιέχουσαι γωνίαν τὴν πρὸς τῷ Α, καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Β, διαστήματι δὲ τῷ ΑΓ, κύκλου περιφέρεια γεγράφθω ἡ ΚΘΛ, καὶ πάλιν κέντρῳ τῷ καὶ διαστήματι τῷ ΑΒ κύκλου περιφέρεια
γεγράφθω ἡ ΜΘΝ καὶ τεμνέτω τὴν ΚΘΛ κατὰ τὸ Θ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΘΑ, ΘΒ, ΘΓ· παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶν τὸ ΒΓ, διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἡ ΘΑ. Τετμήσθω

δίχα ἡ ΘΑ τῷ Ξ, καὶ κέντρῳ τῷ Ξ γεγράφθω κύκλος τέμνων τὰς ΑΒ, ΑΓ ἐκβληθείσας κατὰ τὰ , Ε, ὥστε μέντοι τὰ , Ε ἐπ εὐθείας εἶναι τῷ Θ ὅπερ ἂν γένοιτο κανονίου κινουμένου περὶ τὸ Θ τέμνοντος τὰς Α, ΑΕ
καὶ παραγομένου ἐπὶ τοσοῦτον, ἄχρις ἂν αἱ ἀπὸ τοῦ Ξ ἐπὶ τὰ , Ε ἴσαι γένωνται.

Τούτου γὰρ γενομένου ἔσται τὸ ζητούμενον· ἡ γὰρ αὐτὴ κατασκευή ἐστι τῇ τε ὑπὸ Ἥρωνος καὶ φίλωνος γεγραμμένῃ, καὶ δῆλον ὅτι ἡ ἀπόδειξις ἡ αὐτὴ ἁρμόσει.

Ἐν κύκλῳ διήχθωσαν δύο διάμετροι πρὸς ὀρθὰς αἱ ΑΒ, Γ, καὶ δύο περιφέρειαι ἴσαι ἀπειλήφθωσαν ἐφ ἑκάτερα τοῦ Β αἱ ΕΒ, ΒΖ, καὶ διὰ τοῦ Ζ παράλληλος τῇ ΑΒ ἤχθω ἡ ΖΗ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ Ε. Λέγω ὅτι τῶν ΓΗ, ΗΘ
δύο μέσαι ἀνάλογόν εἰσιν αἱ ΖΗ, Η.

Ἤχθω γὰρ διὰ τοῦ Ε τῇ ΑΒ παράλληλος ἡ ΕΚ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ΕΚ τῇ ΖΗ, ἡ δὲ ΚΓ τῇ Η. Ἔσται γὰρ τοῦτο δῆλον ἀπὸ τοῦ Λ ἐπὶ τὰ Ε, Ζ ἐπιζευχθεισῶν εὐθειῶν· ἴσαι γὰρ γίνονται αἱ ὑπὸ ΓΛΕ, ΖΛ, καὶ ὀρθαὶ αἱ πρὸς
τοῖς Κ, Η· καὶ πάντα ἄρα πᾶσιν διὰ τὸ τὴν ΛΕ τῇ ΛΖ

ἴσην εἶναι· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΓΚ τῇ Η ἴση ἐστίν. Ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ Κ πρὸς ΚΕ, ἡ Η πρὸς ΗΘ, ἀλλ ὡς ἡ Κ πρὸς ΚΕ, ἡ ΕΚ πρὸς ΚΓ· μέση γὰρ ἀνάλογον ἡ ΕΚ τῶν Κ, ΚΓ· ὡς ἄρα ἡ Κ πρὸς ΚΕ καὶ ἡ ΕΚ πρὸς
ΚΓ, οὕτως ἡ Η πρὸς ΗΘ. Καί ἐστιν ἴση ἡ μὲν Κ τῇ ΓΗ, ἡ δὲ ΚΕ τῇ ΖΗ, ἡ δὲ ΚΓ τῇ Η· ὡς ἄρα ἡ ΓΗ πρὸς ΗΖ, ἡ ΖΗ πρὸς Η καὶ ἡ Η πρὸς ΗΘ. Ἐὰν δὴ παῤ ἑκάτερα τοῦ Β ληφθῶσιν περιφέρειαι ἴσαι αἱ ΜΒ, ΒΝ, καὶ διὰ μὲν τοῦ Ν παράλληλος ἀχθῇ τῇ ΑΒ ἡ ΝΞ, ἐπιζευχθῇ δὲ ἡ
Μ, ἔσονται πάλιν τῶν ΓΞ, Ξ0 μέσαι ἀνάλογον αἱ ΝΞ, Ξ. Πλειόνων οὖν οὕτως καὶ συνεχῶν παραλλήλων ἐκβληθεισῶν μεταξὺ τῶν Β, καὶ ταῖς ἀπολαμβανομέναις ὑπʼ αὐτῶν περιφερείαις πρὸς τῷ Β ἴσων τεθεισῶν ἀπὸ τοῦ Β ὡς ἐπὶ τὸ Γ καὶ ἐπὶ τὰ γενόμενα σημεῖα ἐπιζευχθεισῶν
εὐθειῶν ἀπὸ τοῦ , ὡς τῶν ὁμοίων ταῖς Ε, Μ, τμηθήσονται αἱ παράλληλοι αἱ μεταξὺ τῶν Β, κατά τινα σημεῖα, ἐπὶ τῆς προκειμένης καταγραφῆς τὰ Ο, Θ, ἐφ ἃ κανόνος παραθέσει ἐπιζεύξαντες εὐθείας ἕξομεν καταγεγραμμένην ἐν τῷ κύκλῳ τινὰ γραμμήν, ἐφ ἧς ἐὰν ληφθῇ
τυχὸν σημεῖον καὶ διʼ αὐτοῦ παράλληλος ἀχθῇ τῇ ΛΒ, ἔσται ἡ ἀχθεῖσα καὶ ἡ ἀπολαμβανομένη ὑπ αὐτῆς ἀπὸ τῆς διαμέτρου πρὸς τῷ μέσαι ἀνάλογον τῆς τε ἀπολαμβανομένης ὑπʼ αὐτῆς ἀπὸ τῆς διαμέτρου πρὸς τῷ Γ σημείῳ καὶ τοῦ μέρους αὐτῆς τοῦ ἀπὸ τοῦ ἐν τῇ γραμμῇ
σημείου ἐπὶ τὴν Γ διάμετρον.

Τούτων προκατεσκευασμένων ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι, ὧν δεῖ δύο μέσας ἀνάλογον εὑρεῖν, αἱ Α, Β, καὶ ἔστω κύκλος, ἐν ᾧ δύο διάμετροι πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις αἱ Γ, ΕΖ, καὶ γεγράφθω ἐν αὐτῷ ἡ διὰ τῶν συνεχῶν
σημείων γραμμή, ὡς προείρηται, ἡ ΘΖ, καὶ γεγονέτω ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, ἡ ΓΗ πρὸς ΗΚ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΓΚ καὶ ἐκβληθεῖσα τεμνέτω τὴν γραμμὴν κατὰ τὸ Θ, καὶ διὰ τοῦ Θ τῇ ΕΖ παράλληλος ἤχθω ἡ ΛΜ· διὰ ἄρα τὰ προγεγραμμένα τῶν ΓΛ, ΛΘ μέσαι ἀνάλογόν εἰσιν
αἱ ΜΛ, Λ. Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΓΛ πρὸς ΛΘ, οὕτως ἡ ΓΗ πρὸς ΗΚ, ὡς δὲ ἡ ΓΗ πρὸς ΗΚ, οὕτως ἡ Α πρὸς τὴν Β, ἐὰν ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ταῖς ΓΛ, ΛΜ, Λ, ΛΘ παρεμβάλωμεν μέσας τῶν Α, Β, ὡς τὰς Ν, Ξ, ἔσονται εἰλημμέναι τῶν Α, Β μέσαι ἀνάλογον αἱ Ν, Ξ· ὅπερ ἕδει
εὑρεῖν.

Προέθετο μὲν ὁ Πάππος κύβον εὑρεῖν πρὸς τὸν δοθέντα κύβον λόχον ἔχοντα δεδομένον, καὶ ὡς πρὸς τὴν τοιαύτην πρόθεσιν καὶ τὰ τῆς ἀποδείξεως αὐτῷ προέρχεται,
δῆλον δὲ ὅτι τούτου εὑρισκομένου καὶ τὸ προκείμενον εὑρίσκεται· δύο γὰρ δοθεισῶν εὐθειῶν ἐὰν τῶν ὀφειλουσῶν μέσων εὑρεθῆναι ἡ δευτέρα εὑρεθῇ, καὶ ἡ τρίτη αὐτόθεν δοθήσεται.

Γεγράφθω γάρ, ὥς φησιν αὐτὸς κατὰ λέξιν, ἡμικύκλιον
τὸ ΑΒΓ, καὶ ἀπὸ τοῦ κέντρου πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ Β, καὶ κινείσθω κανόνιον περὶ τὸ σημεῖον, ὥστε τὸ μὲν ἓν πέρας αὐτοῦ περικεῖσθαι τυλίῳ τινὶ κατὰ τὸ σημεῖον ἑστῶτι, τὸ δὲ λοιπὸν μέρος ὡς περὶ κέντρον τὸ τυλάριον κινεῖσθαι μεταξὺ τῶν Β, Γ. Τούτων δὲ κατεσκευασμένων
ἐπιτετάχθω δύο κύβους εὑρεῖν λόγον ἔχοντας πρὸς ἀλλήλους τὸν ἐπιταχθέντα.

Καὶ τῷ λόγῳ ὁ αὐτὸς πεποιήσθω ὁ τῆς Β πρὸς Ε, καὶ ἐπζευχθεῖσα ἡ ΓΕ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ζ. Παραγέσθω

δὴ τὸ κανόνιον μεταξὺ τῶν Β, Γ, ἕως οὖ τὸ ἀπολαμβανόμενον αὐτοῦ μέρος μεταξὺ τῶν ΖΕ, ΕΒ εὐθειῶν ἴσον γένηται τῷ μεταξὺ τῆς ΒΕ εὐθείας καὶ τῆς ΒΚΓ περιφερείας· τοῦτο γὰρ πειράζοντες καὶ μετάγοντες τὸ κανόνιον
ῥᾳδίως ποιήσομεν. Γεγονέτω δή, καὶ ἐχέτω θέσιν τὴν ΑΚ, ὥστε ἴσας εἶναι τὰς ΗΘ, ΘΚ. Λέγω ὅτι ὁ ἀπὸ τῆς Β κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς Θ κύβον λόγον ἔχει τὸν ἐπιταχθέντα, τουτέστι τὸν τῆς Β πρὸς Ε.

Νενοήσθω γὰρ ὁ κύκλος ἀναπεπληρωμένος, καὶ ἐπιζευχθεῖσα
ἡ Κ ἐκβεβλήοθω ἐπὶ τὸ Λ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΛΗ· παράλληλος ἄρα ἐστὶν τῇ Β διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν μὲν ΚΘ τῇ ΗΘ, τὴν δὲ Κ τῇ Λ. Ἐπεζεύχθω δὴ ἥ τε ΑΛ καὶ ἡ ΛΓ. Ἐπεὶ οὖν ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΛΓ, ἐν ἡμικυκλίῳ γάρ, καὶ κάθετος ἡ ΛΜ, ἔστιν ἄρα ὡς
τὸ ἀπὸ ΛΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΑ, τουτὲστιν ἡ ΤΜ πρὸς ΜΑ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΗ. Κοινὸς προσκείσθω ὁ τῆς ΑΜ πρὸς ΜΗ λόγος· ὁ ἄρα συγκείμενος λόγος ἔκ τε τοῦ τῆς ΓΜ πρὸς ΜΑ καὶ τοῦ τῆς ΑΜ πρὸς ΜΗ, τουτέστιν ὁ τῆς ΓΜ πρὸς ΜΗ λόγος, ὁ αὐτός ἐστι
τῷ συγκειμένῳ ἔκ τε τοῦ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΗ καὶ τοῦ τῆς ΑΜ πρὸς ΜΗ. Ὁ δὲ συγκείμενος λόγος ἔκ τε τοῦ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΗ καὶ τοῦ τῆς ΑΜ πρὸς ΜΗ ὁ αὐτός ἐστι τῷ λόγῳ, ὃν ἔχει ὁ ἀπὸ τῆς ΑΜ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΜΗ· καὶ ὁ τῆς ΓΜ ἄρα
πρὸς ΜΗ λόγος ὁ αὐτός ἐστι τῷ λόχῳ, ὃν ἔχει ὁ ἀπὸ τῆς ΑΜ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΜΗ. Ἀλλ ὡς μὲν ἡ ΓΜ πρὸς ΜΗ, οὕτως ἡ Γ πρὸς Ε, ὡς δὲ ἡ ΑΜ πρὸς ΜΗ, ἡ Α πρὸς Θ καὶ ὡς ἄρα ἡ Β πρὸς Ε, τουτέστιν

ὡς ὁ δοθεὶς λόγος, οὕτως ὁ ἀπὸ τῆς Β κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς Θ κύβον. Τῶν ἄρα ὀφειλουσῶν εὑρεθῆναι δύο μέσων ἀνάλογον τῶν Β, δὲ δευτέρα ἐστὶν ἡ Θ καὶ ἐὰν ποιήσωμεν ὡς τὴν Β πρὸς Θ, τὴν Θ πρὸς
ἄλλην τινά, ἔσται καὶ ἡ τρίτη ηὑρημένη.

Προσέχειν δὲ χρὴ ὡς καὶ ἡ τοιαύτη κατασκευὴ ἡ αὐτή ἐστι τῇ ὑπὸ Διοκλέους εἰρημένῃ τούτῳ μόνον διαφέρουσα φέρουσα τῷ ἐκεῖνον μὲν γραμμήν τινα καταγράφειν διὰ συνεχῶν σημείων μεταξὺ τῶν Α, Β, ἐφ ἧς ἐλαμβάνετο
τὸ Η ἐκβαλλομένης τῆς ΓΕ καὶ τεμνούσης τὴν εἰρημένην γραμμήν, ἐνταῦθα δὲ τὸ Η πορίζεται διὰ τοῦ ΑΚ κανόνος κινουμένου περὶ τὸ Α. Ὅτι γὰρ τὸ Η τὸ αὐτό ἐστι, εἴτε ὡς ἐνταῦθα διὰ τοῦ κανόνος ληφθῇ, εἴτε ὡς ἔφη Διοκλῆς, μάθοιμεν ἂν οὕτως. Ἐκβληθείσης τῆς ΜΗ κατὰ τὸ Ν
ἐπεζεύχθω ἡ ΚΝ. Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΚΘ τῇ ΘΗ, καὶ παράλληλος ἡ ΗΝ τῇ ΘΒ, ἴση ἐστὶ καὶ ἡ ΚΞ τῇ ΞΝ. Καὶ κοινὴ καὶ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΞΒ· ἡ γὰρ ΚΝ δίχα τε καὶ πρὸς ὀρθὰς τέμνεται ὑπὸ τῆς διὰ τοῦ κέντρου καὶ βάσις ἄρα βάσει ἴση, καὶ διὰ τοῦτο καὶ ἡ ΚΒ περιφέρεια τῇ
ΒΝ. Tὸ ἄρα Η ἐστὶν τὸ ἐπὶ τῆς γραμμῆς τοῦ Διοκλέους. Καὶ ἡ ἀπόδειξις δὴ ἡ αὐτή ἐστιν. Ἐφασκεν γὰρ ὁ Διοκλῆς ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΓΜ πρὸς ΜΝ, οὕτως ἡ ΜΝ πρὸς ΜΑ καὶ ἡ ΑΜ πρὸς ΜΗ. Ἴση δέ ἐστιν ἡ ΝΜ τῇ ΜΛ· ἡ γὰρ διάμετρος πρὸς ὀρθὰς αὐτὴν τέμνει· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΜ πρὸς ΜΛ,
οὕτως ἡ ΛΜ πρὸς ΜΑ καὶ ἡ ΑΜ πρὸς ΜΗ. Τῶν ἄρα ΓΜ, ΜΗ μέσαι ἀνάλογόν εἰσιν αἱ ΛΜ, ΜΑ. Ἀλλ ὡς μὲν ἡ ΓΜ πρὸς ΜΗ, ἡ Γ πρὸς Ε, ὡς δὲ ἡ ΓΜ πρὸς ΜΛ, ἡ ΑΜ πρὸς ΜΗ, τουτέστιν ἡ Γ πρὸς Θ καὶ τῶν δύο μέσων ἄρα τῶν Γ, Ε δευτέρα ἐστὶν ἡ Θ, ἥντινα
ἐπορίσατο καὶ ὁ Πάππος.

Ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι ἄνισοι αἱ ΑΒ, ΒΓ· δεῖ δὴ τῶν ΑΒ, ΒΓ δύο μέσας ἀνάλογον εὑρεῖν ἐν συνεχεῖ ἀναλογίᾳ.

Ἤχθω ἀπὸ τοῦ Β τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΒΕ, καὶ κέντρῳ τῷ Β, διαστήματι δὲ τῷ ΒΑ, ἡμικύκλιον γεγράφθω τὸ ΑΕ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τὸ Γ εὐθεῖα ἐπιζευχθεῖσα διήχθω ἐπὶ τὸ Ζ, καὶ ἀπὸ τοῦ διήχθω τις εὐθεῖα οὕτως ὥστε ἴσην εἶναι τὴν ΗΘ τῇ ΘΚ· τοῦτο γὰρ δυνατόν
καὶ ἢχθωσαν ἀπὸ τῶν Η, ἐπὶ τὴν δὲ κἀθετοι αἱ ΗΛ, ΚΝΜ. Ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΚΘ πρὸς ΘΗ, ἡ ΜΒ πρὸς ΒΛ, ἴση δὲ ἡ ΚΘ τῇ ΘΗ, ἴση ἄρα καὶ ἡ ΜΒ τῇ ΒΛ ὥστε καὶ λοιπὴ ἡ ΜΕ τῇ Λ. Καὶ ὅλη ἄρα ἡ Μ τῇ ΛΕ ἐστὶν ἴση, καὶ διὰ τοῦτό ἐστιν ὡς ἡ Μ πρὸς Λ, ἡ ΛΕ πρὸς ΕΜ.
Ἀλλ ὡς μὲν ἡ Μ πρὸς Λ, ἡ ΚΜ πρὸς ΗΛ, ὡς δὲ ἡ ΛΕ πρὸς ΕΜ, ἡ ΗΛ πρὸς ΝΜ. Πάλιν ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ Μ πρὸς ΜΚ, ἡ ΚΜ πρὸς ΜΕ, ὡς ἄρα ἡ Μ πρὸς Ε, οὕτως τὸ ἀπὸ Μ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΚ, τουτέστι τὸ ἀπὸ Β πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΘ, τουτέστι τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΘ· ἴση
γὰρ ἡ Β τῇ ΒΑ. Πάλιν ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ Μ πρὸς Β,

ἡ ΛΕ πρὸς ΕΒ, ἀλλ ὡς μὲν ἡ Μ πρὸς Β ἡ ΚΜ πρὸς ΘΒ, ὡς δὲ ἡ ΛΕ πρὸς ΕΒ, ἡ ΗΛ πρὸς ΓΒ, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΚΜ πρὸς ΘΒ, ἡ ΗΛ πρὸς ΓΒ · καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΚΜ πρὸς ΗΛ, ἡ ΘΒ πρὸς ΓΒ. Ἀλλ ὡς ἡ ΚΜ πρὸς ΗΛ, ἡ Μ
πρὸς Λ τουτέστιν ἡ Μ πρὸς ΜΕ, τουτέστι τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΒ · καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΒ, ἡ ΒΘ πρὸς ΒΓ. Εἰλήφθω τῶν ΘΒ, ΒΓ μέση ἀνάλογον ἡ Ξ. Ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΘ, ἡ ΘΒ πρὸς ΒΓ, ἀλλὰ τὸ μὲν ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ
ἀπὸ ΒΘ διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΒ πρὸς ΒΘ, ἡ δὲ ΘΒ πρὸς ΒΓ διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΘΒ πρὸς Ξ, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΒ πρὸς ΒΘ, ἡ ΒΘ πρὸς Ξ. Ἀλλ ὡς ἡ ΘΒ πρὸς Ξ, ἡ Ξ πρὸς ΒΓ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΒ πρὸς ΒΘ, ἡ ΘΒ πρὸς Ξ καὶ ἡ Ξ πρὸς ΒΓ.

Φανερὸν δὲ ὅτι καὶ αὕτη ἡ αὐτή ἐστιν τῇ τε ὑπὸ Πάππου καὶ Διοκλέους γεγραμμένῃ.