Commentarii in libros de sphaera et cylindro (25)

Ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΒΓ, ὧν δεῖ δύο μέσας ἀνάλογον εὑρεῖν. Κείσθωσαν ὥστε ὀρθὴν
γωνίαν περιέχειν τὴν πρὸς τῷ Β, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ Β παραλληλόγραμμον, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΓ, Β φανερὸν δὴ ὅτι ἴσαι οὖσαι δίχα τέμνουσιν ἀλλήλας· ὁ γὰρ περὶ μίαν αὐτῶν γραφόμενος κύκλος ἥξει καὶ διὰ τῶν περάτων τῆς ἑτέρας διὰ τὸ ὀρθογώνιον εἶναι τὸ
παραλληλόγραμμον. Ἐκβεβλήσθωσαν αἱ Γ, Α ἐπὶ τὰ Ζ, Η, καὶ νοείσθω κανόνιον ὡς τὸ ΖΒΗ κινούμενον περί τινα τύλον μένοντα πρὸς τῷ Β καὶ κινείσθω, ἕως ἀποτέμοις ἴσας τὰς ἀπὸ τοῦ Ε, τουτέστι τὰς ΕΗ, ΕΖ. Καὶ νοείσθω ἀποτεμὸν καὶ θέσιν ἔχον τὴν ΖΒΗ ἴσων,

ὡς εἴρηται, γινομένων τῶν ΕΗ, ΕΖ ἤχθω δὴ ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τὴν Γ κάθετος ἡ ΕΘ· δίχα δὴ τέμνει δηλονότι τὴν Γ. Ἐπεὶ οὖν δίχα τέτμηται ἡ Γ κατὰ τὸ Θ, καὶ πρόσκειται ἡ ΓΖ, τὸ ὑπὸ ΖΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΘ ἴσον
ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΘΖ. Κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ ΕΘ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΖΓ μετὰ τῶν ἀπὸ ΓΘ, ΘΕ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ ΖΘ, ΘΕ. Καί ἐστι τοῖς μὲν ἀπὸ ΓΘ, ΘΕ ἴσον τὸ ἀπὸ ΓΕ, τοῖς δὲ ἀπὸ ΖΘ, ΘE ἴσον τὸ ἀπὸ ΕΖ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΖΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ ἴσον τῷ ἀπὸ ΕΖ. Ὁμοίως δὴ
δειχθήσεται ὅτι καὶ τὸ ὑπὸ ΗΑ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΑΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΕΗ. Καὶ ἔστιν ἴση ἡ μὲν ΑΕ τῇ ΕΓ, ἡ δὲ ΗΕ τῇ ΕΖ· καὶ τὸ ὑπὸ ΖΓ ἄρα ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΗΑ ἐὰν δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσον ᾖ τῷ ὑπὸ τῶν μέσων, αἱ τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογόν εἰσιν· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ
Ζ πρὸς Η, οὕτως ἡ ΑΗ πρὸς ΓΖ. Ἀλλ ὡς ἡ Ζ πρὸς Η, οὕτως ἡ ΖΓ πρὸς ΓΒ καὶ ἡ ΒΑ πρὸς ΑΗ τριγώνου γὰρ τοῦ ΖΗ παρὰ μίαν μὲν τὴν Η ἦκται ἡ ΓΒ, παρὰ δὲ τὴν Ζ ἡ ΑΒ· ὡς ἄρα ἡ ΒΑ πρὸς ΑΗ, οὕτως ἡ ΑΗ πρὸς ΓΖ καὶ ἡ ΓΖ πρὸς ΓΒ. Τῶν ἄρα ΑΒ, ΒΓ μέσαι
ἀνάλογόν εἰσιν αἱ ΑΗ, ΓΖ ὅπερ ἔδει εὑρεῖν.