Commentarii in libros de sphaera et cylindro (10-13)

Ἡ δὲ Γ πρὸς τὴν μείζονα λόγον ἔχει ἢ τὸ πολύγωνον
τὸ ἐν τῷ Α κύκλῳ ἐγγεγραμμένον πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν τῆς πυραμίδος τῆς ἐγγεγραμμένης εἰς τὸν κῶνον Ἡ γὰρ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου πρὸς τὴν πλευρὰν τοῦ κώνου μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ἀπὸ τοῦ κέντρου κάθετος ἀγομένη ἐπὶ μίαν πλευρὰν τοῦ πολυγώνου πρὸς τὴν
ἐπὶ τὴν πλευρὰν τοῦ πολυγώνου κάθετον ἀγομένην ἀπὸ τῆς κορυφῆς τοῦ κώνου.

Νενοήσθω γὰρ χωρὶς ἡ ἐν τῷ ῥητῷ καταγραφὴ καὶ εἰς τὸν Α κύκλον ἐγγεγραμμένον πολύγωνον τὸ ΖΘΚ,

καὶ ἀπὸ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου τοῦ Α ἐπὶ μίαν πλευρὰν τοῦ πολυγώνου τὴν ΘΚ κάθετος ἤχθω ἡ ΑΗ· φανερὸν δὴ ὅτι τὸ ὑπὸ τῆς περιμέτρου τοῦ πολυγώνου καὶ τῆς ΑΗ διπλάσιόν ἐστι τοῦ πολυγώνου. Νενοήσθω δὴ καὶ τοῦ
κώνου κορυφὴ τὸ Λ σημεῖον καὶ ἀπὸ τοῦ Λ ἐπὶ τὸ Η ἐπεζευγμένη ἡ ΛΗ, ἥτις κάθετος γίνεται ἐπὶ τὴν ΘΚ, ὡς ἐδείχθη ἐν τῷ λήμματι τοῦ ή θεωρήματος. Ἐπεὶ οὖν ἰσόπλευρόν ἐστι τὸ ἐγγεγραμμένον πολύγωνον, ἔστι δὲ καὶ ἰσοσκελὴς ὁ κῶνος, αἱ ἀπὸ τοῦ Λ ἐφ ἑκάστην
τῶν πλευρῶν τοῦ πολυγώνου ἀγόμεναι κάθετοι ἴσαι εἰσὶ τῇ ΛΗ· ἑκάστη γὰρ αὐτῶν δύναται τὸ ἀπὸ τοῦ ἄξονος καὶ τῆς ἴσης τῇ ΑΗ. Διὰ δὲ τοῦτο καὶ τὸ ὑπὸ τῆς περιμέτρου τοῦ πολυγώνου καὶ τῆς ΛΗ διπλάσιόν ἐστι τῆς ἐπιφανείας τῆς πυραμίδος τὸ γὰρ ὑφ ἑκάστης
πλευρᾶς καὶ τῆς ἀπὸ τῆς κορυφῆς καθέτου ἐπ αὐτὴν ἀγομένης ἴσης τῇ ΛΗ διπλάσιόν ἐστι τοῦ καθ ἑαυτὴν τριγώνου. Ὥστε ἐστὶν ὡς ἡ ΑΗ πρὸς ΗΛ, τὸ πολύγωνον πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν τῆς πυραμίδος κοινοῦ ὕψους τῆς περιμέτρου τοῦ πολυγώνου λαμβανομένης. Ἀχθείσης
δὴ τῆς ΗΝ παρὰ τὴν ΜΛ ἔσται ὡς ἡ ΑΜ πρὸς MΛ, ἡ ΑΗ πρὸς ΗΝ. δὲ ΑΗ πρὸς ΗΝ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὴν ΗΛ μείζων γὰρ ἡ ΛΗ τῆς ΗΝ· καὶ ἡ ΑΜ ἄρα πρὸς ΜΛ, τουτέστιν ἡ πρὸς τὴν , μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΗ πρὸς ΗΛ, τουτέστιν ἤπερ τὸ πολύγωνον πρὸς
τὴν ἐπιφάνειαν τῆς πυραμίδος.

Καὶ ἐπεὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΗ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν Β Ζ καὶ τῷ ὑπὸ τῆς Α καὶ συναμφοτέρου τῆς Ζ, ΑΗ

διὰ τὸ παράλληλον εἶναι τὴν Ζ τῇ ΑΗ Ἐπεὶ γὰρ παράλληλός ἐστιν ἡ Ζ τῇ ΑΗ, ἔστιν ὡς ἡ ΒΑ πρὸς ΑΗ, ἡ Β πρὸς Ζ· καὶ διὰ τοῦτο τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων τῶν ΒΑ, Ζ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν μέσων τῶν Β, ΑΗ. Ἀλλὰ τὸ
ὑπὸ τῶν ΒΑ, Ζ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν Β, Ζ καὶ τῷ ὑπὸ τῶν Α, Ζ διὰ τὸ πρῶτον θεώρημα τοῦ β βιβλίου τῆς Στοιχειώσεως· καὶ τὸ ὑπὸ τῶν Β, ΑΗ ἄρα ἴσον ἐστὶ τῷ τε ὑπὸ Β, Ζ καὶ τῷ ὑπὸ Α, Ζ. Κοινὸν προσκείσθω τὸ ὑπὸ Α, ΑΗ· τὸ ἄρα ὑπὸ Β, ΑΗ μετὰ
τοῦ ὑπὸ Α, ΑΗ, ὅπερ ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΒΑ, ΑΗ, ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ Β, Ζ καὶ τῷ ὑπὸ Α, Ζ καὶ ἔτι τῷ ὑπὸ Α, ΑΗ.

Tὸ δὲ πλῇθος τῶν πλευρῶν τοῦ πολυγώνου μετρείσθω
ὑπὸ τετράδος Ὑπὸ τετράδος βούλεται μετρεῖσθαι τὰς πλευρὰς τοῦ πολυγώνου διὰ τὸ τοῦ κύκλου κινουμένου περὶ τὴν ΑΓ διάμετρον πάσας τὰς πλευρὰς κατὰ κωνικῶν φέρεσθαι ἐπιφανειῶν χρησίμου ἐσομένου αὐτῷ ἐν τοῖς ἑξῆς τοῦ τοιούτου. Μὴ γὰρ ὑπὸ τετράδος μετρουμένων
τῶν πλευρῶν τοῦ πολυγώνου, κἂν ἀρτιόπλευρον ᾖ, οὐ πάσας δυνατὸν κατὰ κωνικῶν φέρεσθαι ἐπιφανειῶν, ὡς κατανοῆσαι ἔνεστιν ἐπὶ τῶν τοῦ ἑξαφώνου πλευρῶν· δύο γὰρ τὰς ἀπεναντίον αὐτοῦ παραλλήλους πλευρὰς κατὰ κυλινδρικῆς φέρεσθαι ἐπιφανείας συμβαίνει. Ὅπερ, ὡς
εἴρηται, οὐ χρήσιμον αὐτῷ πρὸς τὰ ἑξῆς.

Ἡ δὲ ΚΘ ἴση ἐστὶ τῇ διαμέτρῳ τοῦ ΑΒΓ κύκλου Ἐὰν γὰρ ἀπὸ τοῦ Χ ἐπιζεύξωμεν ἐπὶ τὸ σημεῖον, καθ ὃ ἐφάπτεται ἡ ΚΖ τοῦ ΑΒΓ κύκλου, νοούμενον τὸ Μ,
ὁμοίως δὲ καὶ τὴν ΧΚ, ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΧΚ τῇ ΧΖ, εἰσὶν δὲ καὶ ὀρθαὶ αἱ πρὸς τῷ Μ, ἴση γίνεται καὶ ἡ ΚΜ τῇ ΜΖ. Ἀλλὰ μὴν καὶ ἡ ΖΧ τῇ ΧΘ ἴση· παράλληλος ἄρα ἡ ΧΜ τῇ ΚΘ, καὶ διὰ τοῦτο ἔσται ὡς ἡ ΘΖ πρὸς ΖΧ, οὕτως ἡ ΚΘ πρὸς ΧΜ. Διπλῆ δὲ ἡ ΘΖ τῆς ΧΖ· διπλῆ ἄρα καὶ
ἡ ΚΘ τῆς ΧΜ ἐκ τοῦ κέντρου οὔσης τοῦ ΑΒΓ κύκλου.