Scaife ATLAS

CTS Library / Fragmentum [Sp.] (e cod. Paris. 453)

Fragmentum [Sp.] (e cod. Paris. 453) (11-15)

urn:cts:greekLit:tlg2039.tlg004.1st1K-grc1:11-15
Refs {'start': {'reference': '11', 'human_reference': 'Paragraph 11'}, 'end': {'reference': '15', 'human_reference': 'Paragraph 15'}}
Ancestors []
Children []
prev
plain textXML
next

Φανερὸν ὅτι μοῖρα ἤτοι μοῖραι ἐπὶ λεπτὸν καὶ λεπτὰ πρῶτα, πρῶτα λεπτὰ ποιεῖ· ἀλλὰ δὴ πάλιν τὸ πρῶτον ξον, τὸ ΑΞ, διῃρήσθω εἰς ξ καὶ ὁμοίως αἱ παράλληλοι ἐπινοείσθωσαν διὰ τῶν Π, Η· ἔσται ἄρα
τὸ ὑπὸ τῶν ΑΠ ὑπό τε μοίρας καὶ λεπτοῦ δευτέρου ἑνός, καὶ γίνεται διὰ τὰ αὐτὰ μοῖρα ἐπὶ δεύτερον λεπτὸν ἔν, δεύτερον λεπτὸν ἕν· καὶ ὁμοίως ἐπὶ δύο δεύτερα, δεύτερα δύο. διαιρεθέντος δὲ τοῦ πρώτου ξ τῶν δευτέρων ἔξ τοῦ ΑΠ εἰς ξ, τὰ αὐτὰ φήσομεν
καὶ τοῦτο ἀεί· ὥστε μοῖρα καὶ μοῖραι ἐφʼ ἄν εἶδος πολλαπλασιασθῶσι ποιήσουσι τὸ αὐτὸ ἐξ ἀνάγκης εἶδος.

Πάλιν δὴ ἔστω Α διῃρημένη εἰς ξ, ὧν δύο ἔστω τὰ ΑΣ, ΣΥ ξξ πρῶτα· ἐὰν δὴ πολλαπλασιάσω τὸ πρῶτον ξ τὸ ΑΞ ἐπὶ τὸ πρῶτον τὸ ΑΣ, ἔσται τὸ
γενόμενον τὸ ΑΧ δεύτερον γενόμενον· γίνεται γὰρ τοῦ ΑΒ γχ μέρος. ὁμοίως κἂν δύο πρῶτα λεπτὰ τὰ Υ ἐπὶ δύο ὁμοίως πρῶτα τὰ Α πολλαπλασιάζοις, ἕξεις χωορίον γινόμενον τὸ ΑΦ, τοιούτων γὰρ ὂν τεσσάρων οἵων τὸ ΑΒ γχ, ὥστε τὰ γινόμενα ἔσται δεύτερα
καὶ τοῦτο ἑξῆς· ὥστε πρῶτα ἐπὶ πρῶτα ποιεῖ δεύτερα.

[*][*][*]
10

Πάλιν δὴ ἔστω· τοῦ ΑΣ διαιρεθέντος πρώτου ξου εἰς δεύτερα ξξα, ὧν δύο τὰ ΑΡ ΡΨ, ἐὰν μὲν πρῶτα ἐπὶ δεύτερα, οἷον τὸ ΞΑ ἐπὶ τὴν ΨΑ τουτέστι πρῶτον λεπτὸν ἓν ἐπὶ δεύτερα δύο, γίνονται τρίτα λεπτὰ δύο·
τὰ δὲ τρίτα λεπτὰ δύο γίνεται δευτέρου ἑξηκοστὰ δύο, ὅπερ δὴ καὶ ὁρᾶται· ἔστι γὰρ τοῦ Α ὄντος δευτέρου. ξ γχου δύο ἑξηκοστά. ἀλλὰ δὴ κἂν δύο πρῶτα ἐπὶ δύο δεύτερα πολλαπλασιάζοις ἑξῆς, γίνεται τρίτα διὰ τὰ εἰρημένα· εἰ δὲ δεύτερα ἐπὶ δεύτερα, τέταρτα· ἐὰν
γὰρ τὰ ΑΡ ΡΨ δεύτερα δύο ἐπὶ τὰ ΑΠ, ΠΗ ὁμοίως δύο δεύτερα ποιῶν πολλαπλασιάσῃς, ἓξεις τὸ Α χωρίον γινόμενον λεπτῶν δ τετάρτων· γίνεται γὰρ ὁμοίως τοιούτων τὸ ΑΤ τεσσάρων οἵων τὸ ΑΧ γχ.

Σαφηνισθέντωον δὴ τῶν πολλαπλασιασμῶν, δεικτέον
ἑξῆς πῶς τε δεῖ πολλαπλασιάζειν καὶ ἔτι πῶς μερίζειν, πρῶτον ὁρισαμένους τί ἐστι μερισμός· μερισμὸς γάρ ἐστιν ἀριθμοῦ τινος κατὰ ἕτερον ἀριθμὸν διαίρεσις εἰς ἴσα τε καὶ ἰσοπληθῆ ταῖς τοῦ ἀριθμοῦ μονάσι διαιρουμένου, εἴτε μονάδας ἐπὶ μονάδας μερίζειν δέοι,
εἴτε λεπτὰ ἐπὶ λεπτά, εἴτε λεπτὰ καὶ μονάδας ἐπὶ λεπτὰ καὶ μονάδας.

Λέγεται δὲ καὶ ἄλλως μερίζεσθαι ἀριθμός, ὁπόταν διαιρῆται εἰς ἄνισα ὁποσαοῦν, ἀπλῶς γὰρ παρὰ τὸ διαμερίζεσθαι τὴν τοῦ ἀριθμοῦ σύνθεσιν· ἀλλʼ ἐπιστῆσαί
ἐστιν ὅτι ἄλλο τι ποιεῖ μερισμὸς οὗτος· διὸ καὶ οἱ πολλοὶ μᾶλλον τὸ τοιοῦτο διαίρεσιν ἀριθμοῦ καλοῦσιν, οὐκέτι δὲ μερισμόν· γὰρ κυρίως μερισμὸς τεταγμένος ἐστί· κατὰ γὰρ τὴν αὐτὴν τάξιν τῷ πολλαπλασιασμῷ [*] [*]

11
τέτακται, κἂν δοκῇ ἐναντίως αὐτῷ ἔχειν, ὅτι μὲν σύνθεσις, οὗτος δὲ διαίρεσίς ἐστι· τάξιν δὲ ὁμοίαν ἔχουσιν ὅτι, ὥσπερ ἐκεῖνος ἰσάκις συνετέθη, οὕτως καὶ οὗτος ἰσάκις μερίζεται. γὰρ μερίζων κατὰ ἕτερον ἀριθμὸν μερίζει δοθέντα· τοῦτο γὰρ τέλος τοῦ
μερισμοῦ, τὸ εὑρεῖν ἀριθμόν τινα ὃς πολλαπλασιαζόμενος ἤτοι συντιθέμενος ἐπὶ τὸν παρʼ ὃν γίνεται μερισμός, ποιήσει τὸ τοῦ μεριζομένου πλῆθος.

Tokens

Φανερὸν 1 w 7
ὅτι 1 w 10
μοῖρα 1 w 15
ἤτοι 1 w 19
μοῖραι 1 w 25
ἐπὶ 1 w 28
λεπτὸν 1 w 34
1 w 35
καὶ 1 w 38
λεπτὰ 1 w 43
πρῶτα 1 w 48
πρῶτα 2 w 54
λεπτὰ 2 w 59
ποιεῖ 1 w 64
ἀλλὰ 1 w 69
δὴ 1 w 71
πάλιν 1 w 76
τὸ 2 w 78
πρῶτον 1 w 84
ξον 1 w 87
τὸ 3 w 90
ΑΞ 1 w 92
διῃρήσθω 1 w 101
εἰς 1 w 104
ξ 2 w 105
καὶ 2 w 108
ὁμοίως 1 w 114
αἱ 1 w 116
παράλληλοι 1 w 126
ἐπινοείσθωσαν 1 w 139
διὰ 1 w 142
τῶν 1 w 145
Π 1 w 146
Η 1 w 148
ἔσται 1 w 154
ἄρα 1 w 157
τὸ 4 w 159
ὑπὸ 1 w 162
τῶν 2 w 165
ΑΠ 1 w 167
ὑπό 1 w 170
τε 1 w 172
μοίρας 1 w 178
καὶ 3 w 181
λεπτοῦ 1 w 187
δευτέρου 1 w 195
ἑνός 1 w 199
καὶ 4 w 203
γίνεται 1 w 210
διὰ 2 w 213
τὰ 3 w 215
αὐτὰ 1 w 219
μοῖρα 3 w 224
ἐπὶ 2 w 227
δεύτερον 1 w 235
λεπτὸν 2 w 241
ἔν 1 w 243
δεύτερον 2 w 252
λεπτὸν 3 w 258
ἕν 1 w 260
καὶ 5 w 264
ὁμοίως 2 w 270
ἐπὶ 3 w 273
δύο 1 w 276
δεύτερα 1 w 283
δεύτερα 2 w 291
δύο 2 w 294
διαιρεθέντος 1 w 307
δὲ 1 w 309
τοῦ 2 w 312
πρώτου 1 w 318
ξ 3 w 319
τῶν 3 w 322
δευτέρων 1 w 330
ἔξ 1 w 332
τοῦ 3 w 335
ΑΠ 2 w 337
εἰς 2 w 340
ξ 5 w 341
τὰ 5 w 344
αὐτὰ 2 w 348
φήσομεν 1 w 355
καὶ 6 w 358
τοῦτο 1 w 363
ἀεί 1 w 366
ὥστε 1 w 371
μοῖρα 4 w 376
2 w 377
καὶ 7 w 380
μοῖραι 2 w 386
ἐφʼ 1 w 389
ἄν 1 w 391
εἶδος 1 w 396
πολλαπλασιασθῶσι 1 w 412
ποιήσουσι 1 w 421
τὸ 7 w 423
αὐτὸ 1 w 427
ἐξ 1 w 429
ἀνάγκης 1 w 436
εἶδος 2 w 441
Πάλιν 1 w 447
δὴ 2 w 449
ἔστω 1 w 453
1 w 454
Α 4 w 455
διῃρημένη 1 w 464
εἰς 3 w 467
ξ 7 w 468
ὧν 1 w 471
δύο 3 w 474
ἔστω 2 w 478
τὰ 7 w 480
ΑΣ 1 w 482
ΣΥ 1 w 485
ξξ 1 w 487
πρῶτα 3 w 492
ἐὰν 1 w 496
δὴ 3 w 498
πολλαπλασιάσω 1 w 511
τὸ 9 w 513
πρῶτον 2 w 519
ξ 10 w 520
τὸ 10 w 522
ΑΞ 2 w 524
ἐπὶ 4 w 527
τὸ 11 w 529
πρῶτον 3 w 535
τὸ 12 w 537
ΑΣ 2 w 539
ἔσται 2 w 545
τὸ 13 w 547
γενόμενον 1 w 556
τὸ 14 w 558
ΑΧ 1 w 560
δεύτερον 3 w 568
γενόμενον 2 w 577
γίνεται 2 w 585
γὰρ 1 w 588
τοῦ 5 w 591
ΑΒ 1 w 593
γχ 1 w 595
μέρος 1 w 600
ὁμοίως 3 w 607
κἂν 1 w 610
δύο 4 w 613
πρῶτα 4 w 618
λεπτὰ 3 w 623
τὰ 9 w 625
Υ 2 w 626
ἐπὶ 5 w 629
δύο 5 w 632
ὁμοίως 4 w 638
πρῶτα 5 w 643
τὰ 10 w 645
Α 10 w 646
πολλαπλασιάζοις 1 w 661
ἕξεις 1 w 667
χωορίον 1 w 674
γινόμενον 1 w 683
τὸ 15 w 685
ΑΦ 1 w 687
τοιούτων 1 w 696
γὰρ 2 w 699
ὂν 1 w 701
τεσσάρων 1 w 709
οἵων 1 w 713
τὸ 16 w 715
ΑΒ 2 w 717
γχ 2 w 719
ὥστε 2 w 724
τὰ 11 w 726
γινόμενα 1 w 734
ἔσται 3 w 739
δεύτερα 3 w 746
καὶ 8 w 749
τοῦτο 2 w 754
ἑξῆς 1 w 758
ὥστε 3 w 763
πρῶτα 6 w 768
ἐπὶ 6 w 771
πρῶτα 7 w 776
ποιεῖ 2 w 781
δεύτερα 4 w 788
1 1 w 790
εἰς 4 w 793
delevi 1 w 799
2 1 w 801
δὴ 4 w 803
δὲ 2 w 806
AB 1 w 808
2 2 w 809
3 1 w 811
τὸ 17 w 813
ΑΟ 1 w 815
τῆς 1 w 819
αο 1 w 821
A 2 w 822
6 1 w 824
ἓν 1 w 826
3 w 827
addidi 1 w 833
19 1 w 835
ΑΣ 3 w 837
ΣΥ 2 w 839
ασυ 1 w 843
AB 2 w 845
23 1 w 848
πολλαπλασίας 1 w 860
A 4 w 861
πολλαπλασίαζ 1 w 874
B 3 w 875
cum 1 w 879
marginali 1 w 888
coniectura 1 w 898
πολλαπλασιάζοις 2 w 913
24 1 w 916
τοιοῦτον 1 w 924
AB 3 w 926
26 1 w 929
πρῶτον 4 w 935
ἐπὶ 7 w 938
πρῶτον 5 w 944
AB 4 w 946
Πάλιν 2 w 952
δὴ 5 w 954
ἔστω 3 w 958
τοῦ 7 w 962
ΑΣ 4 w 964
διαιρεθέντος 2 w 976
πρώτου 2 w 982
ξου 1 w 985
εἰς 5 w 988
δεύτερα 5 w 995
ξξα 1 w 998
ὧν 2 w 1001
δύο 6 w 1004
τὰ 12 w 1006
ΑΡ 1 w 1008
ΡΨ 1 w 1010
ἐὰν 2 w 1014
μὲν 1 w 1017
πρῶτα 8 w 1022
ἐπὶ 8 w 1025
δεύτερα 6 w 1032
οἷον 1 w 1037
τὸ 18 w 1039
ΞΑ 1 w 1041
ἐπὶ 9 w 1044
τὴν 1 w 1047
ΨΑ 1 w 1049
τουτέστι 1 w 1057
πρῶτον 6 w 1063
λεπτὸν 4 w 1069
ἓν 2 w 1071
ἐπὶ 10 w 1074
δεύτερα 7 w 1081
δύο 7 w 1084
γίνονται 1 w 1093
τρίτα 1 w 1098
λεπτὰ 4 w 1103
δύο 8 w 1106
τὰ 14 w 1109
δὲ 3 w 1111
τρίτα 2 w 1116
λεπτὰ 5 w 1121
δύο 9 w 1124
γίνεται 3 w 1131
δευτέρου 2 w 1139
ἑξηκοστὰ 1 w 1147
δύο 10 w 1150
ὅπερ 1 w 1155
δὴ 6 w 1157
καὶ 9 w 1160
ὁρᾶται 1 w 1166
ἔστι 1 w 1171
γὰρ 3 w 1174
τοῦ 8 w 1177
Α 19 w 1178
ὄντος 1 w 1183
δευτέρου 3 w 1191
ξ 17 w 1193
γχου 1 w 1197
δύο 11 w 1200
ἑξηκοστά 1 w 1208
ἀλλὰ 2 w 1213
δὴ 7 w 1215
κἂν 2 w 1218
δύο 12 w 1221
πρῶτα 9 w 1226
ἐπὶ 11 w 1229
δύο 13 w 1232
δεύτερα 8 w 1239
πολλαπλασιάζοις 3 w 1254
ἑξῆς 2 w 1258
γίνεται 4 w 1266
τρίτα 3 w 1271
διὰ 3 w 1274
τὰ 17 w 1276
εἰρημένα 1 w 1284
εἰ 7 w 1287
δὲ 4 w 1289
δεύτερα 9 w 1296
ἐπὶ 12 w 1299
δεύτερα 10 w 1306
τέταρτα 1 w 1314
ἐὰν 3 w 1318
γὰρ 4 w 1321
τὰ 18 w 1323
ΑΡ 2 w 1325
ΡΨ 2 w 1327
δεύτερα 11 w 1334
δύο 14 w 1337
ἐπὶ 13 w 1340
τὰ 19 w 1342
ΑΠ 3 w 1344
ΠΗ 1 w 1347
ὁμοίως 5 w 1353
δύο 15 w 1356
δεύτερα 12 w 1363
ποιῶν 1 w 1368
πολλαπλασιάσῃς 1 w 1382
ἓξεις 1 w 1388
τὸ 20 w 1390
Α 22 w 1391
χωρίον 1 w 1397
γινόμενον 2 w 1406
λεπτῶν 1 w 1412
δ 55 w 1413
τετάρτων 1 w 1421
γίνεται 5 w 1429
γὰρ 5 w 1432
ὁμοίως 6 w 1438
τοιούτων 2 w 1446
τὸ 21 w 1448
ΑΤ 1 w 1450
τεσσάρων 2 w 1458
οἵων 2 w 1462
τὸ 22 w 1464
ΑΧ 2 w 1466
γχ 4 w 1468
Σαφηνισθέντωον 1 w 1483
δὴ 8 w 1485
τῶν 5 w 1488
πολλαπλασιασμῶν 1 w 1503
δεικτέον 1 w 1512
ἑξῆς 3 w 1516
πῶς 1 w 1519
τε 23 w 1521
δεῖ 1 w 1524
πολλαπλασιάζειν 1 w 1539
καὶ 10 w 1542
ἔτι 1 w 1545
πῶς 2 w 1548
μερίζειν 1 w 1556
πρῶτον 7 w 1563
ὁρισαμένους 1 w 1574
τί 1 w 1576
ἐστι 1 w 1580
μερισμός 1 w 1588
μερισμὸς 1 w 1597
γάρ 1 w 1600
ἐστιν 1 w 1605
ἀριθμοῦ 1 w 1612
τινος 1 w 1617
κατὰ 1 w 1621
ἕτερον 1 w 1627
ἀριθμὸν 1 w 1634
διαίρεσις 1 w 1643
εἰς 6 w 1646
ἴσα 1 w 1649
τε 25 w 1651
καὶ 11 w 1654
ἰσοπληθῆ 1 w 1662
ταῖς 1 w 1666
τοῦ 9 w 1669
ἀριθμοῦ 2 w 1676
μονάσι 1 w 1682
διαιρουμένου 1 w 1694
εἴτε 1 w 1699
μονάδας 1 w 1706
ἐπὶ 14 w 1709
μονάδας 2 w 1716
μερίζειν 2 w 1724
δέοι 1 w 1728
εἴτε 2 w 1733
λεπτὰ 6 w 1738
ἐπὶ 15 w 1741
λεπτά 1 w 1746
εἴτε 3 w 1751
λεπτὰ 7 w 1756
καὶ 12 w 1759
μονάδας 3 w 1766
ἐπὶ 16 w 1769
λεπτὰ 8 w 1774
καὶ 13 w 1777
μονάδας 4 w 1784
Λέγεται 1 w 1792
δὲ 5 w 1794
καὶ 14 w 1797
ἄλλως 1 w 1802
μερίζεσθαι 1 w 1812
ἀριθμός 1 w 1819
ὁπόταν 1 w 1826
διαιρῆται 1 w 1835
εἰς 7 w 1838
ἄνισα 1 w 1843
ὁποσαοῦν 1 w 1851
ἀπλῶς 1 w 1857
γὰρ 6 w 1860
παρὰ 1 w 1864
τὸ 23 w 1866
διαμερίζεσθαι 1 w 1879
τὴν 2 w 1882
τοῦ 10 w 1885
ἀριθμοῦ 3 w 1892
σύνθεσιν 1 w 1900
ἀλλʼ 1 w 1905
ἐπιστῆσαί 1 w 1914
ἐστιν 2 w 1919
ὅτι 2 w 1922
ἄλλο 1 w 1926
τι 10 w 1928
ποιεῖ 3 w 1933
11 w 1934
μερισμὸς 2 w 1942
οὗτος 1 w 1947
διὸ 1 w 1951
καὶ 15 w 1954
οἱ 1 w 1956
πολλοὶ 1 w 1962
μᾶλλον 1 w 1968
τὸ 24 w 1970
τοιοῦτο 2 w 1977
διαίρεσιν 1 w 1986
ἀριθμοῦ 4 w 1993
καλοῦσιν 1 w 2001
οὐκέτι 1 w 2008
δὲ 6 w 2010
μερισμόν 1 w 2018
12 w 2020
γὰρ 7 w 2023
κυρίως 1 w 2029
μερισμὸς 3 w 2037
τεταγμένος 1 w 2047
ἐστί 1 w 2051
κατὰ 2 w 2056
γὰρ 8 w 2059
τὴν 3 w 2062
αὐτὴν 1 w 2067
τάξιν 1 w 2072
τῷ 1 w 2074
πολλαπλασιασμῷ 1 w 2088
7 1 w 2089
γχ 5 w 2091
glossam 1 w 2098
delevi 2 w 2104
9 2 w 2106
δεύτερα 13 w 2113
alt 1 w 2116
β 1 w 2119
β 2 w 2120
B 6 w 2121
β 3 w 2123
β 4 w 2124
δύο 16 w 2127
A 7 w 2128
11 1 w 2131
ΑΤ 2 w 2133
α 128 w 2135
AB 5 w 2139
13 1 w 2142
τοιούτων 3 w 2150
τὸ 25 w 2152
τοῖς 1 w 2157
AB 6 w 2159
οἵων 3 w 2164
ὁμοίων 1 w 2171
AB 7 w 2173
23 2 w 2176
διαιρεῖται 1 w 2186
AB 8 w 2188
25 1 w 2191
ὅτι 3 w 2194
ὅταν 1 w 2199
B 11 w 2200
τέτακται 1 w 2209
κἂν 3 w 2213
δοκῇ 1 w 2217
ἐναντίως 1 w 2225
αὐτῷ 1 w 2229
ἔχειν 1 w 2234
ὅτι 4 w 2238
14 w 2239
μὲν 2 w 2242
σύνθεσις 1 w 2250
οὗτος 2 w 2256
δὲ 7 w 2258
διαίρεσίς 1 w 2267
ἐστι 4 w 2271
τάξιν 2 w 2277
δὲ 8 w 2279
ὁμοίαν 1 w 2285
ἔχουσιν 1 w 2292
ὅτι 5 w 2295
ὥσπερ 1 w 2301
ἐκεῖνος 1 w 2308
ἰσάκις 1 w 2314
συνετέθη 1 w 2322
οὕτως 1 w 2328
καὶ 16 w 2331
οὗτος 3 w 2336
ἰσάκις 2 w 2342
μερίζεται 1 w 2351
16 w 2353
γὰρ 9 w 2356
μερίζων 1 w 2363
κατὰ 3 w 2367
ἕτερον 2 w 2373
ἀριθμὸν 2 w 2380
μερίζει 3 w 2387
δοθέντα 1 w 2394
τοῦτο 3 w 2400
γὰρ 10 w 2403
τέλος 1 w 2408
τοῦ 12 w 2411
μερισμοῦ 1 w 2419
τὸ 26 w 2422
εὑρεῖν 1 w 2428
ἀριθμόν 1 w 2435
τινα 1 w 2439
ὃς 1 w 2441
πολλαπλασιαζόμενος 1 w 2459
ἤτοι 2 w 2463
συντιθέμενος 1 w 2475
ἐπὶ 17 w 2478
τὸν 5 w 2481
παρʼ 1 w 2485
ὃν 1 w 2487
γίνεται 6 w 2494
17 w 2495
μερισμός 2 w 2503
ποιήσει 1 w 2511
τὸ 28 w 2513
τοῦ 13 w 2516
μεριζομένου 1 w 2527
πλῆθος 1 w 2533